广西桂林市崇左市贺州市2020届高三下学期高考模拟数学（理）试题

广西桂林市崇左市贺州市2020届高三下学期高考模拟数学（理）试题

‎2020年高考（理科）数学模拟试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．i是虚数单位，复数z＝1﹣i在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（　　）‎ A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.7 D．0.8‎ ‎3．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}，则（　　）‎ A．A∩B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＜e} ‎ C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝{x|0＜x＜1}‎ ‎4．已知α满足sinα＝，那么值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数的值域为（　　）‎ A． B． C．[0，1] D．‎ ‎7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎9．设m＝ln2，n＝lg2，则（　　）‎ A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn ‎10．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）‎ A． B．‎2‎ C．2 D．3‎ ‎11．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan+1an+2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1+a2+…+a2020＝（　　）‎ A．4711 B．‎4712 ‎C．4713 D．4715‎ ‎12．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝（‎2m+3）x+n，若∀x∈（0，+∞）总有f（x）≤g（x）恒成立，记（‎2m+3）n的最小值为F（m，n），则F（m，n）的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝　 　．‎ ‎14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为　 　．‎ ‎15．点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为　 　．‎ ‎16．某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令．游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组．如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色．已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为　 　．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．‎ ‎1.47‎ ‎20.6‎ ‎0.78‎ ‎2.35‎ ‎0.81‎ ‎﹣19.3‎ ‎16.2‎ 表中．‎ ‎（1）根据散点图判断，y＝a+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？‎ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v＝‎ α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎18．△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝‎4c，B＝‎‎2C ‎（Ⅰ）求cosB ‎（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积 ‎19．底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．‎ ‎（1）求证：EG⊥DF；‎ ‎（2）求二面角A﹣HF﹣C的正弦值．‎ ‎20．已知椭圆，与x轴负半轴交于A（﹣2，0），离心率．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接AM，AN并延长交直线x＝4于E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）若恒成立，求整数k的最大值；‎ ‎（2）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n×（n+1）]＞e2n﹣3．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．‎ ‎（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）＝|x﹣1|+1，．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤2x+3；‎ ‎（2）若方程F（x）＝a有三个解，求实数a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．i是虚数单位，复数z＝1﹣i在复平面上对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】由已知求得z的坐标得答案．‎ 解：复数z＝1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．‎ 故选：D．‎ ‎2．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝（　　）‎ A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.7 D．0.8‎ ‎【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴方程，再由已知结合对称性求解．‎ 解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），‎ ‎∴正态分布曲线的对称轴为X＝1，μ＝2，‎ 又P（X＞2）＝0.3，P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.3，‎ 故选：B．‎ ‎3．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|ex＜1}，则（　　）‎ A．A∩B＝{x|x＜1} B．A∪B＝{x|x＜e} C．A∪B＝{x|x＜1} D．A∩B＝{x|0＜x＜1}‎ ‎【分析】可以求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可．‎ 解：∵A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＜0}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．‎ 故选：C．‎ ‎4．已知α满足sinα＝，那么值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值．‎ 解：∵sinα＝，那么＝（cosα﹣sinα）•（cosα+sinα）‎ ‎＝﹣•sin2α＝cos2α＝（1﹣2sin2α）＝（1﹣2×）＝，‎ 故选：C．‎ ‎5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．‎ 解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，‎ 若a⊥b，则α⊥β不一定成立，‎ 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎6．函数的值域为（　　）‎ A． B． C．[0，1] D．‎ ‎【分析】由0≤x≤，可得≤2x+≤，利用正弦函数的单调性即可得出．‎ 解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，‎ ‎∴y＝sin（2x+）∈．‎ 故选：A．‎ ‎7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．‎ 解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）‎ 圆心到直线y＝k（x+3）的距离为 要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．‎ ‎∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．‎ 故选：C．‎ ‎8．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（　　）‎ A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解：模拟程序的运行，可得 i＝0‎ n＝10‎ 不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝5，i＝1‎ 不满足条件n＝1，不满足条件n是偶数，n＝16，i＝2‎ 不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝8，i＝3‎ 不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝4，i＝4‎ 不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝2，i＝5‎ 不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝1，i＝6‎ 此时，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．‎ 故选：B．‎ ‎9．设m＝ln2，n＝lg2，则（　　）‎ A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn ‎【分析】利用倒数，作差法，判断即可．‎ 解：∵0＜m＜1，0＜n＜1，m＞n，‎ ‎＝，‎ 故m﹣n＞mn，‎ 所以，故m+n＞mn，‎ 由m+n＞m﹣n 故m+n＞m﹣n＞mn，‎ 故选：D．‎ ‎10．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　）‎ A． B．‎2‎ C．2 D．3‎ ‎【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．‎ 解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y＝（x﹣1），‎ 过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：，解得M（3，2）．‎ 可得N（﹣1，2），NF的方程为：y＝﹣（x﹣1），即，‎ 则M到直线NF的距离为：＝2．‎ 故选：C．‎ ‎11．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan+1an+2＝k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1+a2+…+a2020＝（　　）‎ A．4711 B．‎4712 ‎C．4713 D．4715‎ ‎【分析】anan+1an+2＝k（k为常数），且a1＝1，a2＝2，公积为8，可得anan+1an+2＝8，a1＝1，a2＝2，可得其周期性，进而得出数列的和．‎ 解：anan+1an+2＝k（k为常数），且a1＝1，a2＝2，公积为8，‎ ‎∴anan+1an+2＝8，a1＝1，a2＝2，‎ ‎∴1×‎2a3＝8，解得a3＝4，‎ ‎∴2×‎4a4＝8，a4＝1，‎ 同理可得：a5＝2，a6＝4．‎ ‎∴an+3＝an．‎ 则a1+a2+…+a2020＝a1+（1+2+4）×673＝4712．‎ 故选：B．‎ ‎12．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝（‎2m+3）x+n，若∀x∈（0，+∞）总有f（x）≤g（x）恒成立，记（‎2m+3）n的最小值为F（m，n），则F（m，n）的最大值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】由题意可得lnx﹣（‎2m+3）x﹣n≤0在x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝lnx﹣（‎2m+3）x﹣n，只要h（x）的最大值不大于0．求出h（x）的导数和单调区间，讨论‎2m+3的符号，可得最小值f（m，n），再令t＝‎2m+3（t＞0），可令k（t）＝t（﹣lnt﹣1），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值．‎ 解：若对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）恒成立，‎ 即为lnx﹣（‎2m+3）x﹣n≤0在x∈（0，+∞）恒成立，‎ 设h（x）＝lnx﹣（‎2m+3）x﹣n，则h（x）的最大值不大于0．‎ 由h′（x）＝﹣（‎2m+3），‎ 若‎2m+3≤0，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，h（x）无最大值；‎ 若‎2m+3＞0，则当x＞时，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）递减；‎ 当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）递增．‎ 可得x＝处h（x）取得最大值，且为﹣ln（‎2m+3）﹣1﹣n，‎ 则﹣ln（‎2m+3）﹣1﹣n≤0，可得n≥﹣ln（‎2m+3）﹣1，‎ ‎（‎2m+3）n≥（‎2m+3）[﹣ln（‎2m+3）﹣1]，‎ 可得f（m，n）＝（‎2m+3）[﹣ln（‎2m+3）﹣1]，‎ 令t＝‎2m+3（t＞0），可令k（t）＝t（﹣lnt﹣1），‎ k′（t）＝﹣lnt﹣1﹣1＝﹣lnt﹣2，‎ 当t＞时，k′（t）＜0，k（t）在（，+∞）递减；‎ 当0＜t＜时，k′（t）＞0，k（t）在（0，）递增．‎ 可得t＝处h（t）取得极大值，且为最大值（﹣ln﹣1）＝．‎ 则f（m，n）最大值为．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝　1　．‎ ‎【分析】由题意可得•＝0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出m的值．‎ 解：∵向量，，若，则•＝0，‎ 即 2×3﹣‎6m＝0，则m＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ‎　24　．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．‎ 解：高二年级抽取的人数为：2000×＝30人，则高三被抽取的人数90﹣36﹣30＝24，‎ 故答案为：24．‎ ‎15．点P在双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为　±　．‎ ‎【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝‎2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣‎2c＝‎2a，结合a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线的斜率．‎ 解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，‎ 可得|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，‎ 由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，‎ 可得|OA|＝a，‎ 设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝‎2a，‎ 在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，‎ 即有|PF1|＝4b，‎ 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝‎2a，‎ 即4b﹣‎2c＝‎2a，即2b＝a+c，‎ 即有4b2＝（a+c）2，‎ 即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，‎ 可得a＝c，b＝c，‎ 即有双曲线的渐近线方程y＝±x，‎ 该双曲线的渐近线的斜率为±．‎ 故答案为：±．‎ ‎16．某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令．游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组．如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色．已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为　9　．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；据此分类讨论新加入学生可以扮演的角色，将其数目相加即可得答案．‎ 解：根据题意：14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组；‎ ‎①若新加入的学生是土兵，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令；所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知加入的学生也可以是司令；‎ ‎②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组下：3名士兵；连长、营长、団长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长；所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知加入的学生也可以是军长；‎ ‎③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；所以新加入的学生可以是连长；由对称性可知加入的学生也可以是师长；‎ ‎④‎ 若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令答1名；2名司令；所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知加入的学生也可以是旅长；‎ ‎⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长；所以新加入的学生可以是团长；‎ 综上所述：新加入学生可以扮演9种角色；‎ 故答案为：9‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．‎ ‎1.47‎ ‎20.6‎ ‎0.78‎ ‎2.35‎ ‎0.81‎ ‎﹣19.3‎ ‎16.2‎ 表中．‎ ‎（1）根据散点图判断，y＝a+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？‎ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；‎ ‎（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；‎ ‎（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．‎ 解：（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…（1分）‎ ‎（2）由公式可得：，…‎ ‎，…‎ 所以所求回归方程为．…‎ ‎（3）设t＝kx，则煤气用量，…‎ 当且仅当时取“＝”，即x＝2时，煤气用量最小．…‎ 答：x为2时，烧开一壶水最省煤气． …‎ ‎18．△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝‎4c，B＝‎‎2C ‎（Ⅰ）求cosB ‎（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积 ‎【分析】（Ⅰ）利用已知条件和三角函数关系式的恒等变换，求出相应的结果．‎ ‎（Ⅱ）利用上步的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．‎ 解：（Ⅰ）由题意B＝‎2C，‎ 则sinB＝sin‎2C＝2sinCcosC 又，‎ 所以…‎ 所以…‎ ‎（Ⅱ）因为c＝5，，‎ 所以…‎ 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，‎ 则，‎ 化简得，a2﹣‎6a﹣55＝0，‎ 解得a＝11，或a＝﹣5（舍去），…‎ 由BD＝6得，CD＝5，‎ 由，‎ 得…‎ 所以△ADC的面积…‎ ‎19．底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3．‎ ‎（1）求证：EG⊥DF；‎ ‎（2）求二面角A﹣HF﹣C的正弦值．‎ ‎【分析】（1）连接AC，证明EG∥AC．推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．‎ ‎（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，OP＝3，DH＝4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥‎ AC．‎ 由题意易知AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，‎ 因为BD∩BF＝B，所以EG⊥平面BDHF，‎ 又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．‎ ‎（2）解：设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，‎ 由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，‎ 所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，‎ 所以四边形EFGH为平行四边形，‎ 所以P为EG的中点，O为AC的中点，‎ 所以，从而OP⊥平面ABCD，‎ 又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，OP＝3，DH＝4，由平面几何知识，得BF＝2．‎ 则，，F（0，2，2），H（0，﹣2，4），‎ 所以，，．‎ 设平面AFH的法向量为，‎ 由，可得，‎ 令y＝1，则z＝2，，所以．‎ 同理，平面CFH的一个法向量为．‎ 设平面AFH与平面CFH所成角为θ，‎ 则，所以．‎ ‎20．已知椭圆，与x轴负半轴交于A（﹣2，0），离心率．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，连接AM，AN并延长交直线x＝4于E（x3，y3），F（x4，y4）两点，若，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出a、c，得到b，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）法1：，通过韦达定理，结合kAM＝kAE推出y＝kx+m＝k（x﹣1），说明直线MN恒过定点（1，0）．‎ 法2：设直线AM的方程为：x＝t1y﹣2，通过求出同理，得到直线系方程说明直线过定点（1，0）．‎ 解：（1）由题有a＝2，．∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3．‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）法1：，‎ ‎△＝64k‎2m2‎﹣4（3+4k2）（‎4m2‎﹣12）＞0⇒m2＜12k2+9，‎ ‎，．‎ 又kAM＝kAE ‎∴同理 又 ‎∴‎ ‎⇒4（y1+y2）＝x1y2+x2y1‎ ‎⇒4（kx1+m+kx2+m）＝x1（kx2+m）+x2（kx1+m）‎ ‎⇒（4k﹣m）（x1+x2）﹣2kx1x2+‎8m＝0，‎ ‎．‎ ‎∴m＝﹣k，此时满足m2＜12k2+9‎ ‎∴y＝kx+m＝k（x﹣1）∴直线MN恒过定点（1，0）．‎ 法2：设直线AM的方程为：x＝t1y﹣2‎ 则，‎ ‎∴y＝0或，‎ ‎∴同理，，‎ 当x3＝4时，由x3＝t1y3﹣2有．‎ ‎∴同理，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ 当t1+t2≠0时，t1t2＝﹣4，‎ ‎∴直线MN的方程为 ‎，‎ ‎∴直线MN恒过定点（1，0）当t1+t2＝0时，此时也过定点（1，0）‎ 综上直线MN恒过定点（1，0）．‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）若恒成立，求整数k的最大值；‎ ‎（2）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n×（n+1）]＞e2n﹣3．‎ ‎【分析】（1）根据题意可得k＜，令h（x）＝，求导得h′（x）＝，令g（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），求导得g′（x）＞0对∀x＞0恒成立，函数y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g（0）＝﹣1＜0，g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，所以存在x0∈（2，3）使得g（x0）＝0，即x0﹣1＝ln（x0+1），当x＞x0时，有g（x）＞g（x0）＝0，h′（x）＞0，所以函数y＝h（x）在（x0，+∞）上单调递增，当x＜x0时，有g（x）＜g（x0）＝0，h′（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（0，x0）上单调递减，所以h（x）min＝h（x0）＝＝＝x0+1∈（3，4），所以k≤3，进而可得出结论．‎ ‎（2））由（1）可得ln（x+1）＞＝2﹣＞2﹣，令x＝n（n+1），（n∈N*），则ln[1+n（n+1）]＞2﹣＝2﹣3（），所以ln（1+1×2）＞2﹣3（1﹣），ln（1+2×3）＞2﹣3（﹣），…ln[1+n（n+1）]＞2﹣3（﹣），上述等式全部相加得ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞2n﹣3，因此[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．‎ 解：（1）由f（x）＝＞得k＜，‎ 令h（x）＝，‎ h′（x）＝，‎ 令g（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），‎ 所以g′（x）＝1﹣＞0对∀x＞0恒成立，‎ 所以函数y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 因为g（0）＝﹣1＜0，g（1）＜0，g（2）＜0，g（3）＞0，‎ 故存在x0∈（2，3）使得g（x0）＝0，即x0﹣1＝ln（x0+1），‎ 从而当x＞x0时，有g（x）＞g（x0）＝0，h′（x）＞0，所以函数y＝h（x）在（x0，+∞）上单调递增，‎ 当x＜x0时，有g（x）＜g（x0）＝0，h′（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（0，x0）上单调递减，‎ 所以h（x）min＝h（x0）＝＝＝x0+1∈（3，4），‎ 所以k≤3，因此整数k的最大值为3．‎ ‎（2）由（1）知恒成立，‎ 所以ln（x+1）＞＝2﹣＞2﹣，‎ 令x＝n（n+1），（n∈N*）‎ 则ln[1+n（n+1）]＞2﹣＝2﹣3（），‎ 所以ln（1+1×2）＞2﹣3（1﹣），ln（1+2×3）＞2﹣3（﹣），…ln[1+n（n+1）]＞2﹣3（﹣），‎ 上述等式全部相加得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3（1﹣）＞2n﹣3，‎ 所以ln[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞2n﹣3，‎ 因此[（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．‎ ‎（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．‎ ‎【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．‎ ‎（2）直接建立方程组利用根和系数的关系求出结果．‎ 解：（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x；‎ ‎（2）设直线l的参数方程为（t为参数）‎ 又直线l与曲线C2：y2＝4x存在两个交点，因此sinα≠0．‎ 联立直线l与曲线C1：，‎ 可得（1+sin2α）t2+2tcosα﹣1＝0，‎ 则：，‎ 联立直线l与曲线C2：y2＝4x可得t2sin2α﹣4tcosα﹣4＝0，‎ 则，‎ 即．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）＝|x﹣1|+1，．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤2x+3；‎ ‎（2）若方程F（x）＝a有三个解，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由f（x）＝|x﹣1|+1为分段函数，可分段讨论①当x≥1时，②当x＜1时，求不等式的解集，‎ ‎（2）方程F（x）＝a有三个解等价于直线y＝a与函数y＝F（x）的图象有三个公共点，先画出y＝F（x）的图象，再画直线y＝a观察图象即可 解：（1）f（x）＝|x﹣1|+1＝，‎ ‎①当x≥1时，解不等式x≤2x+3得：x≥1，‎ ‎②当x＜1时，解不等式﹣x+2≤2x+3得：﹣≤x＜1，‎ 综合①②得：‎ 不等式f（x）≤2x+3的解集为：[﹣，+∞）‎ ‎（2），即．‎ 作出函数F（x）的图象如图所示，‎ 当直线y＝a与函数y＝F（x）的图象有三个公共点时，方程F（x）＝a有三个解，所以1＜a＜3．‎ 所以实数a的取值范围是（1，3）．‎