2018-2019学年湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

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绝密★启用前 湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，，且，解得，故A正确。‎ 考点：椭圆的方程及基本性质 ‎2．已知集合，，那么“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不允分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题得：，则成立，而且 ，所以前后互推都成立，故选C ‎3．已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵f(x)=alnx+x,∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵f(a)=alna+a，‎ ‎∴曲线f(x)在x=a处的切线方程为y−alna−a=2(x−a)，‎ ‎∵曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线过原点，‎ ‎∴−alna−a=−2a，解得a=e.‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．下列四个结论：‎ ‎①若，则恒成立：‎ ‎②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；‎ ‎④命题“，”的否定是“，”.‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析，即可得答案。‎ ‎【详解】‎ ‎①设，则，所以在上单调递增，且，即，故①正确。‎ ‎②由逆否命题的定义可知②正确。‎ ‎③命题为真，则p、q至少有一个为真，不能推出为真，故③错误。‎ ‎④命题“，”的否定是“，，故④错误，故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的逆否命题，必要不充分条件的判断，含有量词的命题的否定等知识，综合性较强，考查了分析推理的能力，属基础题。‎ ‎5．若，，，函数在处有极值，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对 求导 ，在x=1处有极值，等价于 ，解出 ‎ 再利用均值定理即可求解ab的最大值。‎ ‎【详解】‎ 解：对 求导， ，在x=1处有极值，所以 ，又 ，当且仅当 时取等，经检验满足题意。故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，均值定理求乘积的最大值，比较基础。‎ ‎6．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用离心率乘积为，利用将离心率表示出来，构造一个关于的方程，然后解出的值，从而得到双曲线渐近线方程。‎ ‎【详解】‎ 设椭圆和双曲线的半焦距为，‎ 则，‎ 所以，所以双曲线的渐近线方程为：‎ ‎，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于的方程从而求出e，求双曲线渐近线方程则只需构造的方程，从而解出，便可得到渐近线方程。‎ ‎7．函数的图象可能是（ ）‎ A．（1）（3） B．（1）（2）（4）‎ C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对a赋值，根据解析式，判断图像，即可得答案。‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数图像为（4）；‎ 当时，，，当时，，为单调递减函数，当时，，为单调递增函数，故图像为（2）；‎ 当时，，当时，，函数是减函数，且，可知函数图像为（3），‎ 故可能的图像为（2）（3）（4），故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的判断，要点在于对a进行赋值，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题。‎ ‎8．已知命题：，；命题：，.下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定命题p、q的真假，再结合复合命题的判断方法进行判断。‎ ‎【详解】‎ 命题p：设，，‎ 当时，，所以为单调递减函数；‎ 当时，，所以为单调递增函数；‎ 所以，即，，故命题p正确。‎ 命题q：设，‎ 当时，，所以为单调递增函数；‎ 当时，，所以为单调递减函数，‎ 所以，即当x=1时，‎ 故命题：，，正确，故选A ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，难点在于构造新函数，结合导数进行判断，考查分析推理，计算化简的能力，属中档题。‎ ‎9．已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用圆的切线与圆心和切点连线垂直得到直角三角形，设的夹角为2α，通过解直角三角形求出的长；利用向量的数量积公式表示出，再根据三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元并结合基本不等式可求出最值．‎ 详解：如图，的夹角为2α，‎ 则．‎ ‎∴．‎ 令，‎ 则，当且仅当，即 时等号成立，‎ ‎∴的最小值为．‎ 又点在椭圆的左端点时，的值最大，此时，‎ ‎∴.‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎∴的取值范围为[2－3，]．‎ 故选C．‎ 点睛：解答解析几何中的最值问题时，可选取适当的变量，将目标函数表示为该变量的函数，然后根据所得函数的解析式的特征选择求最值的方法，常用的方法有单调性法和基本不等式法．‎ ‎10．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以由题设在只有一个零点且单调递减，则问题转化为，即，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。‎ ‎11．已知点是抛物线的焦点，点是抛物线的准线与轴的交点，过点作抛物线的切线，切点是，若点在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ，因为 ‎ 以为焦点的双曲线可设为 ，所以，选B.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12．已知为上的连续可导函数，当时，则函数的零点个数为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵当x≠0时，，∴，要求关于x的方程的根的个数可转化成的根的个数，令当时，即，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，即，∴在（-∞，0）上单调递减而为R上的连续可导的函数∴无实数根，故选C．‎ 考点：1.导数的运算；2.根的存在性及根的个数判断．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：“”是假命题等价于，即，解之得，即实数的取值范围是.‎ 考点：1.特称命题与全称命题；2.不等式恒成立与一元二次不等式.‎ ‎14．已知极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标和点A的直角坐标，利用两点间的距离公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由曲线，可化为，所以曲线的直角坐标方程为，可得圆心为（0,2）。由点，可得A的直角坐标为，故A到圆心的距离= ，故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，两点间的距离公式，属基础题 ‎15．已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为________．‎ ‎【答案】1，2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，由导数的几何意义可得，代入数据即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因为曲线在点处的切线方程为，所以，即，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义的应用，属基础题 ‎16．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点，若点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】抛物线 的焦点 ，设 ，直线 方程为 ， 。‎ 点睛：抛物线定义中的“转化”法：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．曲线：，极坐标系（与直角坐标系取相同的单位长度，以原点为极点，轴正半轴为极轴）中，直线：，求直线被曲线截得的线段长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线C、直线化为普通方程，求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可。‎ ‎【详解】‎ 解：由，得，由 得，故曲线是以为圆心，2为半径的圆. ‎ 由直线：，得直线的普通方程为. ‎ 则圆心 到直线的距离为. ‎ 设直线被曲线C截得的线段长为，则 ‎∴直线被曲线C截得的线段长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化，直线与圆的位置关系，考查分析推理，化简求值的能力，属基础题 ‎18．已知：函数在上是单调递减函数，：方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由“或”为真，“且”为假可知p,q一真一假，分别讨论p真q假，p假q真两种情况下对应的不等式.P由导函数求单调区间，q为一元二次方程无实根.‎ 试题解析：‎ 解：p:‎ 因为函数y在上是单调递减函数,所以在上恒成立。 2分 故：，所以4分 q:方程无实根，故 所以：6分 因为“p或q”为真，”p且q“为假，所以：p,q一真一假。‎ ‎（1）当p真q假时， 8分 ‎（2）当p假q真时， 10分 综上：m的取值范围是：。 12分 考点：利用导数求单调性，一元二次方程的根的判断，逻辑联结词.‎ ‎19．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得有两个不同的解，即得有两个不同的解，设，求导，求出的单调区间和极值，结合图像即可求解。‎ ‎【详解】‎ 解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，‎ 有两个不同的解，即得有两个不同的解， ‎ 设，则 时，；时，‎ 在上递减，在上递增 时，函数取得极小值，‎ 又因为当时总有，且无限趋向于0；时. ‎ 所以可得的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数零点的问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，考查分析推理的能力，属中档题。‎ ‎20．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点，及的中点处，，．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与，等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎①设，将表示成的函数；‎ ‎②设，将表示成的函数．‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.‎ ‎【答案】(1)① ② (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①取中点，由条件知垂直平分，若，由条件分别求出OA、OB、OP的长度，即可得到函数关系。‎ ‎②若,则，由条件求出OA、OB、OP的长度，即可得到函数关系。‎ ‎（2）选择函数模型①，求导，可得函数的单调性和极值，即可求出答案。‎ ‎【详解】‎ 解：(1)①取中点，由条件知垂直平分，若，‎ 则,故，‎ 又，‎ 所以，‎ 所求函数关系式为 ‎②若,则,所以 所求函数关系式为 ‎ ‎(2)选择函数模型①,‎ 令得，因为，所以，‎ 当时，，是减函数；当时,，是增函数，‎ 所以当时最小，这时点位于线段的中垂线上，在矩形区域内且距离边处.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的实际应用问题，意在考查学生利用导数解决生活中的问题，属中档题。‎ ‎21．已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于不同两点、.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线斜率为，求线段的长；‎ ‎（3）设线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2） （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意列出关于a，b，c的方程，求的a，b的值，代入方程即可。‎ ‎（2）直线的方程为：.，与椭圆联立可得，设，，由韦达定理代入弦长公式即可求解。‎ ‎（3）当轴时，显然. 当与轴不垂直时，可设直线的方程为.与椭圆联立，结合韦达定理，可得的中点坐标，即可求MN的垂直平分线的方程，令x＝0，得.结合均值定理，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意：，，，‎ 所求椭圆方程为. ‎ ‎（2）由题意，直线的方程为：.‎ 由得，设，‎ 由韦达定理 所以.‎ ‎（3）当轴时，显然.‎ 当与轴不垂直时，可设直线的方程为.‎ 由消去整理得.‎ 设，，线段的中点为，‎ 则.‎ 所以， ‎ 线段MN的垂直平分线方程为 在上述方程中令x＝0，得.‎ 当时，；当时，.所以，或.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，弦长公式的应用，均值定理，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查分析推理，化简计算的能力，综合性较强，属难题。‎ ‎22．设函数，其中为常数.‎ ‎（1）当时，求函数极值；‎ ‎（2）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）极小值1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，， ，令，求导，根据x的范围讨论函数的单调性，即可得到的极值。‎ ‎（2）由题意得，令，对任意，有恒成立，利用导数研究的单调性，即可求得的极小值，计算即可得答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，， ‎ 令，，‎ 当时，，即在上是单调递增函数，且 所以当时，，在上是减函数；‎ 当时，，在上是增函数；‎ 所以是的唯一极小值点．极小值是 ‎（2），令 由题设，对任意，有，，‎ 又 ‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数； ‎ 所以当时，有极小值，也是最小值，‎ 又由得，得，即的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调性与极值，求解恒成立问题，考查转化化归的思想，属难题。‎