甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含解析

甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含解析

‎2019—2020学年第一学期联片办学期末考试 高二年级理科数学试卷 一、选择题 ‎1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则，或 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题．‎ ‎【详解】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：‎ 若或，则,‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法，属于基础题．‎ ‎2.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：设为不到长城，为非好汉，即，‎ 则，即好汉到长城，‎ 故“到长城”是“好汉”的必要条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎3.下列说法中，正确是（ ）‎ A. “”是“”充分的条件；‎ B. “”是“”成立的充分不必要条件；‎ C. 命题“已知，是实数，若，则或”为真命题；‎ D. 命题“若，都是正数，则也是正数”的逆否命题是“若不是正数，则，都不是正数”.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎．根据充分条件的定义加以判断． ．根据充分必要条件的定义加以判断． ．写出原命题的逆否命题，根据互为逆否命题同真假加以判断；．写出原命题的逆命题，然后加以判断；‎ ‎【详解】解：对于：由得不到，故“”是“”的不充分的条件，故错误；‎ 对于：由推不出，但是由能够得到，故“”是“”成立的必要不充分条件，故错误；‎ 对于：命题“已知，是实数，若，则或”的逆否命题为“已知，是实数，若且，则”，显然是真命题，根据互为逆否命题同真假可知原命题是真的，故正确；‎ 对于：命题“若，都是正数，则也是正数”的逆否命题是“若不是正数，则，不都是正数”，故错误；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及真假，充分必要条件，属于基础题．‎ ‎4.已知命题“设、、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，命题“设、、，若，则”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设、、，若，则”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B．‎ 考点：四种命题的真假的判定．‎ ‎5.当双曲线：的焦距取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，可得取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．‎ ‎【详解】解：由题意可得，‎ 可得当时，焦距取得最小值，‎ 双曲线的方程为，‎ 即有渐近线方程为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎6.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则锐角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得关于的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.‎ ‎【详解】解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆 所以即，由正弦函数的性质可得，‎ 又为锐角 即 故选：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及正弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线被椭圆所截得线段，，，，利用点差法可求直线的斜率.‎ ‎【详解】解：设直线被椭圆所截得的线段，，，，‎ 因为线段中点为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即直线的斜率是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题．‎ ‎8.若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为抛物线的准线方程为，‎ 又抛物线上的点到其焦点的距离为，‎ 所以，因此.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义，灵活运用抛物线的定义即可求出结果，属于基础题型.‎ ‎9.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．‎ ‎【详解】解：抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线方程分别为：，，如图这三条直线构成边长为的等边三角形，因此，所求三角形面积等于．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．‎ ‎10.方程(x2＋y2－4))＝0的曲线形状是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得：‎ ‎ 或 它表示直线和圆在直线右上方的部分 故选 ‎11.双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线离心率．‎ ‎【详解】由已知可得，‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混．‎ ‎12.设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由勾股定理得 （2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2，得到 e2﹣e﹣1=0，解出e．‎ 详解：由题意得，△PF1F2是直角三角形，‎ 由勾股定理得 （2c）2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1﹣PF2|2 +2=4a2+4ac，‎ ‎∴c2﹣ac﹣a2=0，e2﹣e﹣1=0 且e＞1，‎ 解方程得e=，‎ 故答案：C 点睛：（1）本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a、c的关系是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎13.命题“”的否定是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定可得出答案．‎ ‎【详解】由全称命题的否定可知，命题“”的否定是“，‎ ‎”，故答案为“，”.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎14.双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9，那么点 到另一个焦点的距离等于________.‎ ‎【答案】3或15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过双曲线方程求出，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．‎ ‎【详解】解：双曲线的标准方程是，‎ ‎，‎ 设点到另一个焦点的距离为，‎ 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9，‎ 由双曲线定义知：，‎ 解得，或．‎ 点到另一个焦点的距离是15或3．‎ 故答案为：3或15．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，解题时要熟练掌握双曲线性质，属于基础题．‎ ‎15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．‎ ‎【详解】圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；‎ 圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；‎ 设动圆圆心为M（x，y），半径为x；‎ 则MA＝2+r，MB＝10﹣r；‎ 于是MA+MB＝12＞AB＝6‎ 所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．‎ a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；‎ 所以M的轨迹方程为 故答案为 ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ 三、解答题 ‎17.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（1）当时，若为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，由为真可判断真且真，分别求解出命题对应的实数的取值范围，再求交集即可；‎ ‎（2）先将是的必要不充分条件转化为是的必要不充分条件，再结合端点值建立不等关系求解即可 ‎【详解】（1）当时，真，则，解得；‎ 真，则解得.‎ ‎∵为真，则真且真，‎ 故的取值范围为.‎ ‎（2）是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，‎ ‎∵真，有，‎ ‎∴故.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题，根据包含关系求解参数取值范围，属于基础题 ‎18.（1）求过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程；‎ ‎（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设共渐近线的双曲线方程为，代点计算可得.‎ ‎（2）根据双曲线方程求出焦点坐标以及渐近线方程，再根据点到线的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】解：（1）因为所求双曲线与双曲线有公共渐近线，‎ 所以可设所求双曲线的方程为．‎ 因为所求双曲线过点，‎ 所以，得，‎ 所以所求双曲线的方程为．‎ ‎（2）因为双曲线的方程为，‎ 所以双曲线的一条渐近线方程为，‎ 即．‎ 因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等，‎ 且为双曲线的一个焦点，‎ 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程的计算问题，以及点到线的距离公式，属于基础题.‎ ‎19.如图所示，分别为椭圆的左、右两个焦点，A、B为两个顶点．已知椭圆C上的点到两点的距离之和为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦PQ的长．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由椭圆定义，又点在椭圆上，‎ 椭圆方程为，焦点为 ‎（2）方程为．代入椭圆方程 得，‎ 设则 ‎20.已知双曲线以为焦点，且过点 ‎（1）求双曲线与其渐近线方程 ‎（2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 ‎【答案】（1）双曲线C的方程为； 渐近线方程为．（2）l方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程．‎ ‎【详解】（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，‎ 则c＝2，，a＝1， ‎ 所以b2＝c2﹣a2＝3，‎ 故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　 ‎ 双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　 ‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，‎ 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*） ‎ ‎△＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，‎ 又由，可知x1x2+y1y2＝0， ‎ 即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得，‎ 故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得，‎ 所以直线l方程为．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．‎ ‎21.已知点到点的距离与点到直线的距离相等. ‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率为1的直线与曲线相交于不同的两点，‎ ‎，为坐标原点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，即可求解.‎ ‎（2）由点斜式求出直线方程，联立直线与抛物线方程，消元，利用韦达定理即可求得三角形的面积.‎ ‎【详解】解：（1）设，‎ ‎∵动点到点的距离与到定直线的距离相等，‎ ‎∴点到点的距离等于到直线的距离，‎ 由抛物线定义得：点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线.‎ 设抛物线方程为，可得：‎ ‎，.‎ ‎∴抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.‎ ‎（2）由直线的斜率为1，‎ 可得直线的方程为，即.‎ 与联立，消去，整理得.‎ 设，，则，，‎ ‎∴，‎ 因此的面积:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为．‎ ‎（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知△外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a，b即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）A（a，0），F（﹣c，0），求出线段AF的中垂线方程为：．推出，求出线段AB的中垂线方程，推出b＝c，然后求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】（1）因为椭圆 的离心率为，‎ 所以，则．‎ 因为线段中点的横坐标为，‎ 所以．‎ 所以，则，．‎ 所以椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）因为，‎ 所以线段的中垂线方程为：．‎ 又因为△外接圆的圆心C在直线上，‎ 所以．因为，‎ 所以线段的中垂线方程为：．‎ 由C在线段的中垂线上，得，‎ 整理得，， ‎ 即． ‎ 因为，所以．‎ 所以椭圆的离心率．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率以及椭圆方程的求法，考查计算能力．‎