高二数学人教a必修5练习：第一章解三角形word版含解析

高二数学人教a必修5练习：第一章解三角形word版含解析

第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A 2 ＋B 2 ＋C 2 ＝π 2. 2．在 Rt△ABC 中，C＝π 2 ，则a c ＝sin_A，b c ＝sin_B. 3．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已 知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ， 这个比值是三角形外接圆的直径 2R. 一、选择题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则 a∶b∶c 等于( ) A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶ 3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边 b 的值为( ) A. 3＋1 B．2 3＋1 C．2 6 D．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ， 得 4 sin 45° ＝ b sin 60° ，∴b＝2 6. 3．在△ABC 中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC 为( ) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 答案 A 解析 sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即 a2＝b2＋c2，由勾股 定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若 sin A>sin B，则角 A 与角 B 的大小关系为( ) A．A>B B．Asin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B. 5．在△ABC 中，A＝60°，a＝ 3，b＝ 2，则 B 等于( ) A．45°或 135° B．60° C．45° D．135° 答案 C 解析 由 a sin A ＝ b sin B 得 sin B＝bsin A a ＝ 2sin 60° 3 ＝ 2 2 . ∵a>b，∴A>B，B<60° ∴B＝45°. 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果 c＝ 3a，B＝30°，那么 角 C 等于( ) A．120° B．105° C．90° D．75° 答案 A 解析 ∵c＝ 3a，∴sin C＝ 3sin A＝ 3sin(180°－30°－C) ＝ 3sin(30°＋C)＝ 3 3 2 sin C＋1 2cos C ， 即 sin C＝－ 3cos C. ∴tan C＝－ 3. 又 C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 二、填空题 7．在△ABC 中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60°，则 C＝_________. 答案 75° 解析 由正弦定理得 2 sin A ＝ 6 sin 60° ，∴sin A＝ 2 2 . ∵BC＝2bsin A， 所以本题有两解，由正弦定理得： sin B＝bsin A a ＝6sin 30° 2 3 ＝ 3 2 ，故 B＝60°或 120°. 当 B＝60°时，C＝90°，c＝ a2＋b2＝4 3； 当 B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3. 所以 B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3. 能力提升 13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B ＝ 2，则角 A 的大小为________． 答案 π 6 解析 ∵sin B＋cos B＝ 2sin(π 4 ＋B)＝ 2. ∴sin(π 4 ＋B)＝1. 又 0b 无解 一解(锐角) 1.1.1 正弦定理(二) 课时目标 1．熟记正弦定理的有关变形公式； 2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明． 1．正弦定理： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R 的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝ a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R. 2．三角形面积公式：S＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2casin B. 一、选择题 1．在△ABC 中，sin A＝sin B，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D 2．在△ABC 中，若 a cos A ＝ b cos B ＝ c cos C ，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案 B 解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C ， ∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 3．在△ABC 中，sin A＝3 4 ，a＝10，则边长 c 的取值范围是( ) A. 15 2 ，＋∞ B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 0，40 3 答案 D 解析 ∵ c sin C ＝ a sin A ＝40 3 ，∴c＝40 3 sin C. ∴00)， 则 b＋c＝4k c＋a＝5k a＋b＝6k ，解得 a＝7 2k b＝5 2k c＝3 2k . ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 6．已知三角形面积为1 4 ，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) A．1 B．2 C.1 2 D．4 答案 A 解析 设三角形外接圆半径为 R，则由πR2＝π， 得 R＝1，由 S△＝1 2absin C＝abc 4R ＝abc 4 ＝1 4 ，∴abc＝1. 二、填空题 7．在△ABC 中，已知 a＝3 2，cos C＝1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 答案 2 3 解析 ∵cos C＝1 3 ，∴sin C＝2 2 3 ， ∴1 2absin C＝4 3，∴b＝2 3. 8．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝60°，a＝ 3，b＝1，则 c＝________. 答案 2 解析 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 3 sin 60° ＝ 1 sin B ， ∴sin B＝1 2 ，故 B＝30°或 150°.由 a>b， 得 A>B，∴B＝30°，故 C＝90°， 由勾股定理得 c＝2. 9．在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC 三边长分别为 a，b，c，则 a sin A ＋ b 2sin B ＋ 2c sin C ＝________. 答案 7 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为 2R＝2， ∴ a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R＝2， ∴ a sin A ＋ b 2sin B ＋ 2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．在△ABC 中，A＝60°，a＝6 3，b＝12，S△ABC＝18 3，则 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ ________，c＝________. 答案 12 6 解析 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C ＝ a sin A ＝6 3 3 2 ＝12. ∵S△ABC＝1 2absin C＝1 2 ×6 3×12sin C＝18 3， ∴sin C＝1 2 ，∴ c sin C ＝ a sin A ＝12，∴c＝6. 三、解答题 11．在△ABC 中，求证：a－ccos B b－ccos A ＝sin B sin A. 证明 因为在△ABC 中， a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R， 所以左边＝2Rsin A－2Rsin Ccos B 2Rsin B－2Rsin Ccos A ＝sinB＋C－sin Ccos B sinA＋C－sin Ccos A ＝sin Bcos C sin Acos C ＝sin B sin A ＝右边． 所以等式成立，即a－ccos B b－ccos A ＝sin B sin A. 12．在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状． 解 设三角形外接圆半径为 R，则 a2tan B＝b2tan A ⇔a2sin B cos B ＝b2sin A cos A ⇔4R2sin2 Asin B cos B ＝4R2sin2 Bsin A cos A ⇔sin Acos A＝sin Bcos B ⇔sin 2A＝sin 2B ⇔2A＝2B 或 2A＋2B＝π ⇔A＝B 或 A＋B＝π 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC 中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为( ) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案 C 解析 设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 A＋C＝120°， ∴sin C sin A ＝sin(120°－A) sin A ＝sin 120° cos A－cos 120°sin A sin A ＝ 3 2tan A ＋1 2 ＝ 3＋1 2 ＝ 3 2 ＋1 2 ， ∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°. 14．在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a＝2，C＝π 4 ， cos B 2 ＝2 5 5 ，求△ABC 的面积 S. 解 cos B＝2cos2 B 2 －1＝3 5 ， 故 B 为锐角，sin B＝4 5. 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin 3π 4 －B ＝7 2 10 . 由正弦定理得 c＝asin C sin A ＝10 7 ， 所以 S△ABC＝1 2acsin B＝1 2 ×2×10 7 ×4 5 ＝8 7. 1．在△ABC 中，有以下结论： (1)A＋B＋C＝π； (2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C； (3)A＋B 2 ＋C 2 ＝π 2 ； (4)sin A＋B 2 ＝cos C 2 ，cos A＋B 2 ＝sin C 2 ，tan A＋B 2 ＝ 1 tan C 2 . 2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三 角恒等式的证明． 1．1.2 余弦定理(一) 课时目标 1．熟记余弦定理及其推论； 2．能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C. 2．余弦定理的推论 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ；cos B＝c2＋a2－b2 2ca ；cos C＝a2＋b2－c2 2ab . 3．在△ABC 中： (1)若 a2＋b2－c2＝0，则 C＝90°； (2)若 c2＝a2＋b2－ab，则 C＝60°； (3)若 c2＝a2＋b2＋ 2ab，则 C＝135°. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于( ) A. 3 B．3 C. 5 D．5 答案 A 2．在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最小角为( ) A.π 3 B.π 6 C.π 4 D. π 12 答案 B 解析 ∵a>b>c，∴C 为最小角， 由余弦定理 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝72＋4 32－ 132 2×7×4 3 ＝ 3 2 .∴C＝π 6. 3．在△ABC 中，已知 a＝2，则 bcos C＋ccos B 等于( ) A．1 B. 2 C．2 D．4 答案 C 解析 bcos C＋ccos B＝b·a2＋b2－c2 2ab ＋c·c2＋a2－b2 2ac ＝2a2 2a ＝a＝2. 4．在△ABC 中，已知 b2＝ac 且 c＝2a，则 cos B 等于( ) A.1 4 B.3 4 C. 2 4 D. 2 3 答案 B 解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝ 2a， ∴cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4. 5．在△ABC 中，sin2A 2 ＝c－b 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边)，则△ABC 的形 状为( ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案 B 解析 ∵sin2A 2 ＝1－cos A 2 ＝c－b 2c ， ∴cos A＝b c ＝b2＋c2－a2 2bc ⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 6．在△ABC 中，已知面积 S＝1 4(a2＋b2－c2)，则角 C 的度数为( ) A．135° B．45° C．60° D．120° 答案 B 解析 ∵S＝1 4(a2＋b2－c2)＝1 2absin C， ∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴sin C＝cos C， ∴C＝45° . 二、填空题 7．在△ABC 中，若 a2－b2－c2＝bc，则 A＝________. 答案 120° 8．△ABC 中，已知 a＝2，b＝4，C＝60°，则 A＝________. 答案 30° 解析 c2＝a2＋b2－2abcos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60° ＝12 ∴c＝2 3. 由正弦定理： a sin A ＝ c sin C 得 sin A＝1 2. ∵a0，b>0)，则最大角为________． 答案 120° 解析 易知： a2＋ab＋b2>a， a2＋ab＋b2>b，设最大角为θ， 则 cos θ＝a2＋b2－ a2＋ab＋b22 2ab ＝－1 2 ， ∴θ＝120°. 10．在△ABC 中，BC＝1，B＝π 3 ，当△ABC 的面积等于 3时，tan C＝________. 答案 －2 3 解析 S△ABC＝1 2acsin B＝ 3，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13， ∴cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝－ 1 13 ，sin C＝ 12 13 ， ∴tan C＝－ 12＝－2 3. 三、解答题 11．在△ABC 中，已知 CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长． 解 由条件知：cos A＝AB2＋AC2－BC2 2·AB·AC ＝92＋82－72 2×9×8 ＝2 3 ，设中线长为 x，由余弦定理知： x2＝ AC 2 2＋AB2－2·AC 2 ·ABcos A＝42＋92－2×4×9×2 3 ＝49 ⇒x＝7. 所以，所求中线长为 7. 12．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，且 a，b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根，2cos(A＋B) ＝1. (1)求角 C 的度数； (2)求 AB 的长； (3)求△ABC 的面积． 解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝－1 2 ， 又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°. (2)∵a，b 是方程 x2－2 3x＋2＝0 的两根， ∴ a＋b＝2 3， ab＝2. ∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝ 10. (3)S△ABC＝1 2absin C＝ 3 2 . 能力提升 13．(2010·潍坊一模)在△ABC 中，AB＝2，AC＝ 6，BC＝1＋ 3，AD 为边 BC 上的高， 则 AD 的长是________． 答案 3 解析 ∵cos C＝BC2＋AC2－AB2 2×BC×AC ＝ 2 2 ， ∴sin C＝ 2 2 . ∴AD＝AC·sin C＝ 3. 14．在△ABC 中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理知 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ，cos B＝a2＋c2－b2 2ac ， cos C＝a2＋b2－c2 2ab ， 代入已知条件得 a·b2＋c2－a2 2bc ＋b·a2＋c2－b2 2ac ＋c·c2－a2－b2 2ab ＝0， 通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. ∴a2－b2＝±c2，即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 1．1.2 余弦定理(二) 课时目标 1．熟练掌握正弦定理、余弦定理； 2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1．正弦定理及其变形 (1) a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R. (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C. (3)sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R. (4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 2．余弦定理及其推论 (1)a2＝b2＋c2－2bccos_A. (2)cos A＝b2＋c2－a2 2bc . (3)在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为直角；c2>a2＋b2⇔C 为钝角；c2b B．a0，∴a2>b2，∴a>b. 6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案 A 解析 设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2＋b2＝c2， 则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2 ＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0， ∴c＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边 a，b 的长是方程 x2－5x＋2＝0 的两个根，C＝60°，则边 c＝________. 答案 19 解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2. 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19， ∴c＝ 19. 8．设 2a＋1，a,2a－1 为钝角三角形的三边，那么 a 的取值范围是________． 答案 20，∴a>1 2 ，最大边为 2a＋1. ∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2， 化简得：02a＋1， ∴a>2，∴2β B．α＝β C．α<β D．α＋β＝90° 答案 B 2．设甲、乙两楼相距 20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯 角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是( ) A．20 3 m，40 3 3 m B．10 3 m,20 3 m C．10( 3－ 2) m,20 3 m D.15 2 3 m，20 3 3 m 答案 A 解析 h 甲＝20tan 60°＝20 3(m)． h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝40 3 3(m)． 3．如图，为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从 A、B 两点分别测得望树尖的 仰角为 30°，45°，且 A、B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为( ) A．30＋30 3 m B．30＋15 3m C．15＋30 3m D．15＋3 3m 答案 A 解析 在△PAB 中，由正弦定理可得 60 sin45°－30° ＝ PB sin 30° ， PB＝ 60×1 2 sin 15° ＝ 30 sin 15° ， h＝PBsin 45°＝(30＋30 3)m. 4．从高出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 30°，看正南方向一只船俯角 为 45°，则此时两船间的距离为( ) A．2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D．2 2h 米 答案 A 解析 如图所示， BC＝ 3h，AC＝h， ∴AB＝ 3h2＋h2＝2h. 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测仰角为原来 的 2 倍，继续在平行地面上前进 200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的 高度是( ) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 3 m 答案 B 解析 如图所示，600·sin 2θ＝200 3·sin 4θ， ∴cos 2θ＝ 3 2 ，∴θ＝15°， ∴h＝200 3·sin 4θ＝300 (m)． 6．平行四边形中，AC＝ 65，BD＝ 17，周长为 18，则平行四边形面积是( ) A．16 B．17.5 C．18 D．18.53 答案 A 解析 设两邻边 AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α， 则 a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17， a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65. 解得：a＝5，b＝4，cos α＝3 5 或 a＝4，b＝5，cos α＝3 5 ， ∴S▱ABCD＝ab sin α＝16. 二、填空题 7．甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正向 北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲 船行驶了________海里． 答案 北偏东 30° 3a 解析 如图所示，设到 C 点甲船追上乙船， 乙到 C 地用的时间为 t，乙船速度为 v， 则 BC＝tv，AC＝ 3tv，B＝120°， 由正弦定理知 BC sin∠CAB ＝ AC sin B ， ∴ 1 sin∠CAB ＝ 3 sin 120° ， ∴sin∠CAB＝1 2 ，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°， ∴BC＝AB＝a， ∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120° ＝a2＋a2－2a2· －1 2 ＝3a2，∴AC＝ 3a. 8．△ABC 中，已知 A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为 10 3，则其周长为________． 答案 20 解析 设 AB＝8k，AC＝5k，k>0，则 S＝1 2AB·AC·sin A＝10 3k2＝10 3. ∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝82＋52－2×8×5×1 2 ＝49. ∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20. 9．已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为________． 答案 27π 5 解析 不妨设三角形三边为 a，b，c 且 a＝6，b＝c＝12， 由余弦定理得： cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝122＋122－62 2×12×12 ＝7 8 ， ∴sin A＝ 1－ 7 8 2＝ 15 8 . 由1 2(a＋b＋c)·r＝1 2bcsin A 得 r＝3 15 5 . ∴S 内切圆＝πr2＝27π 5 . 10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°，距离为 10 n mile 的 C 处，此时得知， 该渔船沿北偏东 105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 n mile，则 舰艇到达渔船的最短时间是______小时． 答案 2 3 解析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在△ABC 中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇 到达渔船的最短时间为 t，则 AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°， 解得 t＝2 3 或 t＝－ 5 12(舍)． 三、解答题 11．如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD. 解 在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β， ∠ABC＝90°－α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 根据正弦定理得： AC sin∠ABC ＝ BC sin∠BAC ， 即 AC sin90°－α ＝ BC sinα－β ， ∴AC＝ BCcos α sinα－β ＝ hcos α sinα－β. 在 Rt△ACD 中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β ＝hcos αsin β sinα－β . 即山高 CD 为hcos αsin β sinα－β . 12．已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形 ABCD 的面积． 解 连接 BD，则四边形面积 S＝S△ABD＋S△CBD＝1 2AB·AD·sin A＋1 2BC·CD·sin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C. ∴S＝1 2(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A. 由余弦定理：在△ABD 中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A， 在△CDB 中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C. 又 cos C＝－cos A，∴cos A＝－1 2.∴A＝120°. ∴四边形 ABCD 的面积 S＝16sin A＝8 3. 能力提升 13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行 测量．已知 AB＝50 m，BC＝120 m，于 A 处测得水深 AD＝80 m，于 B 处测得水深 BE＝200 m，于 C 处测得水深 CF＝110 m，求∠DEF 的余弦值． 解 作 DM∥AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M. DF＝ MF2＋DM2＝ 302＋1702＝10 298(m)， DE＝ DN2＋EN2＝ 502＋1202＝130(m)， EF＝ BE－FC2＋BC2＝ 902＋1202＝150(m)． 在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得 cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF2 2DE·EF ＝1302＋1502－102×298 2×130×150 ＝16 65. 即∠DEF 的余弦值为16 65. 14．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°， 而且两条船与炮台底部连成 30°角，求两条船之间的距离． 解 如图所示： ∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45° ∵AB＝30， ∴BC＝30， BD＝ 30 tan 30° ＝30 3. 在△BCD 中， CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900， ∴CD＝30，即两船相距 30 m. 1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用 解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的 点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据 需要求出所求的角． 第一章 解三角形 复习课 课时目标 1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题． 一、选择题 1．在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B 等于( ) A．45°或 135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 答案 C 解析 sin B＝b·sin A a ＝ 2 2 ，且 bsin Asin B，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 C 解析 cos Acos B>sin Asin B⇔cos(A＋B)>0， ∴A＋B<90°，∴C>90°，C 为钝角． 3．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则 k 的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C. －1 2 ，0 D. 1 2 ，＋∞ 答案 D 解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)， c＝2mk(m>0)， ∵ a＋b>c a＋c>b 即 m2k＋1>2mk 3mk>mk＋1 ，∴k>1 2. 4．如图所示，D、C、B 三点在地面同一直线上，DC＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰 角分别是β、α(β<α)．则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A.asin αsin β sinα－β B.asin αsin β cosα－β C.asin αcos β sinα－β D.acos αcos β cosα－β 答案 A 解析 设 AB＝h，则 AD＝ h sin α ， 在△ACD 中，∵∠CAD＝α－β，∴ CD sinα－β ＝ AD sin β. ∴ a sinα－β ＝ h sin αsin β ，∴h＝asin αsin β sinα－β . 5．在△ABC 中，A＝60°，AC＝16，面积为 220 3，那么 BC 的长度为( ) A．25 B．51 C．49 3 D．49 答案 D 解析 S△ABC＝1 2AC·AB·sin 60°＝1 2 ×16×AB× 3 2 ＝220 3，∴AB＝55. ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×1 2 ＝2 401. ∴BC＝49. 6．(2010·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc， sin C＝2 3sin B，则 A 等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 A 解析 由 sin C＝2 3sin B，根据正弦定理，得 c＝2 3b，把它代入 a2－b2＝ 3bc 得 a2－b2＝6b2，即 a2＝7b2. 由余弦定理，得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝b2＋12b2－7b2 2b·2 3b ＝ 6b2 4 3b2 ＝ 3 2 . 又∵0°1，不合题意．∴设夹角为θ，则 cos θ＝－3 5 ， 得 sin θ＝4 5 ，∴S＝1 2 ×3×5×4 5 ＝6 (cm2)． 8．在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则 a sin A ＝____________. 答案 2 39 3 解析 由 S＝1 2bcsin A＝1 2 ×1×c× 3 2 ＝ 3，∴c＝4. ∴a＝ b2＋c2－2bccos A＝ 12＋42－2×1×4cos 60° ＝ 13. ∴ a sin A ＝ 13 sin 60° ＝2 39 3 . 9．在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是 ______________． 答案 2n＋2，∴n＝2. ∴cos θ＝4＋9－16 2×2×3 ＝－1 4. (2)设此平行四边形的一边长为 a，则夹θ角的另一边长为 4－a，平行四边形的面积为： S＝a(4－a)·sin θ＝ 15 4 (4a－a2)＝ 15 4 [－(a－2)2＋4]≤ 15. 当且仅当 a＝2 时，Smax＝ 15. 能力提升 13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos 2C＝－1 4. (1)求 sin C 的值； (2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，求 b 及 c 的长． 解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－1 4 ，00)， 解得 b＝ 6或 2 6， ∴ b＝ 6， c＝4 或 b＝2 6， c＝4. 14．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°， ∠BCD＝135°，求 BC 的长． 解 设 BD＝x，在△ABD 中，由余弦定理有 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 即 142＝x2＋102－20xcos 60°， ∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6 舍去)， 即 BD＝16. 在△BCD 中，由正弦定理 BC sin∠CDB ＝ BD sin∠BCD ， ∴BC＝16sin 30° sin 135° ＝8 2. 1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理， 简化运算过程． 2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为 解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．