2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高二9月月考数学（理）试题 Word版

2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高二9月月考数学（理）试题 Word版

绝密★启用前 眉山一中办学共同体 2020 届第三期 9 月月考试题 数学（理工类） 第 I 卷（选择题） 一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若有两条直线 a，b，平面 α 满足 a∥b，a∥α，则 b 与 α 的位置关系是(　D　) A．相交 B．b∥α C．b⊂α D．b∥α 或 b⊂α 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与对角线 AC1 异面的棱有（ C ）条 A．3 B．4 C．6 D．8 3.若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是(　D　) A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 4.如图，在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E、 F、G、H 四点，若 EF GH P，则(　B ) A．P 一定在直线 BD 上 B．P 一定在直线 AC 上 C．P 一定在直线 AC 或 BD 上 D．P 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 5.如图，已知 A、B、C、D 四点不共面，且 AB∥α，CD∥α，AC∩α＝ E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形 EFHG 的形状是 （ A ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正 方形 6.如图，正方体 AC1 中，E、F 分别是面 A1B1C1D1 和 AA1DD1 的中心，则 EF 和 CD 所成的角 是（ B ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7.如图所示，PA⊥平面 ABC，△ABC 中 BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(A　　) A．4 B．3 C．2 D．1  = 第 5 题 第 6 题 第 7 题第 4 题 8.空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是（ C ） A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 9.如图(1)所示，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点， 现在沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点 记为 G，如图(2)所示，那么，在四面体 S－EFG 中必有(　A　) A．SG⊥△EFG 所在平面 B．SD⊥△EFG 所在平面 C．GF⊥△SEF 所在平面 D．GD⊥△SEF 所在平面 10.如图，点 P 为△ABC 所在平面外一点，PH⊥面 ABC，垂足为 H，若 PA⊥PB，PA⊥PC，PB ⊥PC，则点 H 是△ABC 的（ D ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 11.如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF＝ ， 则下列结论错误的是（ D ） A．AC⊥BE B．EF∥平面 ABCD C．三棱锥 A—BEF 的体积为定值 D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 12. 设 A、B、C、D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为 ， 则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为（B ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（共 20 分，每小题 5 分） 13.如图所示，设平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位 于平面 α，β 之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 DS＝_______. 答案 9 14. 已 知 直 线 ∥ 平 面 α ， 平 面 α ∥ 平 面 β ， 则 直 线 与 平 面 β 的 位 置 关 系 为 _____________________. 答案 平行或在平面内( ∥ 或 ) 15. 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边长都相等，M 为 PC 上 一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD. (注：填上你认为正确的一种情况 a a a a 2 1 39 312 318 324 354 β β 第 9 题 第 10 题 第 11 题 即可，不必考虑所有可能的情况)． 答案　BM⊥PC(或 DM⊥PC) 16. 如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点 E， 使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是________． 　　 答案 a>6 三、解答题（共 70 分） 17.（10 分）如图所示，已知正方体正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AD、AA1 的中 点. （1）求证：EF∥平面 B1C1CB； （2）求 AB1 与 EF 所成角的大小． （1）证明:∵E、F 分别是 AD、AA1 的中点，∴EF∥A1D ∵A1B1∥CD∴四边形 A1B1CD 是平行四边形，∴A1D∥B1C 又∵A1D 平面 B1C1CB，∴B1C⊂平面 B1C1CB，∴EF∥平面 B1C1CB （2）由（1）EF∥B1C，∴∠AB1C 即为所求，易得正方体中面对角线均相等， ∴△AB1C 为等边三角形，∠AB1C=60°，∴AB1 与 EF 所成角为 60°. 18.（12 分）在四棱锥 E-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O,EC⊥底面 ABCD,F、G 分别为 EB、ED 的中点. （1）求证:FG⊥平面 ACE； （2）若 AB= ,CE= ,求三棱锥 C-ABF 的体积. （1）证明:∵F、G 分别为 EB、ED 的中点∴FG∥BD 由 EC⊥底面 ABCD,BD⊂底面 ABCD,∴EC⊥BD, 由四边形 ABCD 是正方形可知 AC⊥BD,又 AC∩EC=C, ∴BD⊥平面 ACE,∴FG⊥平面 ACE. （2）解:取 BC 中点 G,连接 FG, 在四棱锥 E-ABCD 中,EC⊥底面 ABCD, ∵FG 是△BCE 的中位线,∴FG⊥底面 ABCD,∵AB= CE=2, ⊄ 2 2 2 第 15 题 第 16 题第 13 题 G ∴FG=EC= ,∵三棱锥 C-ABF 即为三棱锥 F-ABC，∴V=×S△ABC×FG=××4× = . 19．(12 分)如图，DC⊥平面 ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P、Q 分 别为 AE，AB 的中点． （1）求证：PQ∥平面 ACD； （2）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值． 解　（1）证明：∵P，Q 分别为 AE，AB 的中点， ∴PQ∥EB.又 DC∥EB，∴PQ∥DC，又 PQ⊄平面 ACD， ∴PQ∥平面 ACD. （2）如图，连接 CQ，DP，∵Q 为 AB 的中点，且 AC＝BC， ∴CQ⊥AB. ∵DC⊥平面 ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面 ABC，因此 CQ⊥EB.∴CQ⊥平面 ABE. 由(1)有 PQ∥DC，又 PQ＝ 1 2EB＝DC，∴四边形 CQPD 为平行四边形，故 DP∥CQ. ∴DP⊥平面 ABE，∠DAP 为 AD 和平面 ABE 所成的角， 在 Rt△DPA 中，AD＝ 5，DP＝1，sin∠DAP＝ 5 5 ， ∴AD 和平面 ABE 所成角的正弦值为 5 5 . 20.(12 分)如图所示，P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N、Q 分别为 AB、PC、CD 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l． （1）求证：平面 QMN∥平面 PAD； （2）求证：BC∥l． （1）证明　如图所示，连接 MQ、NQ． ∵N 为 PC 中点，∴NQ∥PD． ∵PD⊂平面 PAD，NQ⊄平面 PAD，∴NQ∥平面 PAD．同理 MQ∥平面 PAD． 又 NQ、MQ⊂平面 MNQ，NQ∩MQ＝Q，∴平面 MNQ∥平面 PAD． （2）∵BC∥AD，AD⊂平面 PAD， BC⊄平面 PAD，∴BC∥平面 PAD． 又平面 PAD∩平面 PBC＝l，BC⊂平面 PBC， ∴BC∥l． 21.(12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥CD，AD ∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD.1 2 （1）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由； （2）求证：平面 PAB⊥平面 PBD. （1）答：取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M 即为所 求.理由如下： ∵AD∥BC,BC= AD，∴BC∥AM, 且 BC=AM. ∴四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM∥AB. 又∵AB 平面 PAB，CM 平面 PAB， ∴CM∥平面 PAB. (说明：取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) （2）证明：∵PA⊥AB， PA⊥CD， ∵AD∥BC，BC= AD，∴直线 AB 与 CD 相交， ∴PA ⊥平面 ABCD，又 BD 平面 PBD∴PA ⊥ BD. ∵AD∥BC，BC= AD，∴BC∥MD，且 BC=MD. ∴四边形 BCDM 是平行四边形.∴BM=CD= AD，∴BD⊥AB. 又 AB∩AP=A，∴BD⊥平面 PAB.又 BD 平面 PBD， ∴平面 PAB⊥平面 PBD. 22.(12 分)已知四棱锥 P－ABCD(图 1)的三视图如图 2 所示，△PBC 为正三角形，PA 垂直底 面 ABCD，俯视图是直角梯形． （1）求正视图的面积； （2）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （3）求证：AC⊥平面 PAB. 解（1）过A 作 AE∥CD， 根据三视图可知，E 是 BC 的中点，且 BE＝CE＝1， AE＝CD＝1. 又∵△PBC 为正三角 形，∴BC＝PB＝PC＝2， 且 PE⊥BC，∴PE2＝PC2－ 1 2 ⊂ ⊄ 1 2 ⊂ 1 2 1 2 ⊂ CE2＝3. ∵PA⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD，∴PA⊥AE.∴PA2＝PE2－AE2＝2，即 PA＝ 2. 正视图的面积为 S＝ 1 2×2× 2＝ 2. （2）由（1）可知，四棱锥 P－ABCD 的高 PA＝ 2，底面积为 S＝ AD＋BC 2 ·CD＝ 1＋2 2 ×1＝ 3 2， ∴四棱锥 P－ABCD 的体积为 VP－ABCD＝ 1 3S·PA＝ 1 3× 3 2× 2＝ 2 2 . （3）证明：∵PA⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴PA⊥AC. ∵在直角三角形 ABE 中，AB2＝AE2＋BE2＝2， 在直角三角形 ADC 中，AC2＝AD2＋CD2＝2， ∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC⊥AB. 又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面 PAB.