2021高考数学一轮复习课时作业53曲线与方程理

2021高考数学一轮复习课时作业53曲线与方程理

课时作业53　曲线与方程 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ 解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.‎ 答案：D ‎2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：由题意得 即 或 故原方程表示两个半圆．‎ 答案：D ‎3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.‎ 又∵|PA|＝1，‎ ‎∴|PM|＝＝，‎ 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.‎ 答案：D 5‎ ‎4．[2020·珠海模拟]已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4‎ 解析：设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，∴即 ‎∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，‎ ‎∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.‎ 答案：B ‎5．[2020·福建八校联考]已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足＝2，·＝0，则点G的轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：由＝2，·＝0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，‎ ‎∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴点G的轨迹方程为＋＝1，故选A.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________．‎ 解析：由正弦定理得－＝×，‎ 即|AB|－|AC|＝|BC|，‎ 故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．‎ 即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．‎ 答案：－＝1(x＞0且y≠0)‎ 5‎ ‎7．[2020·河南开封模拟]如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________________．‎ 解析：连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.‎ 又|EF|＝2＜4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，则方程为＋y2＝1.‎ 答案：＋y2＝1‎ ‎8．[2020·江西九江联考]设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．‎ 解析：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.‎ 答案：y2＝4x 三、解答题 ‎9．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程．‎ 解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称．‎ 所以点B的坐标为(1，－1)．‎ 设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则·＝－，‎ 化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．‎ 故动点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±1)．‎ 5‎ ‎10．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．‎ ‎(1)△PAB的周长为10；‎ ‎(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；‎ ‎(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．‎ 解析：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.‎ 因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ ‎(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，‎ 因此|PA|－|PB|＝1.‎ 由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.‎ ‎(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.‎ 因此其轨迹方程为y2＝－8x.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．‎ ‎(1)求圆的标准方程；‎ ‎(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m＋(1－m)(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程．‎ 解析：(1)设圆的半径为r, 圆心到直线l1的距离为d，则d＝＝2.‎ 因为r＝d＝2，圆心为坐标原点O，所以圆C1的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，‎ ‎∵AN⊥x轴于点N，∴N(x0,0)，‎ 由题意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，‎ 解得即 5‎ 将点A代入圆C1的方程x2＋y2＝4，得动点Q的轨迹方程为＋＝1.‎ 5‎