2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析

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2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析

‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学(文)试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.若集合M=‎xx‎≤1‎,N=‎yy=‎x‎2‎,‎x‎≤1‎,则 A. M=N B. M⊆N C. N⊆M D. ‎M∩N=∅‎ ‎2.若复数 z 满足‎2z+z=3-2i (其中 i 为虚数单位),则z=‎ ‎ A. ‎-1+2i B. ‎-1-2i C. ‎1+2i D. ‎‎1-2i ‎3.已知抛物线x‎2‎‎=ay(a≠0)‎的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且‎|MF|=7‎,则焦点F到准线l的距离是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎4.在数列中,若,且对所有 满足,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知函数f(x)=lgx‎4-x,则 A. f(x)‎在‎(0,4)‎单调递减 B. f(x)‎在‎(0,2)‎单调递减,在‎(2,4)‎单调递增 C. y=f(x)‎的图象关于点‎(2,0)‎对称 D. y=f(x)‎的图象关于直线x=2‎对称 ‎6.设数列an为等差数列,其前 n 项和为Sn,已知a‎1‎‎+a‎4‎+a‎7‎=99‎,‎ a‎2‎‎+a‎5‎+a‎8‎=93‎‎,若对任意n∈‎N‎*‎,都有 Sn‎≤‎Sk 成立,则k的值为 A. ‎22‎ B. ‎21‎ C. ‎20‎ D. ‎‎19‎ ‎7.中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆 x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 有相同的焦距,一条渐近线方程为x-2y=0‎,则双曲线C的方程为 A. x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1‎ 或 y‎2‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ B. x‎2‎‎-y‎2‎‎4‎=1‎ 或 ‎y‎2‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ C. x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1‎ D. ‎y‎2‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ ‎8.若α∈‎π‎4‎‎,π,且‎3cos2α=4sinπ‎4‎‎-α,则sin2α的值为 A. ‎7‎‎9‎ B. ‎1‎‎9‎ C. ‎-‎‎7‎‎9‎ D. ‎-‎ ‎‎1‎‎9‎ ‎9.同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=‎π‎3‎对称;③在‎-π‎6‎,‎π‎3‎上是增函数的一个函数是 A. y=sinx‎2‎‎+‎π‎6‎ B. ‎y=sin‎2x-‎π‎6‎ C. y=cos‎2x+‎π‎3‎ D. ‎y=sin‎2x+‎π‎6‎ ‎10.在‎△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足bcosC=‎3a-ccosB,若BC‎⋅BA=4‎,则ac 的值为 A. ‎12‎ B. ‎11‎ C. ‎10‎ D. ‎‎9‎ ‎11.已知函数fn=n‎2‎cosnπ,且an‎=fn+fn+1‎,则a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+⋯+a‎100‎=‎ ‎ A. ‎0‎ B. ‎-100‎ C. ‎100‎ D. ‎‎10200‎ ‎12.已知函数fx=a-‎x‎2‎‎1≤x≤2‎与gx=x+1‎的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 A. ‎-‎5‎‎4‎,+∞‎ B. ‎1,2‎ C. ‎-‎5‎‎4‎,1‎ D. ‎‎-1,1‎ 二、填空题 ‎13.已知向量a‎=‎1-m,-2‎,b=‎‎5,m-4‎,若a‎//‎b且方向相反,则m=‎__________.‎ ‎14.在各项均为正数的等比数列中,若, ,则的值是 .‎ ‎15.已知函数fx=‎ex‎-3,‎x>0‎‎-x‎2‎-2x+1,‎x<0‎,则方程ffx=2‎ 的解的个数为_______.‎ ‎16.已知函数fx=ex-1‎+x-2e为自然对数的底数,gx=x‎2‎-ax-a+3.‎ 若存在实数x‎1‎,x‎2‎,使得 fx‎1‎=gx‎2‎=0‎.且‎∣x‎1‎﹣x‎2‎∣≤1‎,则实数a的取值范围是________________ .‎ 三、解答题 ‎17.已知函数fx=‎3‎sinωx⋅cosωx+cos‎2‎ωx-‎‎1‎‎2‎ω>0‎,其最小正周期为 π‎2‎.‎ ‎(1)求 fx 的表达式;‎ ‎(2)将函数fx的图象向右平移π‎8‎个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的‎2‎倍(纵坐标不变),得到函数 y=gx 的图象,若关于 x 的方程 gx+k=0‎ 在区间 ‎0,‎π‎2‎上有解,求实数k的取值范围.‎ ‎18.已知在‎△ABC中,三边长a,b,c依次成等差数列.‎ ‎(1)若sinA:sinB=3:5‎ ,求三个内角中最大角的度数;‎ ‎(2)若b=1‎且 BA‎⋅BC=b‎2‎-‎a-c‎2‎,求‎△ABC的面积.‎ ‎19.已知是一个公差大于的等差数列, 且满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列和数列满足等式,求数列的前项和.‎ ‎20.设F‎1‎,F‎2‎分别是椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎的左、右焦点.‎ ‎(1)若P是该椭圆上的一个动点,求PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎的最大值和最小值;‎ ‎(2)设过定点M‎0,2‎的直线 l 与椭圆交于不同的两点AB,且‎∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l 的斜率k的取值范围.‎ ‎21.已知函数fx=exx-ax-lnx.‎ ‎(1)当a=1‎时,试求fx在‎1,f‎1‎处的切线方程;‎ ‎(2)若fx在‎0,1‎内有极值,试求a的取值范围.‎ ‎22.已知平面直角坐标系xoy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为‎2‎3‎,‎π‎6‎,直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+1=0‎,曲线C的参数方程为x=2cosθy=-‎3‎+2sinθ (θ为参数).‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点到直线l的距离的最小值.‎ ‎23.已知函数fx=‎x-a ‎(1)若fx≤m的解集为‎-1,5‎,求实数a,m的值;‎ ‎(2)当a=2‎且‎0≤t<2‎时,解关于x的不等式fx+t≥fx+2‎ ‎2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学(文)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简确定出集合M,N,即可得到结果 ‎【详解】‎ ‎∵‎集合M=‎xx‎≤1‎,‎ ‎∴‎集合M=‎x‎-1≤x≤1‎,‎ ‎∵N=‎yy=‎x‎2‎,‎x‎≤1‎‎,则N=‎y‎0≤y≤1‎ ‎∴N⊆M‎,‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合间的关系,属于基础题。‎ ‎2.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设z=a+bi,然后根据题意求出结果 ‎【详解】‎ 设z=a+bia,b∈R 则‎2z+z=2a+bi+a-bi=3a+bi=3-2i 解得a=1,b=-2‎ ‎∴z=1-2i‎,‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的加减法以及共轭复数的运用,较为基础。‎ ‎3.C ‎【解析】分析:根据条件以及抛物线定义得|a|,即可得焦点F到准线l的距离.‎ 详解:因为‎|MF|=7‎,点M到x轴的距离为5,所以‎|a|‎‎4‎‎=7-5∴|a|=8‎,‎ 因此焦点F到准线l的距离是‎|a|‎‎2‎‎=4,‎,‎ 选C.‎ 点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P(x‎0‎,y‎0‎)‎为抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎上一点,由定义易得‎|PF|=x‎0‎+‎p‎2‎;若过焦点的弦AB AB的端点坐标为A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎,则弦长为‎|AB|=x‎1‎+x‎2‎+p,x‎1‎+‎x‎2‎可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.‎ ‎4.B ‎【解析】‎ 试题分析:依题意,;;;,所以.‎ 考点:递推数列求通项.‎ ‎5.C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到x‎4-x的单调性,然后求出复合函数的单调性 ‎【详解】‎ 由x‎4-x‎>0‎可得‎00‎‎,解得n<20.5‎ ‎∴‎Sn的最大值为S‎20‎,则k=20‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的通项公式化简求值,考查了推理论证能力,较为基础。‎ ‎7.A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的焦距,从而得到双曲线的焦距,再由双曲线的渐近线方程,就能求出双曲线的标准方程。‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎椭圆x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎中,‎c=‎9-4‎=‎‎5‎ ‎∴‎焦距F‎1‎F‎2‎‎=2c=2‎‎5‎ ‎∵‎双曲线C与椭圆 x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 有相同的焦距,一条渐近线方程为x-2y=0‎,‎ 设双曲线方程为x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=λλ≠0‎,化为标准方程为x‎2‎‎4λ‎-y‎2‎λ=1‎ 当λ>0‎时,c=λ+4λ=‎‎5‎,解得λ=1‎ 则双曲线方程为x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1‎ 当λ<0‎时,c=‎-λ-4λ=‎‎5‎,解得λ=-1‎ 则双曲线方程为 y‎2‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ ‎ 综上,则双曲线方程为x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎=1‎ 或 y‎2‎‎-x‎2‎‎4‎=1‎ ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是双曲线方程的求法,解题时要认真审题,熟练掌握双曲线和椭圆的简单性质是解题的关键。‎ ‎8.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用二倍角公式和两角差的正弦公式进行化简,再结合同角三角函数关系求出结果 ‎【详解】‎ ‎∵α∈‎π‎4‎‎,π‎,且‎3cos2α=4sinπ‎4‎‎-α,‎ ‎∴3cos‎2‎α-sin‎2‎α=4‎‎2‎‎2‎cosα-‎‎2‎‎2‎sinα 化简可得‎3cosα+‎sinα=2‎‎2‎ 两边平方可得‎1+sin2α=‎‎8‎‎9‎ 则sin2α=‎8‎‎9‎-1=-‎‎1‎‎9‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数两角和与差公式和倍角公式,熟练掌握各个公式是解题的关键,属于基础题。‎ ‎9.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用三角函数的性质对四个选项逐一进行分析即可得到结论 ‎【详解】‎ 对于A,y=sinx‎2‎‎+‎π‎6‎,T=‎2π‎1‎‎2‎=4π≠π,故排除A 对于B,y=sin‎2x-‎π‎6‎,T=π,满足图象关于直线x=‎π‎3‎对称,且在‎-π‎6‎,‎π‎3‎上是增函数,符合题意 对于C,y=cos‎2x+‎π‎3‎,令‎2x+π‎3‎=kπ,x=-π‎6‎+‎kπ‎2‎,其图象不关于直线x=‎π‎3‎对称,故排除C 对于D,y=sin‎2x+‎π‎6‎,令‎2x+π‎6‎=π‎2‎+kπ,x=π‎6‎+‎kπ‎2‎,其图象不关于直线x=‎π‎3‎对称,故排除D 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图像性质,考查了其周期性、对称性、单调性等知识点,熟练运用图像性质来解题是关键。‎ ‎10.A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理可得cosB的值,由BC‎⋅BA=4‎可得ac的值 ‎【详解】‎ 在‎∆ABC中,‎‎∵bcosC=‎3a-ccosB 由正弦定理可得sinBcosC=‎‎3‎sinA-‎sinCcosB ‎∴3‎sinAcosB-‎sinCcosB=‎sinBcosC化为:‎‎3‎sinAcosB=‎sinCcosB+‎sinBcosC 即sinB+C‎=‎sinA 在‎∆ABC中,sinA≠0‎,故cosB=‎‎1‎‎3‎ ‎∵BC⋅BA=4‎‎,‎ 可得accosB=4‎,即ac=12‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理,向量的数量积的运用,考查了两角和公式,考查了分析问题和解决问题的能力,属于中档题。‎ ‎11.B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出分段函数fn的解析式,进一步求出数列的通项公式,再使用分组求和法求解。‎ ‎【详解】‎ fn=n‎2‎cosnπ=‎-1‎n⋅n‎2‎=‎‎-‎n‎2‎n为奇数n‎2‎n为偶数‎,‎ 由an‎=fn+fn+1‎=‎-1‎n⋅n‎2‎+‎-1‎n+1‎⋅‎n+1‎‎2‎ ‎=‎-1‎nn‎2‎‎-‎n+1‎‎2‎=‎-1‎n+1‎⋅‎‎2n+1‎‎,‎ 可得:‎ a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+⋯+a‎100‎=3+‎-5‎+7+‎-9‎+…+199+‎-201‎=50×‎-2‎=-100‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题是一道分段数列求和的问题,综合三角知识,解题的关键是找出数列的通项,然后分组求和,属于基础题。‎ ‎12.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件可得方程a-x‎2‎=-x+1‎⟺a=x‎2‎-x-1‎在区间‎1,2‎上有解,构造函数gx=x‎2‎-x-1‎,求出它的值域,得到a的范围即可 ‎【详解】‎ 若函数fx=a-‎x‎2‎‎1≤x≤2‎与gx=x+1‎的图象上存在关于x轴对称的点,‎ 则方程a-x‎2‎=-x+1‎⟺a=x‎2‎-x-1‎在区间‎1,2‎上有解,‎ 令gx=x‎2‎-x-1‎,‎‎1≤x≤2‎ 由gx=x‎2‎-x-1‎的图象是开口朝上,且以直线x=‎‎1‎‎2‎为对称轴的抛物线 故当x=1‎时,gx取最小值‎-1‎ 当x=2‎时,gx取最大值‎1‎ 故a的范围为‎-1,1‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了构造函数法求方程的解以及参数范围,解题的关键是将已知转化为方程a=x‎2‎-x-1‎在区间‎1,2‎上有解,属于基础题。‎ ‎13.6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意a‎//‎b计算出结果,且方向相反 ‎【详解】‎ ‎∵a=‎1-m,-2‎,b=‎‎5,m-4‎‎,‎a‎//‎b ‎∴‎1-mm-4‎=-10‎‎,‎ 解得m‎1‎‎=6‎,‎m‎2‎‎=-1‎ 当m=6‎时,a‎=‎-5,-2‎,b=‎‎5,2‎,符合题意 当m=-1‎时,a‎=‎2,-2‎,b=‎‎5,-5‎,不符合题意,故舍去 故m=6‎ 故答案为‎6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的平行,由点坐标计算公式代入即可求出结果,注意向量是相反向量。‎ ‎14.4‎ ‎【解析】试题分析:设等比数列的公比为.∵,∴,化为,解得.∴.故答案为:4.‎ 考点:等比数列的通项公式.‎ ‎15.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当fx=2‎时的值,然后再令fx=ln5‎与fx=-1‎,画出函数图像求出解的个数 ‎【详解】‎ 当x>0‎时,由fx=2‎,‎ex‎-3=2⟹x=ln5‎ 当x<0‎时,由fx=2‎,‎‎-x‎2‎-2x+1=2⟹x=-1‎ ffx=2‎的解的个数即可fx=ln5‎与fx=-1‎的解的个数之和 如图所示 ‎10‎ 则函数fx在R上递增,由f‎1‎=0‎可得fx‎1‎=0‎,解得x‎1‎‎=1‎ ‎∵‎存在实数x‎1‎,x‎2‎,使得fx‎1‎=gx‎2‎=0‎,且‎∣x‎1‎﹣x‎2‎∣≤1‎ 即为gx‎2‎=0‎,且‎∣1﹣x‎2‎∣≤1‎ 即x‎2‎‎-ax-a+3=0‎在‎0≤x≤2‎有解,‎ ‎∴a=x‎2‎‎+3‎x+1‎=x+1‎+‎4‎x+1‎-2‎在‎0≤x≤2‎有解,‎ 设t=x+1‎‎1≤t≤3‎ 则t+‎4‎t-2‎在‎1,2‎递减,‎2,3‎递增 可得最小值为2,最大值为3‎ 则实数a的取值范围是‎2,3‎ 故答案为‎2,3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运用,利用导数求单调性和极值,最值,考查了参数分离法和运算能力,属于中档题。‎ ‎17.(1)fx=sin‎4x+‎π‎6‎;(2)[‎-1,‎‎3‎‎2‎]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴利用三角函数的恒等变换化简函数fx的表达式为sin‎2ωx+‎π‎6‎,再根据fx的最小正周期T=‎π‎2‎求得ω的值,从而得到fx的表达式 ‎⑵根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律,可得gx=‎sin‎2x-‎π‎3‎,由题意可得y=gx与y=k在区间‎0,‎π‎2‎上有解,结合正弦函数的图像求得答案 ‎【详解】‎ ‎(1)‎fx=‎3‎sinωx⋅cosωx+cos‎2‎ωx-‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin2ωx+cos2ωx+1‎‎2‎-‎1‎‎2‎=sin‎2ωx+‎π‎6‎ 又fx的最小正周期T=‎π‎2‎,所以T=‎2π‎2ω=πω=‎π‎2‎,所以ω=2‎,‎ 所以fx=sin‎4x+‎π‎6‎.‎ ‎(2)将fx的图象向右平移π‎8‎个单位长度后,得到y=sin‎4x-‎π‎3‎的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的‎2‎倍(纵坐标不变)得到y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,‎ 所以gx=sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 当‎0≤x≤‎π‎2‎ 时,‎-π‎3‎≤2x-π‎3‎≤‎‎2π‎3‎,‎ 易知当‎-π‎3‎≤2x-π‎3‎≤‎π‎2‎,即 ‎0≤x≤‎5‎‎12‎π时,gx递增,且gx∈‎‎-‎3‎‎2‎,1‎,‎ 当π‎2‎‎<2x-π‎3‎≤‎‎2π‎3‎,即 ‎5‎‎12‎π0‎,则b=5k,c=7k,利用余弦定理即可求得三个内角中最大角的度数;‎ ‎⑵利用向量的数量积和余弦定理即可得到ac的值和cosB=‎‎2‎‎3‎,进而得到sinB=‎‎5‎‎3‎,然后根据三角形的面积公式求得答案 ‎【详解】‎ ‎(1)a,b,c 依次成等差数列,得‎2b=a+c ‎ 又sinA:sinB=3:5‎ , ‎∴a:b=3:5‎ ‎ 设‎∴a=3k,b=5k ,则‎∴c=7k∴‎最大角为 C ‎ 由cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=-‎‎1‎‎2‎ ,得C=‎‎120‎‎∘‎ ‎(2)由b=1,a+c=2‎ ‎ 又由BA‎⋅BC=b‎2‎-‎a-c‎2‎ 得ac⋅cosB=b‎2‎-‎a-c‎2‎ ‎ ‎ ‎∵b‎2‎=a‎2‎+c‎2‎-2ac⋅cosB,∴ac=‎9‎‎10‎,cosB=‎‎2‎‎3‎ ‎ ‎ ‎∴sinB=‎5‎‎3‎,‎ ‎ 从而‎△ABC的面积为‎1‎‎2‎acsinB=‎1‎‎2‎×‎9‎‎10‎×‎5‎‎3‎=‎‎3‎‎5‎‎20‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理及面积公式解三角形,熟练运用公式是解题关键,较为基础。‎ ‎19.(1),;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设数列的首项为,公差为,,代入方程组成方程组求解;(2)首先令,求,然后当时,令,代入两式相减,得到,这样得到数列的通项公式,然后再求和.‎ 试题解析:(1)设等差数列的公差为,由,得①由,得②易得.‎ ‎(2)令,则有,,‎ 由(1)得,故,即,面,所以可得,于是.即.‎ 考点:1.等差数列;2. 已知求;3.等比数列求和.‎ ‎【方法点睛】本题主要考察了数列中已知求的问题,属于基础题型,所用到的公式就是,出题形式有给出前n项和的通项公式,直接根据公式求解,或给出与的一个方程,这时一般是当时,令再构造一个式子,两式相减消掉,得到递推公式,时,,再求通项公式,或是如本题第(2)问的形式,,同样是当时,令再构造一个式子,两式相减得到,以上为做题时常见的类型.‎ ‎20.(1)-2;1;(2)‎‎-20⇔OA⋅OB>0‎,然后求出结果 ‎【详解】‎ ‎(1)易知a=2‎,b=1‎,c=‎‎3‎,所以F‎1‎‎-‎3‎,0‎,F‎2‎‎3‎‎,0‎,‎ 设 Px,y,则PF‎1‎‎⋅PF‎2‎=‎-‎3‎-x,-y⋅‎3‎‎-x,-y=x‎2‎+y‎2‎-3=x‎2‎+1-x‎2‎‎4‎-3=‎1‎‎4‎‎3x‎2‎-8‎.‎ 因为x∈‎‎-2,2‎,故当x=0‎,即点P为椭圆短轴端点时,PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎有最小值‎-2‎;‎ 当x=±2‎,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF‎1‎‎⋅‎PF‎2‎ 有最大值‎1‎.‎ ‎(2)显然直线x=0‎不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2‎,Ax‎1‎‎,‎y‎1‎,Bx‎2‎‎,‎y‎2‎,‎ 联立y=kx+2,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎ 消去y,整理得k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎x‎2‎‎+4kx+3=0‎,所以x‎1‎‎+x‎2‎=-‎4kk‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎,x‎1‎⋅x‎2‎=‎3‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎.‎ 由Δ=‎4k‎2‎-4k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎×3=4k‎2‎-3>0‎得k>‎3‎‎2‎ 或 k<-‎3‎‎2‎ ⋯⋯①‎ 又‎0‎‎∘‎‎<∠AOB<‎90‎‎∘‎⇔cos∠AOB>0⇔OA⋅OB>0,‎ 所以OA‎⋅OB=x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎>0.‎ 又y‎1‎y‎2‎‎=kx‎1‎+2‎kx‎2‎+2‎=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+2kx‎1‎‎+‎x‎2‎+4‎ ‎=‎3‎k‎2‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎+‎-8‎k‎2‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎+4=‎‎-k‎2‎+1‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎ 因为 ‎3‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎‎+‎-k‎2‎+1‎k‎2‎‎+‎‎1‎‎4‎>0‎,即 k‎2‎‎<4‎,所以‎-2‎1‎x,‎ 因为当x→0‎ 时,‎1‎x‎→+∞,则gx→+∞‎,‎ 即gx在x∈‎‎0,1‎上的值域为e,+∞‎,‎ 当a≤e时,当x∈‎‎0,1‎时,a0,fʹx<0‎ 恒成立,fx单调递减,不符合题意.‎ 当a>e时,‎设gx‎0‎=a,因为当x∈‎0,1‎时,gx单调递减.‎ 所以,当x‎0‎‎‎exx,即ex‎-ax<0,fʹx>0‎,fx 单调递增;‎ 当‎0a,即a<‎exx,即ex‎-ax>0,fʹx<0‎,fx 单调递减;‎ 所以当a>e时,fx在‎0,1‎内有极值点x‎0‎.‎ 综上a的取值范围为e,+∞‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义及极值情况,在解答过程中需要对参量进行分类讨论,一定要掌握对参量的分类方法,然后求出每种情况的结果,有一定的计算量,属于中档题。‎ ‎22.(1)x‎2‎‎+y+‎‎3‎‎2‎=4‎;(2)‎‎5‎‎2‎‎-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴利用极坐标与直角坐标的互化公式得出点P的直角坐标,消去参数θ即可得到曲线C的直角坐标方程 ‎⑵将曲线C的直角坐标方程化为参数方程,设出点Q,M的坐标,然后根据点到直线的距离公式列出表达式,再根据三角函数的值域求得答案 ‎【详解】‎ ‎(1)点P的直角坐标‎3,‎‎3‎,由x=2‎cosθy=-‎3‎+2‎sinθ,得x‎2‎‎+y+‎‎3‎‎2‎=4‎.,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x‎2‎‎+y+‎‎3‎‎2‎=4‎.‎ ‎(2)曲线C的参数方程为x=2‎cosθy=-‎3‎+2‎sinθ(θ为参数),‎ 直线l的普通方程为x+2y+1=0‎,‎ 设Q‎2‎cosθ,-‎3‎+2‎sinθ,则M‎3‎‎2‎‎+‎cosθ,‎sinθ,那么点M到直线l的距离 d=‎3‎‎2‎‎+‎cosθ+2‎sinθ+1‎‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎sinθ+φ‎+‎‎5‎‎2‎‎5‎=‎5‎‎2‎-1‎‎,‎ 所以点M到直线l的最小距离为‎5‎‎2‎‎-1‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的极坐标,圆的参数方程与普通方程互化等基础知识,意在考查转化与化归能力和基本运算能力,综合性较强。‎ ‎23.(1)a=2,m=3‎;(2)‎‎-∞,‎t+2‎‎2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a,m的值. (2)根据绝对值的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集.‎ 试题解析:‎ ‎(1)因为‎|x-a|≤m所以a-m≤x≤a+m a-m=-1‎a+m=5‎‎∴a=2,m=3‎ ‎(2)a=2‎时等价于‎|x-2|+t≥|x|‎ 当x≥2,x-2+t≥x,‎因为,所以舍去 ‎ 当‎0≤x<2,2-x+t≥x,∴0≤x≤t+2‎‎2‎,‎成立 当x<0,2-x+t≥-x成立 所以,原不等式解集是‎(-∞,t+2‎‎2‎]‎ ‎ 点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想;法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇,渗透,解题时强化函数,数形结合与转化化归思想方法的灵活应用. ‎
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