2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析
2019届广东省华南师范大学附属中学
高三上学期第二次月考数学(文)试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.若集合M=xx≤1,N=yy=x2,x≤1,则
A. M=N B. M⊆N C. N⊆M D. M∩N=∅
2.若复数 z 满足2z+z=3-2i (其中 i 为虚数单位),则z=
A. -1+2i B. -1-2i C. 1+2i D. 1-2i
3.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.在数列中,若,且对所有 满足,则
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)=lgx4-x,则
A. f(x)在(0,4)单调递减 B. f(x)在(0,2)单调递减,在(2,4)单调递增
C. y=f(x)的图象关于点(2,0)对称 D. y=f(x)的图象关于直线x=2对称
6.设数列an为等差数列,其前 n 项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,
a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则k的值为
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
7.中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆 x29+y24=1 有相同的焦距,一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的方程为
A. x24-y2=1 或 y2-x24=1 B. x2-y24=1 或 y2-x24=1
C. x24-y2=1 D. y2-x24=1
8.若α∈π4,π,且3cos2α=4sinπ4-α,则sin2α的值为
A. 79 B. 19 C. -79 D. - 19
9.同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在-π6,π3上是增函数的一个函数是
A. y=sinx2+π6 B. y=sin2x-π6
C. y=cos2x+π3 D. y=sin2x+π6
10.在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足bcosC=3a-ccosB,若BC⋅BA=4,则ac 的值为
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
11.已知函数fn=n2cosnπ,且an=fn+fn+1,则a1+a2+a3+⋯+a100=
A. 0 B. -100 C. 100 D. 10200
12.已知函数fx=a-x21≤x≤2与gx=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是
A. -54,+∞ B. 1,2 C. -54,1 D. -1,1
二、填空题
13.已知向量a=1-m,-2,b=5,m-4,若a//b且方向相反,则m=__________.
14.在各项均为正数的等比数列中,若, ,则的值是 .
15.已知函数fx=ex-3,x>0-x2-2x+1,x<0,则方程ffx=2 的解的个数为_______.
16.已知函数fx=ex-1+x-2e为自然对数的底数,gx=x2-ax-a+3. 若存在实数x1,x2,使得 fx1=gx2=0.且∣x1﹣x2∣≤1,则实数a的取值范围是________________ .
三、解答题
17.已知函数fx=3sinωx⋅cosωx+cos2ωx-12ω>0,其最小正周期为 π2.
(1)求 fx 的表达式;
(2)将函数fx的图象向右平移π8个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数 y=gx 的图象,若关于 x 的方程 gx+k=0 在区间 0,π2上有解,求实数k的取值范围.
18.已知在△ABC中,三边长a,b,c依次成等差数列.
(1)若sinA:sinB=3:5 ,求三个内角中最大角的度数;
(2)若b=1且 BA⋅BC=b2-a-c2,求△ABC的面积.
19.已知是一个公差大于的等差数列, 且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列和数列满足等式,求数列的前项和.
20.设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1⋅PF2的最大值和最小值;
(2)设过定点M0,2的直线 l 与椭圆交于不同的两点AB,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l 的斜率k的取值范围.
21.已知函数fx=exx-ax-lnx.
(1)当a=1时,试求fx在1,f1处的切线方程;
(2)若fx在0,1内有极值,试求a的取值范围.
22.已知平面直角坐标系xoy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为23,π6,直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+1=0,曲线C的参数方程为x=2cosθy=-3+2sinθ (θ为参数).
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;
(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点到直线l的距离的最小值.
23.已知函数fx=x-a
(1)若fx≤m的解集为-1,5,求实数a,m的值;
(2)当a=2且0≤t<2时,解关于x的不等式fx+t≥fx+2
2019届广东省华南师范大学附属中学
高三上学期第二次月考数学(文)试题
数学 答 案
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
化简确定出集合M,N,即可得到结果
【详解】
∵集合M=xx≤1,
∴集合M=x-1≤x≤1,
∵N=yy=x2,x≤1,则N=y0≤y≤1
∴N⊆M,
故选C
【点睛】
本题主要考查了集合间的关系,属于基础题。
2.D
【解析】
【分析】
设z=a+bi,然后根据题意求出结果
【详解】
设z=a+bia,b∈R
则2z+z=2a+bi+a-bi=3a+bi=3-2i
解得a=1,b=-2
∴z=1-2i,
故选D
【点睛】
本题主要考查了复数的加减法以及共轭复数的运用,较为基础。
3.C
【解析】分析:根据条件以及抛物线定义得|a|,即可得焦点F到准线l的距离.
详解:因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以|a|4=7-5∴|a|=8,
因此焦点F到准线l的距离是|a|2=4,,
选C.
点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+p2;若过焦点的弦AB AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.
4.B
【解析】
试题分析:依题意,;;;,所以.
考点:递推数列求通项.
5.C
【解析】
【分析】
先得到x4-x的单调性,然后求出复合函数的单调性
【详解】
由x4-x>0可得0
0,解得n<20.5
∴Sn的最大值为S20,则k=20
故选C
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的通项公式化简求值,考查了推理论证能力,较为基础。
7.A
【解析】
【分析】
先求出椭圆的焦距,从而得到双曲线的焦距,再由双曲线的渐近线方程,就能求出双曲线的标准方程。
【详解】
∵椭圆x29+y24=1中,c=9-4=5
∴焦距F1F2=2c=25
∵双曲线C与椭圆 x29+y24=1 有相同的焦距,一条渐近线方程为x-2y=0,
设双曲线方程为x24-y2=λλ≠0,化为标准方程为x24λ-y2λ=1
当λ>0时,c=λ+4λ=5,解得λ=1
则双曲线方程为x24-y2=1
当λ<0时,c=-λ-4λ=5,解得λ=-1
则双曲线方程为 y2-x24=1
综上,则双曲线方程为x24-y2=1 或 y2-x24=1
故选A
【点睛】
本题主要考查的是双曲线方程的求法,解题时要认真审题,熟练掌握双曲线和椭圆的简单性质是解题的关键。
8.D
【解析】
【分析】
运用二倍角公式和两角差的正弦公式进行化简,再结合同角三角函数关系求出结果
【详解】
∵α∈π4,π,且3cos2α=4sinπ4-α,
∴3cos2α-sin2α=422cosα-22sinα
化简可得3cosα+sinα=22
两边平方可得1+sin2α=89
则sin2α=89-1=-19
故选D
【点睛】
本题主要考查了三角函数两角和与差公式和倍角公式,熟练掌握各个公式是解题的关键,属于基础题。
9.B
【解析】
【分析】
运用三角函数的性质对四个选项逐一进行分析即可得到结论
【详解】
对于A,y=sinx2+π6,T=2π12=4π≠π,故排除A
对于B,y=sin2x-π6,T=π,满足图象关于直线x=π3对称,且在-π6,π3上是增函数,符合题意
对于C,y=cos2x+π3,令2x+π3=kπ,x=-π6+kπ2,其图象不关于直线x=π3对称,故排除C
对于D,y=sin2x+π6,令2x+π6=π2+kπ,x=π6+kπ2,其图象不关于直线x=π3对称,故排除D
故选B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像性质,考查了其周期性、对称性、单调性等知识点,熟练运用图像性质来解题是关键。
10.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理可得cosB的值,由BC⋅BA=4可得ac的值
【详解】
在∆ABC中,∵bcosC=3a-ccosB
由正弦定理可得sinBcosC=3sinA-sinCcosB
∴3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC化为:3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
即sinB+C=sinA
在∆ABC中,sinA≠0,故cosB=13
∵BC⋅BA=4,
可得accosB=4,即ac=12
故选A
【点睛】
本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理,向量的数量积的运用,考查了两角和公式,考查了分析问题和解决问题的能力,属于中档题。
11.B
【解析】
【分析】
先求出分段函数fn的解析式,进一步求出数列的通项公式,再使用分组求和法求解。
【详解】
fn=n2cosnπ=-1n⋅n2=-n2n为奇数n2n为偶数,
由an=fn+fn+1=-1n⋅n2+-1n+1⋅n+12
=-1nn2-n+12=-1n+1⋅2n+1,
可得:
a1+a2+a3+⋯+a100=3+-5+7+-9+…+199+-201=50×-2=-100
故选B
【点睛】
本题是一道分段数列求和的问题,综合三角知识,解题的关键是找出数列的通项,然后分组求和,属于基础题。
12.D
【解析】
【分析】
由已知条件可得方程a-x2=-x+1⟺a=x2-x-1在区间1,2上有解,构造函数gx=x2-x-1,求出它的值域,得到a的范围即可
【详解】
若函数fx=a-x21≤x≤2与gx=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,
则方程a-x2=-x+1⟺a=x2-x-1在区间1,2上有解,
令gx=x2-x-1,1≤x≤2
由gx=x2-x-1的图象是开口朝上,且以直线x=12为对称轴的抛物线
故当x=1时,gx取最小值-1
当x=2时,gx取最大值1
故a的范围为-1,1
故选D
【点睛】
本题主要考查了构造函数法求方程的解以及参数范围,解题的关键是将已知转化为方程a=x2-x-1在区间1,2上有解,属于基础题。
13.6
【解析】
【分析】
由题意a//b计算出结果,且方向相反
【详解】
∵a=1-m,-2,b=5,m-4,a//b
∴1-mm-4=-10,
解得m1=6,m2=-1
当m=6时,a=-5,-2,b=5,2,符合题意
当m=-1时,a=2,-2,b=5,-5,不符合题意,故舍去
故m=6
故答案为6
【点睛】
本题考查了向量的平行,由点坐标计算公式代入即可求出结果,注意向量是相反向量。
14.4
【解析】试题分析:设等比数列的公比为.∵,∴,化为,解得.∴.故答案为:4.
考点:等比数列的通项公式.
15.5
【解析】
【分析】
先求出当fx=2时的值,然后再令fx=ln5与fx=-1,画出函数图像求出解的个数
【详解】
当x>0时,由fx=2,ex-3=2⟹x=ln5
当x<0时,由fx=2,-x2-2x+1=2⟹x=-1
ffx=2的解的个数即可fx=ln5与fx=-1的解的个数之和
如图所示
10
则函数fx在R上递增,由f1=0可得fx1=0,解得x1=1
∵存在实数x1,x2,使得fx1=gx2=0,且∣x1﹣x2∣≤1
即为gx2=0,且∣1﹣x2∣≤1
即x2-ax-a+3=0在0≤x≤2有解,
∴a=x2+3x+1=x+1+4x+1-2在0≤x≤2有解,
设t=x+11≤t≤3
则t+4t-2在1,2递减,2,3递增
可得最小值为2,最大值为3
则实数a的取值范围是2,3
故答案为2,3
【点睛】
本题主要考查了导数的运用,利用导数求单调性和极值,最值,考查了参数分离法和运算能力,属于中档题。
17.(1)fx=sin4x+π6;(2)[-1,32]
【解析】
【分析】
⑴利用三角函数的恒等变换化简函数fx的表达式为sin2ωx+π6,再根据fx的最小正周期T=π2求得ω的值,从而得到fx的表达式
⑵根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律,可得gx=sin2x-π3,由题意可得y=gx与y=k在区间0,π2上有解,结合正弦函数的图像求得答案
【详解】
(1)fx=3sinωx⋅cosωx+cos2ωx-12=32sin2ωx+cos2ωx+12-12=sin2ωx+π6
又fx的最小正周期T=π2,所以T=2π2ω=πω=π2,所以ω=2,
所以fx=sin4x+π6.
(2)将fx的图象向右平移π8个单位长度后,得到y=sin4x-π3的图象;再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin2x-π3的图象,
所以gx=sin2x-π3,
当0≤x≤π2 时,-π3≤2x-π3≤2π3,
易知当-π3≤2x-π3≤π2,即 0≤x≤512π时,gx递增,且gx∈-32,1,
当π2<2x-π3≤2π3,即 512π0,则b=5k,c=7k,利用余弦定理即可求得三个内角中最大角的度数;
⑵利用向量的数量积和余弦定理即可得到ac的值和cosB=23,进而得到sinB=53,然后根据三角形的面积公式求得答案
【详解】
(1)a,b,c 依次成等差数列,得2b=a+c
又sinA:sinB=3:5 , ∴a:b=3:5
设∴a=3k,b=5k ,则∴c=7k∴最大角为 C
由cosC=a2+b2-c22ab=-12 ,得C=120∘
(2)由b=1,a+c=2
又由BA⋅BC=b2-a-c2 得ac⋅cosB=b2-a-c2
∵b2=a2+c2-2ac⋅cosB,∴ac=910,cosB=23
∴sinB=53,
从而△ABC的面积为12acsinB=12×910×53=3520
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理及面积公式解三角形,熟练运用公式是解题关键,较为基础。
19.(1),;(2) .
【解析】
试题分析:(1)设数列的首项为,公差为,,代入方程组成方程组求解;(2)首先令,求,然后当时,令,代入两式相减,得到,这样得到数列的通项公式,然后再求和.
试题解析:(1)设等差数列的公差为,由,得①由,得②易得.
(2)令,则有,,
由(1)得,故,即,面,所以可得,于是.即.
考点:1.等差数列;2. 已知求;3.等比数列求和.
【方法点睛】本题主要考察了数列中已知求的问题,属于基础题型,所用到的公式就是,出题形式有给出前n项和的通项公式,直接根据公式求解,或给出与的一个方程,这时一般是当时,令再构造一个式子,两式相减消掉,得到递推公式,时,,再求通项公式,或是如本题第(2)问的形式,,同样是当时,令再构造一个式子,两式相减得到,以上为做题时常见的类型.
20.(1)-2;1;(2)-20⇔OA⋅OB>0,然后求出结果
【详解】
(1)易知a=2,b=1,c=3,所以F1-3,0,F23,0,
设 Px,y,则PF1⋅PF2=-3-x,-y⋅3-x,-y=x2+y2-3=x2+1-x24-3=143x2-8.
因为x∈-2,2,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,PF1⋅PF2有最小值-2;
当x=±2,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF1⋅PF2 有最大值1.
(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx+2,Ax1,y1,Bx2,y2,
联立y=kx+2,x24+y2=1,
消去y,整理得k2+14x2+4kx+3=0,所以x1+x2=-4kk2+14,x1⋅x2=3k2+14.
由Δ=4k2-4k2+14×3=4k2-3>0得k>32 或 k<-32 ⋯⋯①
又0∘<∠AOB<90∘⇔cos∠AOB>0⇔OA⋅OB>0,
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2>0.
又y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+4
=3k2k2+14+-8k2k2+14+4=-k2+1k2+14
因为 3k2+14+-k2+1k2+14>0,即 k2<4,所以-21x,
因为当x→0 时,1x→+∞,则gx→+∞,
即gx在x∈0,1上的值域为e,+∞,
当a≤e时,当x∈0,1时,a0,fʹx<0 恒成立,fx单调递减,不符合题意.
当a>e时,设gx0=a,因为当x∈0,1时,gx单调递减.
所以,当x0exx,即ex-ax<0,fʹx>0,fx 单调递增;
当0a,即a<exx,即ex-ax>0,fʹx<0,fx 单调递减;
所以当a>e时,fx在0,1内有极值点x0.
综上a的取值范围为e,+∞.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义及极值情况,在解答过程中需要对参量进行分类讨论,一定要掌握对参量的分类方法,然后求出每种情况的结果,有一定的计算量,属于中档题。
22.(1)x2+y+32=4;(2)52-1
【解析】
【分析】
⑴利用极坐标与直角坐标的互化公式得出点P的直角坐标,消去参数θ即可得到曲线C的直角坐标方程
⑵将曲线C的直角坐标方程化为参数方程,设出点Q,M的坐标,然后根据点到直线的距离公式列出表达式,再根据三角函数的值域求得答案
【详解】
(1)点P的直角坐标3,3,由x=2cosθy=-3+2sinθ,得x2+y+32=4.,
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y+32=4.
(2)曲线C的参数方程为x=2cosθy=-3+2sinθ(θ为参数),
直线l的普通方程为x+2y+1=0,
设Q2cosθ,-3+2sinθ,则M32+cosθ,sinθ,那么点M到直线l的距离
d=32+cosθ+2sinθ+112+22=5sinθ+φ+525=52-1,
所以点M到直线l的最小距离为52-1.
【点睛】
本题主要考查了直线的极坐标,圆的参数方程与普通方程互化等基础知识,意在考查转化与化归能力和基本运算能力,综合性较强。
23.(1)a=2,m=3;(2)-∞,t+22
【解析】
试题分析:(1)根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a,m的值.
(2)根据绝对值的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集.
试题解析:
(1)因为|x-a|≤m所以a-m≤x≤a+m
a-m=-1a+m=5∴a=2,m=3
(2)a=2时等价于|x-2|+t≥|x|
当x≥2,x-2+t≥x,因为,所以舍去
当0≤x<2,2-x+t≥x,∴0≤x≤t+22,成立
当x<0,2-x+t≥-x成立
所以,原不等式解集是(-∞,t+22]
点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想;法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇,渗透,解题时强化函数,数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.