【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业

‎2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 ‎1、若的展开式中的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、在展开式中的常数项为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．7‎ ‎3、已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、在的二项展开式中，若第四项的系数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、若的展开式中的系数为8，则_____________．‎ ‎6、名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有_____种不同结果（用数字作答）‎ ‎7、若 ，则__________．‎ ‎8、在的展开式中，常数项为__________．‎ ‎9、已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______结果用数值表示 ‎10、如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．‎ ‎11、有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？‎ 名女生排在一起；‎ 名女生次序一定，但不一定相邻；‎ 名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；‎ 每两名女生之间至少有两名男生；‎ 名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．‎ ‎12、已知，．‎ 当时，求的值；‎ 当时，是否存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列？并说明理由；‎ 当时，求的值用m表示．‎ ‎13、已知 ‎（1）求及的值；‎ ‎（2）求证：（），并求的值.‎ ‎（3）求的值.‎ ‎14、有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．‎ ‎（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；‎ ‎（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；‎ ‎（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.‎ 参考答案 ‎1、答案：D ‎ 由题意二项式的展开式为，‎ ‎ 展开式的为，所以，‎ ‎ 解得，故选D.‎ ‎2、答案：D 求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 展开项中的常数项及含的项分别为：‎ ‎,，‎ 所以展开式中的常数项为：.‎ 故选：D 本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3、答案：C 本题首先可以根据二项式得出各项系数的和，然后根据二项式得出各项二项式系数的和，最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 二项式的各项系数的和为，‎ 二项式的各项二项式系数的和为，‎ 因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，‎ 所以，，故选C。‎ 本题考查二项式的相关性质，主要考查二项式的各项系数的和以及各项二项式系数的和，考查计算能力，体现了基础性，提高了学生对于二项式的理解，是简单题。‎ ‎4、答案：B ‎ ， ， ，解得： ‎ ‎，故选B.‎ ‎5、答案：1‎ 先把化为，然后各自利用二项展开通项公式，选出展开式中含的项进行加减运算即可.‎ ‎【详解】‎ 的展开式中含的项为，根据题意可得，解得．‎ 本题考查二项展开的通项，直接化简运算即可，难点在于把化为后各自求二项展开通项，属于基础题.‎ ‎6、答案：9‎ 分两种情况：其一，甲当选班长，3种情况；其二，甲没有当选职位，有6种方法，共9种.‎ ‎【详解】‎ 当甲当选班长时，则文娱委员就从剩下的3个人中选择，有3种选法；当甲没有当选时，两个职位从剩下的3个人中选择，并排好职位，有种方法；共9种方法.‎ 故答案为：9.‎ 求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；‎ ‎（2）元素相间的排列问题——“插空法”；‎ ‎（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；‎ ‎（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．‎ ‎7、答案：-80‎ 根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，根据二项式展开式的公式得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 根据二项式的展开式得到所对应的应该是的系数，由展开式的公式可得到含有的展开项为.‎ 故答案为：-80.‎ 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎8、答案：‎ 由二项展开式的通项公式得： ，显然时可能有常数项，当时， ，有常数项，当， 的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．‎ ‎9、答案：-84‎ 由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为求得r，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，得．‎ ‎，‎ 其二项展开式的通项．‎ 由，得．‎ 展开式中含项的系数是．‎ 故答案为：．‎ 本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．‎ ‎10、答案：‎ 二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,‎ 令可得展开式中的所有项的系数之和是.‎ ‎11、答案：（1）（2）（3）（4）（5）‎ 试题分析：根据题意，用捆绑法分2步分析：，3名女生看成一个整体，，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；‎ 根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；‎ 根据题意，分2步分析：，将5名男生全排列，，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；‎ 根据题意，分2种情况讨论：，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2‎ 名男生，，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；‎ 根据题意，分2种情况讨论：，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，，A、B、C三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步分析：‎ ‎，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有种情况，‎ ‎，将这个整体与5名男生全排列，有种情况，‎ 则3名女生排在一起的排法有种；‎ 根据题意，将8人排成一排，有种排法，‎ 由于3名女生次序一定，则有种排法；‎ 根据题意，分2步分析：‎ ‎，将5名男生全排列，有种情况，‎ ‎，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有种情况，‎ 则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有种；‎ 根据题意，将3名女生排成一排，有种情况，分2种情况讨论：‎ ‎，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，‎ 将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有种排法；‎ ‎，任意2名女生之间都有2名男生，‎ 将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，‎ 有种排法；‎ 则每两名女生之间至少有两名男生的排法有种；‎ 根据题意，分2种情况分析：‎ ‎，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有种排法，‎ 将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有种情况，‎ 则此时有种排法；‎ ‎，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有种情况，‎ 将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有种，‎ 则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有种排法．‎ 本题主要考查了排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理，属于中档题．‎ ‎12、答案：（1）；（2）不存在；（3）.‎ 试题分析：在的二项式定理中，先令得所有项系数和，再令得常数项，然后相减即得．‎ 将变成后，利用二项展开式的通项公式可得，再假设存在正整数n，r满足题意，利用等差数列的性质得，化简整理，解方程即可判断存在性；‎ 求得，2，3的代数式的值，即可得到所求结论．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 当时，令和，可得：‎ ‎，，‎ 故；‎ 当时，假设存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列，‎ 由二项式定理可知，，若、、成等差数列，则，‎ 即，即，‎ 化简得，‎ 即为，‎ 若、、成等差数列，同理可得，‎ 即有，‎ 即为，‎ 化为，‎ 可得，方程无解，‎ 则不存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列；‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 可得时，．‎ 本题考查二项式定理及等差数列的性质，组合数公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于综合题．‎ ‎13、答案：（1）；（2）见解析；（3）.‎ 试题分析：（1）用赋值法可求解，令可求得，令可求得。‎ ‎（2）左边用阶乘展开可证。再由己证式结合裂项求和，可求解（3）法一：先证公式再用公式化简可求值。法二：将两边求导，再赋值x=1和x=-1可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，（）‎ 在（）中，令得 在（）中，令得，所以 ‎（2）证明：‎ 因为 ‎，‎ 由二项式定理可得 所以 因为，‎ 所以 ‎（3）法一：由（2）知 因为，‎ 所以 ‎+‎ 则，所以 法二：将两边求导，‎ 得 令得；①‎ 令得.②‎ ‎①②得解得 ‎，‎ 所以.‎ 本题考查二项式定理中的赋值法求值问题，这是解决与二项式定理展开式中系数求和中的常用方法。‎ ‎14、答案：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；‎ ‎（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；‎ ‎（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；‎ 试题分析：（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置。（2‎ ‎）相邻问题用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列。（3）不相邻问题用插空法，先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）先排最左边，除去甲外有种，余下的6个位置全排有种，‎ 则符合条件的排法共有种.‎ ‎（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有576种；‎ ‎（3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有种.‎ 答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；‎ ‎（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；‎ ‎（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种.‎ 利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.常用的方法技巧有，有特殊元素或特殊位置，对于特殊元素或位置“优先法”，对于不相邻问题，采用“插空法”。对于相邻问题，采用“捆绑法”，对于正面做比较困难时，常采用“间接法”。‎