2019-2020学年山东省滨州市十二校联考高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省滨州市十二校联考高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省滨州市十二校联考高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．若命题，，则命题的否定：（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题、全称命题的概念直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 命题的否定: ，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，属基础题.‎ ‎2．已知向量，，则向量（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据空间向量的减法的坐标运算直接求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的减法的坐标运算，属基础题.‎ ‎3．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明　(　　)‎ A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品 D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%‎ ‎【答案】D ‎【解析】合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率.‎ 故选D ‎4．一批灯泡只，其中、、的数目之比是，现用分层抽样的方法产生一个容量为的样本，则三种灯泡依次抽取的个数为（ ）‎ A．20，15，5 B．4，3，1‎ C．16，12，4 D．8，6，2‎ ‎【答案】A ‎【解析】按分层抽样的概念直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，的灯泡抽取的个数为，的灯泡抽取的个数为，的灯泡抽取的个数为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样问题，属常规考题.‎ ‎5．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（ ）‎ ‎①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.‎ A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】按互斥事件的概念逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.‎ ‎6．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 若“，”为真命题，可得恒成立 只需，‎ 所以时，，”为真命题，‎ ‎“，”为真命题时推出，‎ 故是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，‎ 选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题.‎ ‎7．过抛物线的焦点作直线交于两点，若，则（ ）‎ A．16 B．12 C．10 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意，所以．故选B．‎ ‎【考点】抛物线的焦点弦长．‎ ‎8．设和为双曲线的两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，设，则，是等腰直角三角形的三个顶点，‎ ‎，，，即，双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.‎ ‎9．在样本的频率分布直方图中，一共有个小矩形，若第个小矩形的面积等于其余个小矩形面积之和的，且样本容量是，则第组的频数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设第个小矩形的面积为，然后根据频率分布直方图中，个小矩形的面积之和为及已知可得，求出，则频数易求.‎ ‎【详解】‎ 设第个小矩形的面积为，因为频率分布直方图中，个小矩形的面积之和为，且第个小矩形的面积等于其余个小矩形面积之和的，所以，解之得，所以第组的频数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，属基础题.‎ ‎10．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于(　　)‎ A．1 B．17‎ C．1或17 D．以上答案均不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据双曲线定义直接求解.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线有.则.‎ 由题意知，所以点在双曲线的左支,‎ 则由双曲线的定义有，故.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线定义的简单运用.解题中很容易因忽略双曲线上的点到焦点的距离的取值范围而错选.‎ 二、多选题 ‎11．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为，，，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）‎ A．成本最大的企业是丙企业 B．费用支出最高的企业是丙企业 C．支付工资最少的企业是乙企业 D．材料成本最高的企业是丙企业 ‎【答案】ABD ‎【解析】分别计算出甲、乙、丙三家企业产品的成本、材料成本、支付工资、费用支出即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意甲企业产品的成本为，其中材料成本、支付工资、费用支出；乙企业产品的成本为，其中材料成本、支付工资、费用支出；丙企业产品的成本为，其中材料成本、支付工资、费用支出.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A、B、D选项正确，C选项错误.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.‎ ‎12．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）‎ A．名运动员是总体； B．所抽取的名运动员是一个样本；‎ C．样本容量为； D．每个运动员被抽到的机会相等.‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ 根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，所以A、 B 错误，C、D正确.‎ 故选：CD.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.‎ ‎13．设集合，，分别从集合和中随机取一个元素与.记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的取值可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】BC ‎【解析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件、事件、事件、事件、事件、事件所包含基本事件的个数及相应的概率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，点的所有可能情况为、、、、、、、、、、、，共个基本事件，则事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中共个基本事件，所以.综上可得，当或时，.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题.‎ 三、填空题 ‎14．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平均数公式，可以求出，再利用标准差公式求出标准差.‎ ‎【详解】‎ 因为样本数据8，，10，11，9的平均数为10，所以，‎ 因此样本的标准差为，由题意可知用样本来估计总体的标准差，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用样本估计总体的标准差，考查了平均数公式、标准差公式，考查了数学运算能力.‎ ‎15．若，则双曲线的离心率的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件得到，再根据解得离心率取值范围.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的离心率 根据，知 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离心率的取值范围，确定关系式是解题的关键.‎ ‎16．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 设等轴双曲线方程为，由题意可得抛物线的准线为，由，得，所以不妨设点，因为点在等轴双曲线上，所以，所以等轴双曲线的方程为，即，从而实轴长,‎ 故答案为4.‎ ‎【考点】双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.‎ ‎17．在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线，与椭圆交于，两点，点在的右侧，且，则该椭圆的离心率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出，两点坐标，再由化简即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由解之得或，因为点在的右侧，所以、,又，所以、，因为，所以，即，将代入并化简可得，即，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求椭圆的离心率的问题，属常规考题.‎ 四、解答题 ‎18．己知命题：“关于的方程有实根”，若为假命题的充分不必要条件为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由为假命题得出的范围，再根据是为假命题的充分不必要条件列出关于的不等式解之即可.‎ ‎【详解】‎ 由方程有实数根可得，即， 由为假命题得 ，根据是为假命题的充分不必要条件，所以，解得，即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由充分条件或必要条件求参数的取值范围问题，属常规考题.‎ ‎19．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.现从不超过的素数中，随机选取两个不同的数（两个数无序）.（注：不超过的素数有，，，，，）‎ ‎（1）列举出满足条件的所有基本事件；‎ ‎（2）求“选取的两个数之和等于”事件发生的概率.‎ ‎【答案】（1），，，，，，，，，，，，，，；（2）.‎ ‎【解析】（1）直接列举即可；（2）先求出选取的两个数之和等于所包含基本事件的个数，再按古典概型的概率计算公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不超过的素数有，，，，，共个，随机选取两个不同的数，基本事件总数为，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，共有个基本事件；‎ ‎（2）记“选取两个数之和等于”为事件，‎ 因为，所以其和等于的有个基本事件， ‎ 故概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的问题，属基础题.‎ ‎20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) ； (2)36000；（3）.‎ ‎【解析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】‎ 频率分布直方图 ‎【名师点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎21．已知：如图，长方体中，、分别是棱，上的点，，且.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出、的坐标，然后由计算可得；（2）先求出的法向量及平面的法向量的坐标，然后计算即可求出二面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 设，依题意得，，，， ，‎ 易得，，于是，‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 ；‎ ‎（2）设平面的法向量，则，‎ 即，不妨令，可得，‎ 同理设平面的法向量，则，‎ ‎∵，，即，‎ 不妨令，可得 ，‎ 于是，从而，‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用空间向量的知识求线线角、面面角的问题，属常规考题.‎ ‎22．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位：t)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.‎ ‎(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程；‎ ‎(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据(1)中的结果回答下列问题：‎ ‎①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.‎ 附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 参考数据：.‎ ‎【答案】(1) ；（2）①销售量为，年利润2.25；②该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.‎ ‎【解析】（1）由题所给数据及参考公式，计算出回归方程；‎ ‎（2）将（1）所得回归方程代入函数式得到年利润与年宣传费之间的函数关系，利用函数知识分析。‎ ‎（3）年利润与年宣传费的比值为，求出的解析式，利用基本不等式求最值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，‎ ‎（2）①由（1）得 当时 即当年宣传费为10万元时，年销售量为，年利润的预报值为。‎ ‎②令年利润与年宣传费的比值为 则 当且仅当即时取最大值，故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求线性回归方程，利用基本不等式求最值，属于基础题．‎ ‎23．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦点为，，点，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，且点不在坐标轴上，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，然后由解之即可；（2）设，求出直线的方程，进而求出点的坐标及，同时求出直线的方程，进而求出点的坐标及，最后再计算并化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆的焦点为，，‎ 可设椭圆的方程为.又点在椭圆上，‎ 所以，解得，因此，椭圆的方程为. ‎ ‎（2）设椭圆上点，则. ‎ 由于点不在坐标轴上，直线和直线存在斜率，‎ 则直线，令，得 ，∴ ，‎ 直线，令，得 ，∴，‎ 所以 ，‎ ‎∵，∴代入上式得 ，‎ 故为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求解及椭圆中的定值问题，试题综合性强，对计算能力要求高，属中等难度题.‎