【数学】2019届一轮复习人教A版(文)专题19坐标系与参数方程教案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)专题19坐标系与参数方程教案

坐标系与参数方程 ‎[师说考点]‎ ‎1.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程:‎ ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;‎ ‎(3)当圆心位于,半径为a:ρ=2asin θ.‎ ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程:‎ ‎(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;‎ ‎(3)直线过且平行于极轴:ρsin θ=b.‎ ‎[典例] (2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.‎ ‎[解] (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)法一:由直线l的参数方程 (t为参数),消去参数得y=x·tan α.‎ 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.‎ 由圆C的方程(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.‎ 又|AB|=,由垂径定理及点到直线的距离公式得= ,即=,‎ 整理得k2=,解得k=±,‎ 即直线l的斜率为±.‎ 法二:在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+‎ ‎12ρcos α+11=0,‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|= ‎=.‎ 由|AB|=得cos2α=,tan α=±.‎ 所以直线l的斜率为-或.‎ 极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.     ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎ (2016·山西质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.‎ 解:(1)C1:ρsin=,C2:ρ2=.‎ ‎(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ=,‎ 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P.‎ 把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q.‎ ‎∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.‎ ‎[师说考点]‎ 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.‎ 当圆心在(0,0)时,方程为其中α是参数.‎ ‎(2)椭圆 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.‎ ‎[典例] (2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎[解] (1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).‎ 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,‎ d(α)==,‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.‎ 有关参数方程问题的2个关键点 ‎(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化.‎ ‎(2)利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何意义.     ‎ ‎[演练冲关]‎ ‎ (2016·郑州质检)平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为,以O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.‎ 解:(1)曲线C的直角坐标方程为:(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x,即ρ2=2ρcos θ,‎ 所以曲线C的极坐标方程为:ρ=2cos θ.‎ 直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,‎ 得t2+(m-)t+m2-‎2m=0,所以t1t2=m2-‎2m,‎ 由题意得|m2-‎2m|=1,解得m=1或m=1+或m=1-.‎ ‎1.(2016·南昌模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.‎ 解:(1)由ρ=4cos θ得其直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入圆C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-‎ ‎2tcos α-3=0.‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则 ‎∴|AB|=|t1-t2|===,‎ ‎∴4cos2α=2,故cos α=±,即α=或.‎ ‎2.(2016·广西质检)已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为2,判断直线l与曲线C1的位置关系;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(1)斜率为2时,直线l的普通方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.①‎ 将消去参数t,化为普通方程得(x-2)2+(y-4)2=4,②‎ 则曲线C1是以C1(2,4)为圆心,2为半径的圆,圆心C1(2,4)到直线l的距离d==<2,‎ 故直线l与曲线(圆)C1相交.‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,‎ 由解得 所以C1与C2交点的极坐标为.‎ ‎3.(2016·合肥质检)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.‎ ‎(1)当m=0时,判断直线l与曲线C的位置关系;‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)曲线C的普通方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;当m=0时,直线l的直角坐标方程为:x+y=0,圆心C到直线l的距离为d===r,r为圆C的半径,所以直线l与圆C相切.‎ ‎(2)由已知可得,圆心C到直线l的距离为d=≤,解得-1≤m≤5.‎ 即所求实数m的取值范围为[-1,5].‎ ‎4.(2016·贵阳模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ≥0),曲线C2的参数方程为(t为参数,0≤α<π),射线θ=φ,θ=φ+,θ=φ-与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.‎ ‎(1)求证:|OB|+|OC|=|OA|;‎ ‎(2)当φ=时,B、C两点在曲线C2上,求m与α的值.‎ 解:(1)证明:依题意|OA|=4cos φ,‎ ‎|OB|=4cos,|OC|=4cos,‎ 则|OB|+|OC|=4cos+4cos=2(cos φ-sin φ)+2(cos φ+sin φ)=4cos φ=|OA|.‎ ‎(2)当φ=时,B、C两点的极坐标分别为、,化为直角坐标为B(1,)、C(3,-),所以经过点B、C的直线方程为y-=-(x-1),而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线,故m=2,α=.‎ ‎5.(2016·合肥质检)已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=a(a>-3).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C与直线l有唯一公共点,求a的值.‎ 解:(1)由ρ2-2ρsin θ=a知其直角坐标方程为x2+y2-2y=a,即x2+(y-)2=a+3(a>-3).‎ ‎(2)将l:代入曲线C的直角坐标方程得(1+t)2+=a+3,化简得t2+t-a-2=0.‎ ‎∵曲线C与直线l仅有唯一公共点,‎ ‎∴Δ=1-4(-a-2)=0,解得a=-.‎ ‎6.(2016·广州五校联考)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(α为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρcos=-,曲线C3:ρ=2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标;‎ ‎(2)设点A,B分别为曲线C2,C3上的动点,求|AB|的最小值.‎ 解:(1)曲线C1:消去参数α,得y+x2=1,x∈[-1,1]. ①‎ 曲线C2:ρcos=-⇒x+y+1=0, ②‎ 联立①②,消去y可得:x2-x-2=0⇒x=-1或x=2(舍去),所以M(-1,0).‎ ‎(2)曲线C3:ρ=2sin θ⇒x2+(y-1)2=1,是以(0,1)为圆心,半径r=1的圆.‎ 设圆心为C,点C,B到直线x+y+1=0的距离分别为d,d′,‎ 则d==,|AB|≥d′≥d-r=-1,‎ 所以|AB|的最小值为-1.‎ ‎7.(2016·武昌区调研)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.‎ ‎(1)写出Γ的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),‎ 依题意,得即 由x+y=1,得+=1.‎ 即曲线Γ的方程为+=1.‎ 故Γ的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率k=.‎ 于是所求直线方程为y-=(x-1),‎ 即4x-6y+5=0.‎ 化为极坐标方程,得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.‎ ‎8.(2016·石家庄模拟)在极坐标系中,已知曲线C1:ρ=2cos θ和曲线C2:ρcos θ=3,以极点O为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点P是曲线C1上一动点,过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q,求线段PQ长度的最小值.‎ 解:(1)C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,C2的直角坐标方程为x=3.‎ ‎(2)设曲线C1与x轴异于原点的交点为A,‎ ‎∵PQ⊥OP,∴PQ过点A(2,0),‎ 设直线PQ的参数方程为(t为参数),‎ 代入C1可得t2+2tcos θ=0,解得t1=0,t2=-2cos θ,‎ 可知|AP|=|t2|=|2cos θ|.‎ 代入C2可得2+tcos θ=3,解得t′=,‎ 可知|AQ|=|t′|=,‎ ‎∴|PQ|=|AP|+|AQ|=|2cos θ|+≥2,当且仅当|2cos θ|=时取等号,‎ ‎∴线段PQ长度的最小值为2.‎
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