专题6-4+数列求和（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题6-4+数列求和（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

一、填空题 1．(2017·皖西七校联考)在数列{an}中，an＝2n－1 2n ，若{an}的前 n 项和 Sn＝321 64 ，则 n=______ 【解析】由 an＝2n－1 2n ＝1－1 2n得 Sn＝n－1 2 ＋1 22＋…＋1 2n＝n－ 1－1 2n ，则 Sn＝321 64 ＝n－ 1－1 2n ， 将各选项中的值代入验证得 n＝6. 2．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且 a3，a4＋5 2 ，a11 成等比数列．若 p－q＝10， 则 ap－aq＝______ 3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么 S100 的值为______ 【解析】当 n 为奇数时，an＋2－an＝0，所以 an＝1，当 n 为偶数时，an＋2－an＝2，所以 an＝n， 故 an＝ 1 n 为奇数 ， n n 为偶数 ， 于是 S100＝50＋ 2＋100 ×50 2 ＝2 600. 4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，当 n≥2 时，an＋2Sn－1＝n，则 S2 017 的值为______ 【解析】因为 an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以 an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得 an＋1＋an＝1，n≥2. 又 a1＝1，所以 S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009 5．已知数列{an}满足 an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且 a5＝π 2 ，若函数 f (x)＝sin 2x＋2cos2x 2 ， 记 yn＝f(an)，则数列{yn}的前 9 项和为______ 【解析】由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin 2x＋cos x＋1，∴f π 2 ＝1.∵f(π －x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin 2x－cos x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋ a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前 9 项和为 9. 6．设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，S1，S2，S4 成等比数列，且 a3＝－5 2 ，则数 列 1 2n＋1 an 的前 n 项和 Tn＝______ 【解析】设{an}的公差为 d，因为 S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋a3－a1 2 ＝3 2 a1－5 4 ，S4＝3a3＋a1＝a1 －15 2 ，S1， S2，S4 成等比数列，所以 3 2 a1－5 4 2＝ a1－15 2 a1，整理得 4a2 1＋12a1＋5＝0，所以 a1 ＝－5 2 或 a1＝－1 2 .当 a1＝－5 2 时，公差 d＝0 不符合题意，舍去；当 a1＝－1 2 时，公差 d＝a3－a1 2 ＝ － 1 ， 所 以 an ＝ － 1 2 ＋ (n － 1)×( － 1) ＝ － n ＋ 1 2 ＝ － 1 2 (2n －1) ， 所 以 1 2n＋1 an ＝ － 2 2n－1 2n＋1 ＝－ 1 2n－1 － 1 2n＋1 ，所以其前 n 项和 Tn＝－1－1 3 ＋1 3 －1 5 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝－ 1－ 1 2n＋1 ＝－ 2n 2n＋1 7．设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则 a1＝________，S5＝________. 8．已知数列{an}满足 an＋1＝1 2 ＋ an－a2 n，且 a1＝1 2 ，则该数列的前 2 016 项的和等于________． 【解析】因为 a1 ＝1 2 ，又 an ＋ 1 ＝1 2 ＋ an－a2 n ，所以 a2 ＝1，从而 a3 ＝1 2 ，a4 ＝1，即得 an ＝ 1 2 ，n＝2k－1 k∈N* ， 1，n＝2k k∈N* ， 故数列的前 2 016 项的和等于 S2 016＝1 008× 1＋1 2 ＝1 512. 9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若 a1＝2，{an}的“差数列” 的通项公式为 2n，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________. 【解析】∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2 ＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝2－2n＋1 1－2 ＝2n＋1－2. 10．(2017·福建泉州五中模拟)已知 lg x＋lg y＝1，且 Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋… ＋lg(xyn－1)＋lg yn，则 Sn＝________. 【解析】因为 lg x＋lg y＝1， 所以 lg(xy)＝1. 因为 Sn＝lg xn＋lg(xn－1y)＋lg(xn－2y2)＋…＋lg(xyn－1)＋lg yn， 所以 Sn＝lg yn＋lg(xyn－1)＋…＋lg(xn－2y2)＋lg(xn－1y)＋lg xn， 两式相加得 2Sn＝(lg xn＋lg yn)＋[lg(xn－1y)＋lg(xyn－1)]＋…＋(lg yn＋lg xn)＝lg(xn·yn) ＋lg(xn－1y·xyn－1)＋…＋lg(yn·xn)＝n[lg(xy)＋lg(xy)＋…＋lg(xy)]＝n2lg(xy)＝n2，所以 Sn＝n2 2 . 二、解答题 11．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn 为其前 n 项和．数列{bn}为等差数列，且满足 b1＝a1，b4＝S3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设 cn＝ 1 bn·log2a2n＋2 ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，证明：1 3 ≤Tn<1 2 . 当 n≥2 时，Tn－Tn－1＝ n 2n＋1 － n－1 2n－1 ＝ 1 2n＋1 2n－1 >0， ∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝1 3 . 综上所述，1 3 ≤Tn<1 2 . 12．已知二次函数 y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f′(x)＝6x－2，数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数 y＝f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 3 anan＋1 ，试求数列{bn}的前 n 项和 Tn.