【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-3空间点、直线、平面之间的位置关系学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）8-3空间点、直线、平面之间的位置关系学案

§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲展示► 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 考点 1 平面的基本性质及应用 平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理 2：过________的三点，有且只有一个平面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线． (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2：经过两条________直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条________直线有且只有一个平面． 答案：(1)两点 (2)不在一条直线上 (3)一个 (4)相交 平行 (1)[教材习题改编]直线 a，b，c 两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个 数为( ) A．1 B．3 C．6 D．0 答案：B (2)[教材习题改编]两两相交的三条直线最多可确定________个平面． 答案：3 判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公理或定理)． (1)如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC＝1 2 AD，BE ＝1 2 FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点． ①四边形 BCHG 的形状是________； ②点 C，D，E，F，G 中，能共面的四点是________． 答案：①平行四边形 ②C，D，E，F 解析：①∵G，H 分别为 FA，FD 的中点， ∴GH 綊 1 2 AD.又 BC 綊 1 2 AD，所以 GH 綊 BC， 所以四边形 BCHG 为平行四边形． ②由 BE＝1 2 FA，G 为 FA 的中点知，BE＝FG， 所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，所以 EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，所以 C，D，E，F 四点共面． (2)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O，AC 与 BD 交于点 M，则 点 O 与直线 C1M 的关系是________． 答案：点 O 在直线 C1M 上 解析：如图所示，因为 A1C⊂平面 A1ACC1，O∈A1C，所以 O∈平面 A1ACC1，而 O 是平面 BDC1 与直线 A1C 的交点，所以 O∈平面 BDC1，所以点 O 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上．因为 AC∩BD ＝M，所以 M∈平面 BDC1.又 M∈平面 A1ACC1，所以平面 BDC1∩平面 A1ACC1＝C1M，所以 O∈C1M. [典题 1] (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A，B，C，D 共面，点 A，B，C，E 共面，则 A，B，C，D，E 共面； ③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B [解析] ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A，B，C 三点共线，则 A，B，C，D，E 五点 不一定共面；③构造长方体如图，显然 b，c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不 共面．故只有①正确． (2)已知空间四边形 ABCD(如图所示)， E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG＝1 3 BC，CH＝1 3 DC. 求证：①E，F，G，H 四点共面； ②三直线 FH，EG，AC 共点． [证明] ①连接 EF，GH， ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD. 又∵CG＝1 3 BC，CH＝1 3 DC， ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面． ②易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M， ∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG，∴M∈EG， ∴FH，EG，AC 共点． [点石成金] 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平 面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面， 再证两平面重合． (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线 上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 考点 2 空间两直线的位置关系 (1)[教材习题改编]已知直线 a 与 b 平行，直线 c 与 b 相交，则直线 a 与 c 的位置关系是 ________． 答案：相交或异面 解析：当直线 c 在直线 a 与 b 确定的平面内时，a 与 c 相交；当直线 c 与直线 a，b 确定 的平面相交时，a 与 c 异面． (2)[教材习题改编]如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，PQ 是异面直线 A1D 与 AQ 的公垂线， 则直线 PQ 与 BD1 的位置关系为________．(填序号) ①平行；②异面；③相交但不垂直；④垂直． 答案：① 解析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面 AB1C. ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1， 同理 B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面 AB1C， ∴PQ∥BD1. 两条直线关系判断误区：异面直线概念、理解不透． 下列关于异面直线的说法正确的是________． ①若 a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ②若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面； ③若 a，b 不同在平面α内，则 a 与 b 异面； ④若 a，b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面． 答案：④ 解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确． [考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项 来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点． 主要有以下几个命题角度： 角度一 两直线位置关系的判定 [典题 2] (1)已知 a，b，c 为三条不重合的直线，已知下列结论： ①若 a⊥b，a⊥c，则 b∥c； ②若 a⊥b，a⊥c，则 b⊥c； ③若 a∥b，b⊥c，则 a⊥c. 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B [解析] 解法一：在空间中，若 a⊥b，a⊥c，则 b，c 可能平行，也可能相交，还可能异 面，所以①②错误，③显然成立． 解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确． (2) [2017·浙江余姚模拟]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD1 的中 点，则下列说法错误的是( ) A．MN 与 CC1 垂直 B．MN 与 AC 垂直 C．MN 与 BD 平行 D．MN 与 A1B1 平行 [答案] D [解析] 如图，连接 C1D，在△C1DB 中，MN∥BD，故 C 正确； ∵CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴CC1⊥BD， ∴MN 与 CC1 垂直，故 A 正确； ∵AC⊥BD，MN∥BD， ∴MN 与 AC 垂直，故 B 正确； ∵A1B1 与 BD 异面，MN∥BD， ∴MN 与 A1B1 不可能平行，故 D 错误．故选 D. [点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感 知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、 面面平行、面面垂直． 角度二 异面直线的判定 [典题 3] (1)在下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直 线 GH，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) ① ② ③ ④ [答案] ②④ [解析] 图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，但 M∉ 平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M，N 共面，但 H ∉ 平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面． (2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中 互为异面的对数为________对． [答案] 3 [解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正 方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行．故互为异面的直线有且只有 3 对． [点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条 直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条 直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 考点 3 异面直线所成角 [典题 4] 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB ＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( ) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 [答案] D [解析] 连接 BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角． 连接 A1C1，由 AB＝1 知， AA1＝2，A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5， 故 cos∠A1BC1＝ 5＋5－2 2× 5× 5 ＝4 5 . 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为4 5 . [题点发散 1] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面 ABCD 内有且仅有一点 到顶点 A1 的距离为 1”，问题不变． 解：因平面 ABCD 内有且仅有一点到 A1 的距离为 1，则 AA1＝1. 此时正四棱柱变为正方体 ABCD－A1B1C1D1， 由图知 A1B 与 AD1 所成角为∠A1BC1，连接 A1C1. 则△A1BC1 为等边三边形， ∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝1 2 ， 故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为1 2 . [题点发散 2] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的 余弦值为 9 10 ”，试求AA1 AB 的值． 解：设AA1 AB ＝t，则 AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝ 2，A1B＝ t2＋1＝BC1， ∴cos∠A1BC1＝ t2＋1＋t2＋1－2 2× t2＋1× t2＋1 ＝ 9 10 ， ∴t＝3，即AA1 AB ＝3. [题点发散 3] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面 ABCD 内有且仅有一点 到顶点 A1 的距离为 1”，则是否存在过顶点 A 的直线 l，使 l 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等．若 存在，存在几条？若不存在，请说明理由． 解：由条件知，此时正四棱柱为正方体． 如图，连接对角线 AC1， 显然 AC1 与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，联想正方体的其他体对角线． 如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等，因为 BB1∥AA1，BC∥AD， 所以体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等． 同理体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成角都相等，故过 A 作 BD1，A1C，DB1 的平行 线都满足，故这样的直线可以作 4 条． [点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角； 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD，且直线 AB 与 CD 所成的角为 60°，点 M，N 分别是 BC， AD 的中点，求直线 AB 和 MN 所成的角的大小． 解：解法一：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN， 则 PM∥AB，且 PM＝1 2 AB，PN∥CD，且 PN＝1 2 CD， 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 若∠MPN＝60°， 因为 PM∥AB， 所以∠PMN(或其补角)是 AB 与 MN 所成的角． 又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN， 则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°， 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN＝120°， 则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°， 即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上知，直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. 解法二：由 AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体 AA1BB1－C1CD1D 中进行考虑，如图， 由 M，N 分别是 BC，AD 的中点，所以 MN∥AA1， 即∠BAA1(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角． 连接 A1B1 交 AB 于 O，所以 A1B1∥CD， 即∠AOA1(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角． 所以∠AOA1＝60°或 120°. 由矩形 AA1BB1 的性质可得∠BAA1＝60°或 30°. 所以直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. [方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再 证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)． 2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公 共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线． 3．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直 线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共 面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关． [易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一 个平面内”． 2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件． 3．两条异面直线所成角的范围是 0，π 2 . 4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等 于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 真题演练集训 1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1， α∩平面 ABCD＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 答案：A 解析：因为过点 A 的平面α与平面 CB1D1 平行，平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，所以 m∥B1D1∥ BD，又 A1B∥平面 CB1D1，所以 n∥A1B，则 BD 与 A1B 所成的角为所求角，所以 m，n 所成角的正 弦值为 3 2 ，故选 A. 2．[2015·安徽卷]已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正 确的是( ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案：D 解析：可以结合图形逐项判断． A 项，α，β可能相交，故错误； B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C 项，若 m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误； D 项，假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 m∥n，所以原命题正确，故选 D. 3．[2014·辽宁卷]已知 m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α 答案：B 解析：解法一：若 m∥α，n∥α，则 m，n 可能平行、相交或异面，A 错；若 m⊥α，n ⊂α，则 m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若 m⊥α，m⊥n， 则 n∥a 或 n⊂α，C 错；若 m∥α，m⊥n，则 n 与α可能相交，可能平行，也可能 n⊂α，D 错． 解法二：如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，用平面 ABCD 表示α. A 项中，若 m 为 A′B′，n 为 B′C′，满足 m∥α，n∥α，但 m 与 n 是相交直线，故 A 错．B 项中，m⊥α，n⊂α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故 B 正确．C 项中，若 m 为 AA′， n 为 AB，满足 m⊥α，m⊥n，但 n⊂α，故 C 错．D 项中，若 m 为 A′B′，n 为 B′C′，满足 m∥α，m⊥n，但 n∥α，故 D 错． 4. [2015·浙江卷]如图，在三棱锥 A－BCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M， N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是________． 答案：7 8 解析：如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK，CK. ∵ M 为 AD 的中点， ∴ MK∥AN， ∴ ∠KMC 即为异面直线 AN，CM 所成的角． ∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N 为 BC 的中点， 由勾股定理易求得 AN＝DN＝CM＝2 2， ∴ MK＝ 2. 在 Rt△CKN 中，CK＝ 2 2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝ 2 2＋ 2 2 2－ 3 2 2× 2×2 2 ＝7 8 . 课外拓展阅读 构造平面研究直线相交问题 [典例 1] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，CC1 的中点，则在空间中与三 条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条． [思路分析] [解析] 解法一：如图所示，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1 与 M 确定一个平面，这个 平面与 CD 有且仅有一个交点 N，当 M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的 交点 N，而直线 MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有 无数条． 解法二：在 A1D1 上任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面α，因为 CD 与平面α不平行， 所以它们相交， 设它们交于点 Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线． 由点 P 的任意性知，有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交． [答案] 无数 温馨提示 1．本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难 度一般都不会太大． 2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．