数学（理）卷·2017届安徽省池州市高三下学期教学质量检测（2017

数学（理）卷·2017届安徽省池州市高三下学期教学质量检测（2017

安徽省池州市2017届高三下学期教学质量检测 数学（理）试题`‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．7‎ ‎2. 设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若展开式的常数项为（ ）‎ A．120 B．160 C．200 D．240 ‎ ‎4. 若，，，则大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为675,125，则输出的（ ）‎ A．0 B．25 C. 50 D．75‎ ‎7. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9. 已知满足约束条件，目标函数的最大值是2，则实数（ ）‎ A． B．1 C. D．4‎ ‎10. 已知正三棱锥的外接球半径，分别是上的点，且满足，，则该正三棱锥的高为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）‎ A．2 B． C. D．1‎ ‎12. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，则命题“，且，”是命题：“，”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C. 充要条件 D．既不充分也必要条件 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，，若向量与的夹角为，则实数的值为 ．‎ ‎14. 已知，则 ．‎ ‎15. 在区间上随机地取两个数，则事件“”发生的概率为 ．‎ ‎16. 已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知各项均不相等的等差数列满足，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 ‎（Ⅰ）求图中的值；‎ ‎（Ⅱ）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0．40‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．780‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎19. 如图1，四边形中，，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若为中点，求二面角的余弦值．‎ ‎20. 设点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹；‎ ‎（Ⅱ）若时得到的曲线是，将曲线向左平移一个单位长度后得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，过的直线分别交曲线于点，设，，，求的取值范围．‎ ‎21. 设函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆心的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCBDC 6-10: BDCAA 11、12：DB ‎1.B 【解析】因为，，‎ 故，故，故的真子集个数为3，故选B.‎ ‎2.C【解析】设，，则，又，，故.故选C.‎ ‎3.B 【解析】，展开式中的第项为，‎ 令可得，故展开式中的常数项为160．‎ ‎4.D 【解析】，即，同理，而，因此． ‎ ‎5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为，故选C.‎ ‎6. B【解析】开始，;第一次循环：, ,；第二次循环：, ,；第三次循环：, ；第四次循环：.退出循环，输出.‎ ‎7. D 【解析】 图象向左平移个单位得到为奇函数，所以最小值,.选D.‎ ‎8.C【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故,∴直线为，化简为，圆心到直线的距离为，所求的半径为，所求的圆的方程为.‎ ‎9.A 【解析】不等式组表示的平面区域如图中直线与直线所夹的点的左边部分，由于目标函数的最大值是2，作出直线见图中虚线，可知点是直线与的交点，从而知点是不等式组表示的平面区域的最下方的一个点，直线过定点又过点，所以得.‎ ‎10.A 【解析】易知正三棱锥中对棱互相垂直，则有，因为，所以，而，所以，所以平面，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故，由正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，所以高为.‎ ‎11．D 【解析】由题意得直线的方程是，由得，又由直线被抛物线截得的线段长是16，得，得，从而知抛物线的准线方程是，由题意可以得双曲线的一个焦点是，即有，，∴双曲线的渐近线方程是.又知点，从而有，故选D.‎ ‎12.B 【解析】因为，且，所以不妨设，则由可得，于是 ‎，‎ 即.构造函数，则由单调性的定义可知在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，同理可证在上恒成立，所以等价于“，”，显然是的真子集，所以推不出，而可以推出，所以是的必要不充分条件.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎13.【解析】由，得，从而解得或（舍去）.‎ ‎14.【解析】因为，且为锐角，所以.‎ ‎15. 【解析】在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为1，事件“”发生构成的区域的面积为，所以所求概率为．‎ ‎16. 【解析】设，则在中，由余弦定理可得，从而四边形的面积，化简得 ‎，其中，当时，取得最大值.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得，即，‎ 解得或（舍），所以. ‎ ‎（Ⅱ）由，可得 ‎，‎ 当为偶数时，‎ ‎.‎ 当为奇数时，为偶数，于是 ‎.‎ ‎18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 故晋级成功的人数为（人），‎ 故填表如下 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ ‎（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为，‎ 故可视为服从二项分布，‎ 即，， ‎ 故 ， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 或（.‎ ‎19.【解析】（Ⅰ）因为且，可得为等腰直角三角形，‎ 则，又，且平面，，‎ 故平面，又平面，‎ 所以平面平面. ‎ ‎（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，，，，， .，，由于，所以，解得，则点坐标为. 由于，，设平面的法向量，‎ 由及得 令，由此可得.‎ 由于，，则为平面的一个法向量，‎ 则，‎ 因为二面角为锐角，‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】（Ⅰ）过点作，为垂足，‎ 设点的坐标为，则，‎ 又，所以，‎ 故点的轨迹方程为.‎ 可化为，显然点的轨迹为焦点在轴上的椭圆. ‎ ‎（Ⅱ）时，得到的曲线的方程是，‎ 故曲线的方程是.‎ 设,，则，‎ 由，得，即. ‎ 当与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入曲线的方程并注意到，‎ 整理可得，‎ 则，即，于是.‎ 当与轴垂直时，A点的横坐标为，，显然也成立.‎ 同理可得. ‎ 设直线的方程为，联立，‎ 消去y整理得，‎ 由及，解得.‎ 又，‎ 则.‎ 故求的取值范围是.‎ ‎21.【解析】（Ⅰ）当时，，‎ 则，所以，‎ 又，所以曲线在处的切线方程为，即. ‎ ‎（Ⅱ）由得，而，‎ 所以，设函数，‎ 于是问题 转化为，对任意的恒成立. ‎ 注意到，所以若，则单调递增，‎ 从而.而，‎ 所以等价于，‎ 分离参数得，‎ 由均值不等式可得，‎ 当且仅当时等号成立，于是. ‎ 当时，设，‎ 因为，又抛物线开口向上，‎ 所以函数有两个零点，‎ 设两个零点为，则，‎ 于是当时，，故，所以单调递减，故，这与题设矛盾，不合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎22.【解析】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即 ‎∴圆心的直角坐标为. ‎ ‎（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.‎ ‎23.【解析】（Ⅰ）由得，, ‎∴,即,∴,∴. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知,令, ‎ 则，∴的最小值为，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎