陕西省西安中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

陕西省西安中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题

西安中学高2020届高三第三次月考 数学（理）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则集合中的元素个数为(　　) ‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎2．复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于复平面的(　　) ‎ ‎. 第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限 ‎3．在中，“”是“”的（ ）‎ ‎．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ‎ ‎．充要条件 ． 既不充分又不必要条件 ‎4．下列命题中假命题是（ ）‎ ‎．任意， ． 存在， ‎ ‎．存在， . 任意，‎ ‎5．已知某函数图像如右图所示，则此函数可能是 (　　). ‎ ‎ ． ． ． ．‎ ‎6．若，则（ ）‎ ‎． ． ． ．‎ ‎7．已知点，则向量在方向上的射影为( )‎ ‎　　． 　． 　 ． . ‎ ‎8．若平面∥平面，直线平面，点，则在平面内且过点的所有直线中(　　) ‎ ‎．不一定存在与垂直的直线， ．存在唯一一条与平行的直线 ‎ ‎．存在无数条与平行的直线 ．只有两条与垂直的直线 ‎9．已知为等比数列，数列满足，且，则数列 的前项和为（ ）‎ ‎　　． 　．　　 ． . ‎ ‎10．已知定义在上的奇函数，对任意的都有，且当时，，则（ ）‎ ‎． ． ． ．‎ ‎11．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为(　　) ‎ ‎． ． ． ．‎ ‎12．已知函数，则函数的零点个数为(　　)‎ ‎． . ． ．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知函数的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离是，且过点，则函数的解析式 .‎ ‎14．在中，是边上的点，且，，则的值为________． ‎ 15． 已知函数的图像在点处的切线的斜率为，则的最小值是 ．‎ ‎16．一个正三棱柱的底面边长为，高为，在此三棱柱内有一个球， 当此球的体积最大时，此球的表面积与该三棱柱的外接球的表面积之比为_________.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎(一) 必考题：共60分．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知，．‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎ （Ⅱ）求的单调区间．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知正项等比数列的前项和为，且，在数列中，，数列是等差数列．‎ ‎(Ⅰ) 分别求数列和的通项和；‎ ‎(Ⅱ) 求数列的前项和为.‎ 19． ‎(本小题满分12分)‎ 如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别为的中点，．‎ ‎(Ⅰ) 求证：平面；‎ ‎(Ⅱ) 求平面和平面夹角的正弦值．‎ 19． ‎ (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的焦距为，且离心率为．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）不过原点的直线与椭圆交于两点，若三直线的斜率成等比数列，求直线的斜率及的值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 函数，其中为实常数.‎ ‎(Ⅰ) 当时，讨论函数的单调性；‎ ‎(Ⅱ) 当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ) 若，当时，证明.‎ ‎(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(Ⅰ) 若，求直线的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) 若直线的斜率为，直线与曲线相交于两点，点，求的值.‎ 23． ‎ [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ) 对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围．‎