2017-2018学年辽宁省大连市高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 辽宁省大连市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用交集的定义求.‎ 详解：因为，，所以=.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查集合的交集，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对无限集的集合运算，一般通过数轴进行.‎ ‎2．已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查复数的概念及复数的运算。‎ 解：由题意得：‎ 所以，共轭负数为2+i 故选B 视频 ‎3．命题“存在，使得成立”的否定是（ ）‎ A. 对任意的，成立 B. 对任意的，成立 C. 存在，成立 D. 不存在，使得成立 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解.‎ 详解：由题得命题“存在，使得成立”的否定是：对任意的，成立.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题 ,特称命题的否定 .‎ ‎4．已知函数，则的值是（ ）‎ A. B. -9 C. D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求，再求得解.‎ 详解：由题得=‎ 所以=f(-2)=.故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)类似这种求值，一般从里往外，逐层求值.‎ ‎5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则（ ）‎ A. 35 B. 48 C. 63 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ‎ 所以，选C.‎ 点睛：(一)　与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎ (二)　与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(三)　与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎6．已知为实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．‎ 详解：由，则成立，反之：如，则不成立，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: ‎ 甲说:“或作品获得一等奖”； 乙说:“作品获得一等奖”；‎ 丙说:“,两项作品未获得一等奖”； 丁说:“作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）‎ A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品 ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先假设每一项作品若获得一等奖，看看下边对应的预测，分析分别有几个同学说的是对的，如果有两位同学说的是对的，那就是该问题对应的那个结果，如果不是两位同学说的是对的，那就说明不是该作品获一等奖，从而完成任务.‎ 详解：若B作品获得一等奖，则根据题中所给的条件，可以判断乙和丙两位说的话是对的，而甲和丁说的都是错的，满足只有两位说的话是对的，‎ 而若A作品获一等奖，则没有一个同学说的是正确的，‎ 若C作品获得一等奖，则甲、丙、丁三人说的话正确，‎ 若D作品获一等奖，则只有甲说的话是对的，故只能选B.‎ 点睛：该题考查的是有关推理的问题，解决该题的关键是对每一项作品获一等奖时分析说话正确的同学的人数，如果不是两人，就说明不对，如果正好两人，那就是该题要的结果，注意只能一一验证.‎ ‎8．期末考试结束后，某教师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间（分钟）和数学成绩之间的一组数据如下表所示：‎ 时间 ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎120‎ 成绩 ‎35‎ ‎48‎ ‎82‎ ‎92‎ 通过分析，发现数学成绩与学习数学的时间具有线性相关关系，其回归方程为，则表格中的值是（ ）‎ A. 43 B. 53 C. 63 D. 73‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据已知计算出样本数据中心点的坐标，代入回归方程，可得答案．‎ 详解：由已知可得：，，‎ ‎∵数学成绩y对学习数学的时间t具有线性相关关系，其回归方程为=0.7t+15，‎ ‎∴=0.7×70+15，‎ 解得：m=63，‎ 故答案为：C.‎ 点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)回归直线经过样本中心点，这是回归直线的一个重要性质,要理解掌握并灵活运用.‎ ‎9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据二次函数的对称轴首先排除B,D，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．‎ 详解：根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴 ＜0可排除B,D，‎ C选项中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查二次函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种根据解析式找图像的问题，一般是先分别求出两个函数中同一参数的范围，再看是否相同，如果不一致，就是错误的.‎ ‎10．已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，．即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，‎ 所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象可知，共有个交点，故选．‎ 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点．‎ ‎11．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．‎ 详解：∵f（x）=﹣x3﹣7x+sinx，‎ ‎∴f（﹣x）=x3+7x﹣sinx=﹣（﹣x3﹣7x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，‎ 函数的导数f′（x）=﹣3x2﹣7+cosx＜0，‎ 则函数f（x）是减函数，‎ 则由f（a2）+f（a﹣2）＞0，得f（a2）＞﹣f（a﹣2）=f（2﹣a），‎ 得a2＜2﹣a，即a2+a﹣2＜0，‎ 得﹣2＜a＜1，‎ 即实数a的取值范围是（﹣2，1）.‎ ‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是判断函数的奇偶性和单调性.‎ ‎12．下列关于函数的判断正确的是（ ）‎ ‎①的解集是；②当时有极小值，当时有极大值；‎ ‎③没有最小值，也没有最大值.‎ A. ①③ B. ①②③ C. ② D. ①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．‎ 详解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）ex＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；‎ f′（x）=ex（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，‎ 由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，‎ 由f′（x）＞0得﹣＜x＜，‎ ‎∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．‎ ‎∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．‎ ‎∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．‎ ‎∴f（x）无最小值，但有最大值f（）‎ ‎∴③不正确．‎ 故答案为：D．‎ 点睛：（1）本题主要考查解不等式，考查导数求极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值和最值，必须先求函数的单调区间，再结合图像确定函数的极值和最值.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知复数，，若，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：先求出复数z,再 求.‎ 详解：由题得z=,所以.故答案为：4.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的模.‎ ‎14．已知函数的定义域和值域都是，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由函数解析式知，需对a分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解.‎ 详解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；‎ 当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，‎ 解得a=，b=﹣2；‎ 所以a+b=.故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查指数函数的单调性和值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于指数函数，一般要分a＞1和0＜a＜1讨论.‎ ‎15．已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号）‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】分析：①，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②，若“p∨q”为假命题⇒p、q均为假命题则￢p、￢q均为真⇒“（￢p）∧（￢q）为真命题；③，“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件；④，“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，命题与其逆否命题同真假．‎ 详解：对于①，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错；‎ 对于②，若“p∨q”为假命题⇒p、q均为假命题则￢p、￢q均为真⇒“（￢p）∧（￢q）为真命题，故正确；‎ 对于③，“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故错；‎ 对于④，“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，命题与其逆否命题同真假，故错．‎ 故答案为：②.‎ 点睛：（1）本题主要考查命题真假的判断，考查特称命题的否定和复合命题真假的判断，考查充要条件和四个命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)由于原命题和其逆否命题的真假时一致的，所以要判断逆否命题的真假，只需判断原命题的真假.‎ ‎16．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 ‎ 解得即可．‎ 详解： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根． ‎ 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去． 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数单调递增； 令 ，解得 ，此时函数单调递减． ∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根， 则，解得． ∴实数 的取值范围是（.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知.‎ 求证：，，中至少有一个不小于6.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：一般利用反证法分析解答.‎ 详解：假设，，都小于6， ‎ 即，，‎ ‎.‎ ‎.‎ 这与假设相矛盾,故假设不成立,从而原结论成立.‎ 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.‎ 如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否定词时，一般用反证法.‎ ‎18．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量关于的回归方程模型，其对应的数值如下表：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎(1)请用相关系数加以说明与之间存在线性相关关系(当时，说明与之间具有线性相关关系)；‎ ‎(2)根据(1)的判断结果，建立关于的回归方程并预测当时，对应的值为多少(精确到).‎ 附参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，，相关系数公式为：.‎ 参考数据：‎ ‎，，，.‎ ‎【答案】(1) 与之间存在线性相关关系;(2)0.38 ,.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得；，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2)结合所给数据可求得回归方程为,.据此预测当时，对应的值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意，计算，‎ ‎，‎ 且，，.‎ ‎；‎ ‎∵，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2).‎ ‎∴.‎ ‎∴与的线性回归方程为.‎ 将代入回归方程得.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当函数只有一个零点时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）先求切点坐标，再求导求切线的斜率，再写出切线方程.(2)先求函数f(x)的单调性和极值，再结合图像分析得到a的取值范围.‎ 详解：（1）当时， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2），令 ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎ .‎ 当 所以当函数只有一个零点时 即. ‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题第2问时，不要漏了当 无限变小,这一点对于分析函数的图像很关键.‎ ‎20．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：‎ 表一：男生 表二：女生 ‎（1）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；‎ ‎（2）由表中统计数据填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.‎ 参考公式： ，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的规则可得设从高一年级男生中抽出人，则， ，然后求出女生人数即可得x，y值然后写出基本事件，根据古典概型求概率即可（2）对于独立性检验首先写出列联表，然后根据公式计算即可 试题解析：‎ ‎（1）设从高一年级男生中抽出人，则， ，则从女生中抽取20人，‎ 所以， .‎ 表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为， ， ，尚待改进的2人为， ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种，‎ 设事件表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则的结果为， ， ， ， ， ，共6种，所以，即所求概率为.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 因为， ，‎ 而 ，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.‎ 点睛：首先要了解分层抽样的特点，按照抽取比例分层抽取即可，对于独立性检验则需熟悉列联表的写法明确公式中的每一个数值代入即可 ‎21．已知函数 ‎(1)若，试判断在定义域内的单调性；‎ ‎(2)若在上的最小值为，求的值；‎ ‎(3)若在(1，＋∞)上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）递增（2）（3）[－1，＋∞)．‎ ‎【解析】分析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝，由此利用导数性质能求出f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；‎ ‎（2）由（1）根据a的取值范围分类讨论，由此利用导数性质能求出a；‎ ‎（3）由，得，令，由此利用导数性质能求出a的取值范围.‎ 详解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝＋＝.‎ ‎∵a>0，∴f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．‎ ‎(2)由(1)可知，f′(x)＝.‎ ‎①若a≥－1，则x＋a≥0，‎ 即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上为增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，‎ ‎∴a＝－ (舍去)．‎ ‎②若a≤－e，则x＋a≤0，‎ 即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f(x)在[1，e]上为减函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，‎ ‎∴a＝－ (舍去)．‎ ‎③若－e0，‎ ‎∴f(x)在(－a，e)上为增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，‎ ‎∴a＝－.‎ 综上所述，a＝－.‎ ‎(3)∵f(x)0，∴a>xln x－x3.‎ 令g(x)＝xln x－x3，‎ h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，‎ h′(x)＝－6x＝.‎ ‎∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，‎ ‎∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．‎ ‎∴h(x)

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