湖南省永州市道县东安江华蓝山宁远2020届高三12月联考数学理试题

湖南省永州市道县东安江华蓝山宁远2020届高三12月联考数学理试题

道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考试题 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合中的元素，然后求交集．‎ ‎【详解】由得，解得，即，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0．‎ ‎2.设为第三象限角，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值．‎ ‎【详解】∵设为第三象限角，，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．‎ ‎3.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算．‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体．‎ ‎4. 以下说法错误的是（　　）‎ A. 命题“若则x=1”的逆否命题为“若1,则”．‎ B. “”是“”的充分不必要条件．‎ C. 若为假命题,则均为假命题．‎ D. 若命题p:R,使得则R,则．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若为假命题,则只需至少有一个为假命题即可.‎ ‎5.若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．‎ ‎【详解】是纯虚数，则，，‎ ‎，对应点为，在第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．‎ ‎6.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设球半径为，则,解得：‎ 所以球面上的点到冰面的最大距离为 故选B.‎ 考点：空间几何体的结构特征.‎ ‎7.设函数，且其图像关于直线对称，则（ ）‎ A. 的最小正周期为，且在上为增函数 B. 的最小正周期为，且在上为增函数 C. 的最小正周期为，且在上为减函数 D. 的最小正周期为，且在上为减函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，∵函数图像关于直线对称，‎ ‎∴函数为偶函数，∴，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴函数在上为减函数.‎ 考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.‎ ‎8.若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（ ）‎ A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，，所以当时，，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与 的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点．选B.‎ 点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题．根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键．‎ ‎9.设，满足约束条件，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，，利用的几何意义求解．‎ ‎【详解】作出可行域，如图内部（含边界），‎ ‎，表示与可行域内点连线的斜率，‎ ‎，，由图中知，∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式的几何意义．‎ ‎10.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系．‎ 详解】由题意，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）．‎ ‎11.的内角，，的对边分别为，，，且，，为的外心，则（ ）‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，可得，这样，然后都用表示后运算即可．‎ ‎【详解】取的中点，连接，∵是外心，∴，，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取的中点，把转化为，再选取为基底，用基底进行运算．‎ ‎12.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，则存在，使得,即的最大值，因为在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为,因此，选C.‎ ‎【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质可把项的比转化为前项和的比．‎ ‎【详解】∵数列，都是等差数列，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列中，．‎ 由此有．‎ ‎14. 观察分析下表中数据：‎ 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．‎ ‎【答案】F+V﹣E=2‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由表格可知：三棱柱：；五棱锥，，立方体，，‎ 猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：．‎ 故答案为．‎ 考点： 欧拉定理．‎ ‎15.已知函数，若使得，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 满足题意时应有：f（x）在的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，‎ 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递减，‎ f（x）在 的最小值为f（1）=5，‎ 当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，‎ g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，‎ 据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，‎ 实数a的取值范围是（﹣∞，1]，‎ 故结果为：．‎ 点睛：这是典型的双变元问题，首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目．‎ ‎16.以双曲线：（，）的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到渐近线的距离，用勾股定理表示出弦长，由弦长为可得的关系，变形后可求得离心率．‎ ‎【详解】渐近线取即，圆心到它的距离为，‎ ‎∴，又，∴，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线，离心率，考查直线与圆相交弦长问题．解题关键是用表示出弦长．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.在中，角A，B,C的对边分别是a,b,c,已知 ‎（1）求的周长 ‎（2）求值：的值 ‎【答案】（1）5‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据余弦定理求出c，进而可求出三角形周长．‎ ‎（2）根据两角差的余弦公式，需要求出角A、C的正余弦．在第（1）问的基础上，可以进一步求出角A的余弦，然后再借助同角的三角函数关系式求出A、C的正弦．问题得 ‎【详解】解：（1） ,‎ ‎ ‎ 所以周长为5‎ ‎（2）由题可得，由正弦定理 ,解得 ‎18.已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）; （2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将原式两边平方得到 ，当时，根据 解出首项，再令 ，构造，两式相减，利用公式 ，变形为 ，所以数列是等差数列，求得通项；（2），根据错位相减法求和.‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ‎ 两式相减有,化简有，‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】一般数列求和的方法为：（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎19.如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)详见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合勾股定理和余弦定理可证得BC⊥AC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ACFE.‎ ‎(2)以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面MAB的一个法向量n1=(1,,-λ)，平面FCB的一个法向量n2=(1,0,0)，则 cosθ=，结合三角函数的性质可得cosθ∈[,].‎ ‎【详解】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,‎ ‎∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,‎ ‎∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.‎ 又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴BC⊥平面ACFE.‎ ‎(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),‎ ‎∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).‎ 设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,‎ 由,得,‎ 取x=1,则n1=(1,,-λ)为平面MAB的一个法向量,‎ 易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,‎ ‎∴ cosθ= .‎ ‎∵0≤λ≤, ∴当λ=0时,cosθ有最小值, 当λ=时,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理及其应用，空间直角坐标系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2），和.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.‎ 试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.‎ 焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;‎ 当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：‎ ‎, 所以:，, 则：‎ ‎. 同理：, 因为 ‎, 所以, 即, 由题意知, 所以 ‎， 设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.‎ 考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.‎ ‎【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.‎ ‎21.已知函数：‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对求导，，分，两种情况写出函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）对函数求导得，根据在区间上有最值，得到在区间上总不是单调函数，从而得到，另由对任意，，（a）恒成立，分离参数即可求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，且， ‎ 当时，的单调增区间为，减区间为；‎ 当时，的单调增区间为，无减区间； ‎ ‎（Ⅱ），，‎ 在区间上有最值，‎ 在区间上总不是单调函数，‎ 又 由题意知：对任意，，（a）恒成立，，因为，，所以，‎ 对任意，，（3）恒成立，‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：.‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）在曲线上取一点，使点到直线的距离最大，求最大距离及此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由消参后可得曲线的普通方程，由可把极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）点坐标为表示为，求出到直线距离，然后再用三角函数知识求最大值．‎ ‎【详解】（1）由得曲线的普通方程为，‎ 由得的直角坐标方程为，‎ ‎（2）设，，则 当时，最大，时，，，‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式和两角差的正弦公式及正弦函数的取值．考查的知识点较多，但都是最基础的知识，本题属于中档题．‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按绝对值定义去绝对值符号后再解不等式；‎ ‎（2）按绝对值定义去绝对值符号后得分段函数，求得其最小值，由最小值可解得范围.‎ ‎【详解】（1）①当时，解得 ‎②当时，解得 ‎③当时，解得 ‎∴不等式的解集为 ‎（2）①当时，；‎ ‎②当时，；‎ ‎③当时，；‎ 所以的最小值为，∴.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的问题，含绝对值不等式可按绝对值定义去掉绝对值符号，化为分段函数，再分类求解．不等式恒成立问题可转化为求函数的最值．‎ ‎ ‎