数学理卷·2017届吉林省延边州高三下学期高考仿真考试（2017

数学理卷·2017届吉林省延边州高三下学期高考仿真考试（2017

吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数满足为虚数单位），则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知向量，且与的夹角为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 等差数列的前项和为，且，则公差 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：‎ 收入 （亿元）‎ 支出 （亿元）‎ 根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2017年该公司收入为亿元时的支出为 （ ）‎ A．亿元 B．亿元 C. 亿元 D．亿元 ‎7. 已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 若满足，且的最小值为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若，则 ．‎ ‎14. 设等比数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有人持金出五关，前二关而税一，次关而三税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤. 问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的关所收税金之和，恰好重斤. 问原本持金多少? ” 若将題中“关所收税金之和恰好重斤，问原本持金多少? ”改成““假设这个人原本持金为，按此規律通过第关” ，则第关需收税金为 ．‎ ‎16. 已知抛物线是该抛物线上两点，且，则线段的中点离轴最近时点的纵坐标为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设中的内角的边分别为 ，若.‎ ‎（1）若,求的值；‎ ‎（2）若,求的面积.‎ ‎18. 如图，在三棱柱中，点在平面内的射影点为的中点 .‎ ‎（1）求证: 平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎19. 近几年电子商务蓬勃发展，在2017年的“年货节”期间，一网络购物平台推销了三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对三种商品的抢购成功的概率分别为 ，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若购物平台准备对抢购成功的三件商品进行优惠减免活动，商品抢购成功减免百元，商品抢购成功减免百元，商品抢购成功减免百元，求该名网购者获得减免的总金额(单位:百元)的分布列和数学期望.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形，它的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知动点在椭圆上，点，直线交轴于点，点为点关于轴的对称点，直线交轴于点，若在轴上存在点，使得，求点的坐标.‎ ‎21. 已知函数. ‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线相交于两点.‎ ‎（1）求两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线与直线为参数) 分别相交于两点，求线段的长度.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数，求的取值范围.‎ 吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试数学（理）‎ 试题参考答案 一、选择题 ‎1-5: DACBC 6-10:BDCCA 11-12：DB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1),由正弦定理知即，当时，由余弦定理可得，即，解得.‎ ‎(2)由得，又，由余弦定理可得，即，因为，所以，因此.‎ ‎18. 解：(1)点在平面内的射影点为的中点，，‎ 为的中点，平面平面.‎ ‎(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，‎ ‎，则，‎ ‎，设平面的法向量为，则有 ‎，不妨令，则，同理得平面的法向量为，设二面角的平面角为，，‎ ‎.‎ ‎19. 解：(1)由题意，得，因为，解得.‎ ‎(2) 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为，而；；‎ ‎，‎ 所以分布列为：‎ 于是有.‎ ‎20. 解：(1)因为，所以，因此椭圆的方程为.‎ ‎(2)设，由 三点共线得，整理得 ‎；‎ 同理，由 三点共线得 . 又因为，则，所以，即，又且，所以.‎ 由于，所以，所以，点 的坐标为.‎ ‎21. 解：(1)因为，所以切线方程为，‎ 即.‎ ‎(2)令，所以 ‎，当时，因为，所以，所以是上的递增函数，又因为，所以关于的不等式，不能恒成立，当时，，令，得，所以当时，‎ ‎；当时，，因此函数在上是增函数，在 上是减函数，故函数的最大值为，令，则 在上是减函数，因为，所以当时，，所以整数的最小值为.‎ ‎22. 解：(1)由，得，所以，即，所以两点的极坐标为或.‎ ‎(2)由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，将直线代入,‎ 整理得，即，所以.‎ ‎23. 解：（1）当时，等价于，即，解得，所以解集为. ‎ ‎（2）当时，，所以当 时，等价于，① 当时，①等价于 ，无解 ；‎ 当时，① 等价于 ，解得，所以的取值范围是.‎