2018-2019学年甘肃省白银市会宁县第四中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年甘肃省白银市会宁县第四中学高二下学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 甘肃省白银市会宁县第四中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数满足（为虚数单位），则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算，求得，再根据共轭复数的概念，即可曲解。‎ ‎【详解】‎ 由复数满足，即，‎ 所以，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎2．一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）‎ A．5米/秒 B．6米/秒 C．7米/秒 D．8米/秒 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由物体的运动方程为，得，代入，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，物体的运动方程为，则，‎ 所以物体在3秒末的瞬时速度是米/秒，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎3．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察已知中的三个图形，得到每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，由此即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，‎ 根据此规律观察四个答案，即可得到C项符合要求，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中熟记归纳的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某项相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），合理使用归纳推理是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎4．已知函数，则函数的单调递增区间是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数，求得 ‎，进而可求解函数的单调递增区间，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以函数的单调递增区间是，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎5．①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个三段论形式的正确的推理，则作为大前提、小前提和结论分别是（ ）‎ A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 三段论：①y=2x+5是一次函数；②y=2x+5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线；大前提是③，小前提是①，结论是②．故排列的次序应为：③①②，故选D.‎ 点睛：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论 ‎6．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）‎ A．9 B．12 C．18 D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从E点到F点最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，利用组合的知识，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分称2段，‎ 从E点到F点最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，‎ 故共有种走法，‎ 同理从F到G，最短的走法，有种走法，‎ 所以小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的简单应用，其中根据题意得出组成矩形的条件和最短走法是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎7．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数 C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，‎ 所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设都不是偶数”，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎8．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（　　）‎ A．1 B．2 C．－1 D．－2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，求得的值，得到切线的斜率，再由直线的点斜式，即可得到切线的方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得f′(x)＝2x＋，‎ 令x＝1得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.‎ 即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝－2，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线的方程，其中正确理解导数的几何意义和准确求解函数的导数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是个数为（ ）‎ ‎①函数的值域为；‎ ‎②函数在上递增，在上递减；‎ ‎③的极大值点为，极小值点为；‎ ‎④有两个零点.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合导函数的图象，求得原函数的单调区间，逐项即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据给定的导函数的图象，‎ 可得，当时，；当时，；当时，，‎ 所以函数在单调递增，在上单调递减，‎ 所以函数的最小值为或较小的一个，所以①不正确；‎ 由函数在单调递增，所以②不正确；‎ 函数的极大值点为，极小值点为，所以③正确；‎ 函数，取决于和符号，例如且，此时函数没有零点，所以④不正确；‎ 综上可知，只有③正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导函数的图象与原函数的单调性的关系，以及函数的极值概念，以及零点的判定，其中解答熟记导函数的图象与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．定积分 的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分，找到被积分函数的原函数，即可求解，得到答案 ‎【详解】‎ 由题意，定积分，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的计算，其中解答中根据定积分式，找出被积分函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎11．已知函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数在区间上不单调，所以 在区间上有零点，‎ 由，得，则，得，故答案为D．‎ 考点：函数的单调性与导数的关系．‎ ‎12．如图，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出”黄金双曲线”的离心为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，根据当时，得，进而得道，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，，‎ 当时，,‎ 所以，‎ 因为，整理得，‎ 所以，解得或（舍去），‎ 所以黄金双曲线的离心率为，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理，椭圆的简单的几何性质即双曲线的简单性质的应用，其中解答中注意寻找黄金双曲线中之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.‎ 详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得得，得到，即切线的斜率，即可求解切线的方程，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可得，所以，‎ 所以在点处的切线方程为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，准确求解切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎15．函数在区间内是增函数，则的取值范围为____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在区间内是增函数，转化为即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，求得，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数在区间内是增函数，‎ 即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，‎ 设在区间上为单调递增函数，所以，‎ 所以实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数在区间内是增函数，转化为在区间上恒成立是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．曲线围成的图形的面积______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两曲线的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，解得交点坐标为，‎ 所以曲线围成的图形的面积。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，求证：‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⇒，利用分析法，要证明，只需证明，该式成立，从而使结论得证．‎ 试题解析：采用分析法证明，要证明，即证明，必须证；即证；而显然成立 ‎，要证明，即证明，必须证，必须证；即证；而显然成立.故原不等式成立.‎ 考点：不等式的证明.‎ ‎18．已知复数.‎ ‎（1）当实数取什么值时，复数是：①实数；②纯虚数；‎ ‎（2）当时，化简.‎ ‎【答案】（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出 试题解析：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．‎ ‎②当时，解得，‎ 即m=﹣时，复数z为纯虚数．‎ ‎（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，‎ ‎∴．‎ 考点：复数的代数表示法及其几何意义 ‎19．已知函数，当时，的极大值为7，；当时，‎ 有极小值．求：‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）函数当时的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据和是极值点，列出方程组，求得，再由，解得，即可得到答案。‎ ‎（2）由（1），利用导数求得函数的单调区间，进而可求解函数的最值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，则，‎ 而和是极值点，‎ 所以，解得，‎ 又，故得，‎ 所以。‎ ‎（2）由（1）可知，则，‎ 令，解得或，令，解得，‎ ‎∴函数在递增，在递减，∴，‎ 而，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。‎ ‎20．在数列中，，‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2)若，求的值，观察并猜想出数列已知数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用反证法，假设，求得，这与题设相矛盾，即可证明；‎ ‎（2）由题意求得的值，猜想，利用数学归纳法，即可证明猜想。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，假设，又由，解得，‎ 这与题设相矛盾，‎ 故假设不成立，原命题成立.‎ ‎（2）由题意，可求得，，，，‎ 可猜想：，‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，式子成立，‎ ‎②假设当时，式子成立，即，‎ 由题知，‎ 即对于时，式子也成立，‎ 综合①②可知，对，都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了反证法与数学归纳法的应用，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得也成立；（3）得到证明的结论，其中在到的推理中必须使用归纳假设，着重考查了推理与论证能力。‎ ‎21．已知函数 ‎(1)当时，求函数在点处切线的方程；‎ ‎(2)若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由时，得到函数的解析式，求得和切线的斜率，即可求解切线的方程；‎ ‎（2）求得函数的导数，令，根据函数既有极大值又有极小值，转化为图像与轴正半轴有两个交点，利用二次函数的性质，列出不等式组，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，，则，‎ 又由，则切线斜率为，‎ 所以函数在点处切线的方程为。‎ ‎（2）函数的定义域为，则 令，‎ 由题意可知，若函数既有极大值又有极小值，‎ 则函数图像与轴正半轴有两个交点.‎ 所以满足，解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义和极值的概念，合理利用二次函数的性质，列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a的取值范围是（﹣∝，﹣1] （2）ln2﹣2＜b≤﹣‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。求解函数的单调性，以及函数与方程根的综合运用。‎ ‎（1）依题意函数在定义域内单调递增，即在时恒成立，即在恒成立.‎ 则分离参数的思想得到在恒成立，即 ‎（2）利用构造函数，利用函数的单调性，得到函数的极值，从而研究函数图像与坐标轴的交点问题，得到方程的解。‎ 解： （1）‎ 依题意在时恒成立，即在恒成立.‎ 则在恒成立，即 当时，取最小值 ‎∴的取值范围是………………6分 ‎（2）‎ 设则列表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ‎¯ ‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎∴极小值，极大值，又 ‎……8分 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.‎ 则， 得…………………12分