数学（理）卷·2017届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试（2017

数学（理）卷·2017届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试（2017

锦阳市高2014级第二次诊断性考试 数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、已知集合,，则 A． B． C． D． ‎ ‎2、若复数满足是虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． ‎ ‎3、某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为 A．5 B．12 C． D．25 ‎ ‎4、“”是与直线垂直的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5、某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为 ‎ A．30万元 B．22.5万元 C．10万元 D．7.5万元 ‎ ‎6、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：‎ 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右 图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，‎ 则输出的等于 A．2 B．3 C．4 D．5 ‎ ‎7、若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们 把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：，‎ 则不超过的“单重数”个数是 A．19 B．27 C．28 D．37 ‎ ‎8、若点的直线与函数的图象交于A、B两点，O为坐标原点，‎ 则 A． B． C． D．10 ‎ ‎9、已知是函数的两个零点，则 A． B． C． D． ‎ ‎10、设分别为双曲线的两个焦点，M、N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形为矩形，A为双曲线的一个顶点，若的面积为，则该双曲线的离心率为 A．3 B．2 C． D． ‎ ‎11、已知点在椭圆上，过点作圆的切线，切点为A、B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是 A．13 B．14 C．15 D．16 ‎ ‎12、已知，若，则取得最小值时，所在的区间是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.‎ ‎13、 的展开式的常数项为 ‎ ‎14、甲乙甲乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少 有1人能译出密码的概率为 ‎ ‎15、已知直线与圆相交于A、B两点，点P是圆 上的动点，则面积的最大值是 ‎ ‎16、已知抛物线，焦点为F，过点作斜率为的直线与抛物线C交 于A、B两点，直线AF、BF分别交抛物线C与M、N两点，若，则 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ ‎ 数列中，。‎ ‎（1）求证：是等差数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和。‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 在中，角所对的边分别为，已知。‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎ （2）是否存在恰好使是三个连续的自然数？若存在，求的周长；‎ 若不存在，请说明理由。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 2016年下半年，简阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如下表所示：‎ ‎（1）根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）‎ ‎ （2）若M队平均身高，根据（1）中所得的回归方程，预测M队的平均得分。（精确到0.01）‎ 注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆的右焦点，过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为。‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过点的直线交椭圆C与P、Q两点，N点在直线上，若是等边三角形，‎ 求直线的方程。‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数的两个零点为。‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎ （2）求证：。‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C的参数方程是为参数）‎ ‎（1）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎ （2）在直角坐标系中，，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值。‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）时，求不等式的解集；‎ ‎ （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围。‎ 绵阳市高2014级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ BACAB CCDAD CB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．-11 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． ‎ ‎17．解 ：（Ⅰ） 令，‎ 则=()-()=（常数），‎ ‎， ‎ 故{an+1-an}是以2为首项，1为公差的等差数列． ………………………4分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知， 即an+1-an=n+1，‎ 于是 ‎ ， …………………………8分 故．‎ ‎∴ Sn=2(1-)+2(-)+2(-)+…+‎ ‎=2(1)‎ ‎=． ………………………………………………………………12分 ‎18．解：(Ⅰ) ∵，‎ ‎∴ 由正弦定理有sinC=sinA． …………………………………………2分 又C=2A，即sin2A=sinA，‎ 于是2sinAcosA=sinA， …………………………………………………4分 在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，‎ ‎∴ A=． ……………………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)根据已知条件可设，n∈N． ‎ 由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，‎ ‎∴ ． ……………………………………………………8分 由余弦定理得， 代入a，b，c可得 ‎， ……………………………………………10分 解得n=4，‎ ‎∴ a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，‎ 即存在满足条件的△ABC，其周长为15． ………………………………12分 ‎19．解：(Ⅰ)由已知有 ，‎ ‎ ， ‎ ‎ =≈0.73，‎ 于是=-62.48，‎ ‎ ∴ ．………………………………………………10分 ‎(Ⅱ) x=185，代入回归方程得=72.57，‎ 即可预测M队的平均得分为72.57． ………………………………………12分 ‎20．解：(Ⅰ) 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2-b2=6．‎ 由，整理得y2=b2(1-)=b2×= ，解得y=，‎ ‎∴ ，即a2=2b4，‎ ‎∴ 2b4-b2-6=0，解得b2=2，或b2=-（舍去），进而a2=8，‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为． ……………………………………4分 ‎(Ⅱ)设直线：，． ‎ 联立直线与椭圆方程： 消去得：， ‎ ‎∴ y1+y2=，y1y2=． ………………………………………7分 于是， ‎ 故线段PQ的中点． ………………………………………8分 设， 由，则， ‎ 即，整理得，得．‎ 又△是等边三角形，‎ ‎∴ ，即， ‎ 即， ‎ 整理得， 即，‎ 解得 ，， …………………………………………………11分 ‎∴ 直线l的方程是． ………………………………………12分 ‎21．解：(Ⅰ)， ……………………………………1分 ‎ ①m≤0时，>0，在上单调递增，不可能有两个零点．‎ ‎ …………………………………………………………2分 ‎②m>0 时，由可解得，由可解得， ‎ ‎∴ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 于是min==， ……………………………………4分 要使得在上有两个零点，‎ 则<0，解得，‎ 即m的取值范围为． ………………………………………………5分 ‎ (Ⅱ)令，则， ‎ 由题意知方程=0有两个根t1，t2， ‎ 即方程有两个根t1，t2，不妨设t1=，t2=．‎ 令，则，‎ 由可得，由可得，‎ ‎∴ 时，单调递增，时，单调递减．‎ 故结合已知有 t1>>t2>0． ……………………………………………………8分 要证，即证，即．‎ 即证． …………………………………………………………9分 令，‎ 下面证对任意的恒成立．‎ ‎．………………………10分 ‎∵ ， ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ =． ‎ ‎∵ <，‎ ‎∴ >0，‎ ‎∴ 在是增函数，‎ ‎∴ <=0，‎ ‎∴ 原不等式成立．……………………………………………………………12分 ‎22．解：(Ⅰ)消去参数得． …………………………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为． ‎ 设Q()，则M()，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 最小值是．………………………………………………………10分 ‎23．解：(Ⅰ) 当t=2时，．‎ 若x≤1，则，于是由解得x<．综合得x<．‎ 若1．综合得x>．‎ ‎∴ 不等式的解集为{x| x<，或x>}． …………………………5分 ‎（Ⅱ）≥等价于a≤f(x)-x．令g(x)= f(x)-x．‎ 当-1≤x≤1时，g(x)=1+t-3x，显然g(x)min=g(1)=t-2．‎ 当1g(1)=t-2．‎ 当t≤x≤3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1)=t-2．‎ ‎∴ 当x∈[1，3]时，g(x)min= t-2．‎ 又∵ t∈[1，2]，‎ ‎∴ g(x)min≤-1，即a≤-1．‎ 综上，的取值范围是a≤-1． ……………………………………………10分