2014高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-1 直线与圆的位置关系

2014高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：4-2-1 直线与圆的位置关系

一、选择题 ‎1．(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是(　　)‎ A．[－3，－1] B．[－1,3]‎ C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d 则d≤r＝⇔≤⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.‎ ‎2．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是(　　)‎ A．10 B．10或－68‎ C．5或－34 D．－68‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝，又r2＝d2＋42，‎ 所以25＝＋16，解得c＝10或－68.‎ ‎3．已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形(　　)‎ A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　圆心O(0,0)到直线的距离d＝＝1，‎ 则a2＋b2＝c2，即该三角形是直角三角形．‎ ‎4．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是(　　)‎ A．x＝2‎ B．12x－5y＋9＝0‎ C．5x－12y＋26＝0‎ D．x＝2和12x－5y－9＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　点P在圆外，故过P必有两条切线，‎ ‎∴选D.‎ ‎5．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为(　　)‎ A．9 B．8‎ C．5 D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由圆心到直线的距离d＝＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d－r＝5－3＝2，故选D.‎ ‎6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是(　　)‎ A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0‎ C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)‎ ‎∴直线方程为3x－y－5＝0，故选A.‎ ‎7．已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于(　　)‎ A. B. C．π D．2π ‎[答案]　D ‎[解析]　圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径r＝2，设直线x＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，则圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2＝2.在△MNO中，|MN|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于 ＝2π.‎ ‎8．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是(　　)‎ A．34 D．r>5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　圆心C(3，－5)，半径为r，圆心C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，由于圆C上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则d－10)．‎ ‎∵圆心在直线2x＋y＝0上，‎ ‎∴b＝－‎2a，即圆心为C(a，－‎2a)．‎ 又∵圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，‎ ‎∴＝r，(2－a)2＋(－1＋‎2a)2＝r2，‎ 即(‎3a－1)2＝2[(2－a)2＋(－1＋‎2a)2]，解得a＝1或a＝9，∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13.‎ 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.‎ ‎15．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)设圆A的半径为r，‎ ‎∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，‎ ‎∴r＝＝2，‎ ‎∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.‎ ‎(2)当直线l与x轴垂直时，‎ 则直线l的方程为x＝－2，‎ 此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＝0，‎ ‎∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，‎ ‎∴|AQ|2＋(|MN|)2＝r2.‎ 又∵|MN|＝2，r＝2，‎ ‎∴|AQ|＝＝1，‎ 解方程|AQ|＝＝1，得k＝，‎ ‎∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.‎ 综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.‎ ‎16．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、‎ Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．‎ ‎[解析]　设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．‎ 由OP⊥OQ，得kOPkOQ＝－1，即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①‎ 又(x1，y1)、(x2，y2)是方程组 的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋‎4m－27＝0②的两个根，‎ ‎∴x1＋x2＝－2，x1x2＝.③‎ ‎∵P、Q是在直线x＋2y－3＝0上，‎ ‎∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)‎ ‎＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．‎ 将③代入，得y1y2＝.④‎ 将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ>0成立，‎ ‎∴m＝3.‎