黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理）试题

黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理）试题

‎2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 理科数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项 ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1． 集合，，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“d < 0”是“数列有最大项”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．ΔABC中，，，若，则角C为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎4．已知，则展开式中的常数项为 A．20‎ B．-20‎ C．-15‎ D．15‎ ‎5．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则 A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数 B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数 C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数 D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数 ‎7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎10．在平行四边形ABCD中，，，‎ 连接CE、DF相交于点M，若，则实数 λ与μ的乘积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为 A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。）‎ ‎13．若复数，则__________。‎ ‎14．已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为 P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。‎ ‎15．已知平面区域Ω=，直线l:和曲线C:有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。‎ ‎16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知正项数列满足。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和Tn。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，… ，第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。‎ ‎（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；‎ ‎（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为PC，CD的中点，DE = EC。‎ ‎（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；‎ ‎（2）设PA = a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当时，试比较与的大小。‎ 选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC。‎ ‎（1）求证：CE·EB = EF·EP；‎ ‎（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为。‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆C所截得的弦长。‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数。‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。‎ ‎2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B B B C C D C B B D 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17. (Ⅰ)整理得 ……………………………… 4分 ‎ 又 得 ……………………………… 6分 ‎(Ⅱ)由（1）知 …………………………… 8分 所以 …………………………………… 12分 ‎18. 解: (Ⅰ) 第六组 ···························2分 ‎ 第七组 ···························4分 ‎ 估计人数为 ··························6分 ‎ (Ⅱ) 可能的取值为0,1, 2, 3. ························7分 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列 ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ·············10分 ‎=. ····················· 12分 ‎19.(Ⅰ)，分别为的中点，‎ 为矩形， ················· 2分 ‎,又 面,面,‎ 平面⊥平面 ····················· 4分 ‎ (Ⅱ) ,又，‎ 又,所以面, ··················6分 法一：建系为轴，为轴，为轴,‎ ‎，,‎ ‎ 平面法向量，平面法向量 ··········9分 ‎ ，可得. ·············12分 法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,‎ 则,面,,‎ 作于点，所以面,‎ 连,则,即为所求 ············· 9分 在中，,‎ 解得 ·············12 分 20. ‎(Ⅰ)由已知 解得，，方程为·······3 分 ‎(Ⅱ) 设，则 ‎（1）当直线的斜率存在时，设方程为 ‎ 联立得：‎ 有 ① ‎ 由以为直径的圆经过坐标原点O可得：·‎ 整理得： ②‎ 将①式代入②式得：, ··········· 6 分 ‎ ‎ 又点到直线的距离 ‎·········· 8 分 所以 ·········· 10 分 ‎(2) 当直线的斜率不存在时，设方程为（）‎ ‎ 联立椭圆方程得：‎ 代入得到即，‎ 综上：的面积是定值 又的面积，所以二者相等. ·······12分 20. ‎(Ⅰ) 由原式， ················ 1分 令，可得在上递减，‎ ‎ 在上递增，所以 ‎ 即 ···············3分 ‎（Ⅱ）‎ ‎，，‎ 时，函数在单调递增 ···············5分 ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，必有极值，在定义域上不单调··············8分 ‎ ················9分 ‎（Ⅲ）由(I)知在(0,1)上单调递减 ‎ ∴时，即 ················ 10分 而时，‎ ‎ ··············· 12分 ‎22.（I）∵，∴，‎ 又∵，∴，∴∽‎ ‎∴又∵，∴···5分 ‎（II），，‎ ‎ 是⊙的切线，， ·······10分 ‎23.（Ⅰ）圆的极坐标方程为： ·········5 分 ‎ （Ⅱ）圆心到直线距离为，圆半径为，所以弦长为 ··········· 10分 ‎24.（Ⅰ）的解集为： ·········· 5分 ‎ （Ⅱ） ·········· 10 分