【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第二次月考（理）

【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第二次月考（理）

四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第二次月考（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，则 ‎ A． B．3 C．1 D．‎ ‎3．命题“”的否定是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数为奇函数的充要条件是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）‎ A．12 B．20 C．30 D．40‎ ‎9．函数在区间上的最大值与最小值的差记为，若 恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知三棱锥中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．双曲线的右焦点为，为双曲线上的一点，且位于第一象限，直线分别交于曲线于两点，若为正三角形，则直线的斜率等于 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设函数，则____________.‎ ‎14．若，满足约束条件则当取最小值时，的值为__________．‎ ‎15．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，‎ 且所有项的系数和为256，则含的项的系数为_________．‎ ‎16．如图所示，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值是 .‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，的面积为，求.‎ ‎18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.‎ ‎ 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.‎ ‎（Ⅰ）请将右面的列联表补充完整；‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ ‎（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；‎ ‎（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列以及数学期望.‎ 下面的临界值表供参考: ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式 其中）‎ ‎19．（12分）在五面体中，, ,‎ ‎，，平面平面.‎ ‎（I） 证明: 直线平面；‎ ‎（II） 已知为棱上的点，试确定点位置，使二面 角的大小为.‎ ‎20．（12分）已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）证明：.‎ ‎21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有？若存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（I）若与曲线没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（II）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数,‎ ‎(I)解不等式 ‎(II)若对于,有,求证:.‎ 参考答案 ‎1．A 2．A 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．A 10．B ‎ ‎11．C 12．D ‎13． 14．1 15．8. 16．.‎ ‎17．（1）∵ ∴由正弦定理得：‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎（2）由得：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎18．（Ⅰ）列联表补充如下 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（Ⅱ）∵∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 ‎（Ⅲ）根据题意，的值可能为0，1，2，3‎ ‎， ， ， ‎ 分布列如下: ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则 ‎19．（1）∵, ∴‎ ‎∴四边形为菱形,∴∵平面平面，平面平面,‎ ‎∵∴平面∴,又∵∴直线平面 ‎（2）∵,∴为正三角形，取的中点,连接,则 ‎∴,∵平面平面,平面，平面平面,‎ ‎∴平面∵∴两两垂直以为原点，的方向为轴， ‎ 建立空间直角坐标系∵, ,∴‎ 由（1）知是平面的法向量∵,‎ 设，则．‎ 设平面的法向量为∵, ∴，‎ 令，则∴∵二面角为,‎ ‎∴ ，解得 ‎∴点靠近点的的三等分点处 ‎20．（1）解：，‎ ‎①若时，在上单调递减；②若时，当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 综上，若时，在上单调递减；‎ 若时，在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎（2）证明：要证，只需证，‎ 由（1）可知当时，，即，‎ 当时，上式两边取以为底的对数，可得，‎ 用代替可得，又可得，所以，‎ ‎，‎ 即原不等式成立.‎ ‎21．解：（1）得圆的圆心为，半径；圆的圆心，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并与圆内切，所以 由椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为 ‎（2）假设存在满足.设 联立得，由韦达定理有 ‎①，其中恒成立，‎ 由（显然的斜率存在），故，即②，‎ 由两点在直线上，故代入②得：‎ 即有 ‎③‎ 将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当“”时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有 ‎22．解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）‎ 所以曲线的普通方程为，‎ 由消去得，，‎ 所以，解得，故的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，‎ 故曲线上的点到的距离，‎ 故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.‎ ‎23．解：(1)不等式f(x)＜x+1,等价于|2x﹣1|＜x+1,即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1,‎ 求得0＜x＜2,故不等式f(x)＜x+1的解集为(0,2).‎ ‎(2),‎ 所以f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2+＜1.‎