广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

广东省佛山市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 第一部分选择题（共60分）‎ 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知且则的值是　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎2．已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆方程为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3. 在中．角、、所对的边分别为、、．如果．则的形状是　　‎ A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 ‎ C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形[来源:学科网]‎ ‎4．设, 则的大小关系是：‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 设函数且，则　　‎ A．2 B．3 C．2或3 D．3‎ ‎6．已知两个圆和，它们的半径分别是2和4，且，若动圆与圆内切，又与外切，则动圆圆心的轨迹方程是　　‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线一支 D．抛物线 ‎7．已知双曲线：，斜率为1的直线与双曲线交于两点，若线段的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 在中，角，，所对应的边分别为，，．已知，，，则　　‎ A．15 B． C．3 D．‎ ‎9. 已知函数，，为常数，，的部分图象如图所示，则　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10. 方程有三个不同的解，则的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎11．直线 经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是　　‎ A． B． C． D．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎12．已知函数，，函数的最小值，则实数的最小值是　　‎ A． B． C．0 D．‎ 第二部分非选择题（90分）‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.‎ ‎13．直线、直线与曲线 围成的图形的面积为　 　．‎ ‎14．直线 与抛物线相交于A, B两点，O为原点，则三角形AOB面积为　 　.‎ ‎15. 已知中，角、B、C对应边分别为 ,且 ，则 面积最大值为　 　 .‎ ‎16. 曲线C: 与直线有4个交点，则 的取值范围是 　 . ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(10分)的内角，，的对边分别为，，，若．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎18．(12分)已知曲线为参数），曲线为参数）．‎ ‎（1）若，求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；‎ ‎（2）曲线和曲线的交点记为、，求 的最小值．‎ 19． ‎(12分)已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若的最小值为1，求的最小值．‎ ‎20．(12分)已知椭圆的左右焦点分别是 离心率，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，分别过作两条互相垂直的弦与，求的最小值.‎ ‎21.(12分)如图，已知抛物线的焦点到直线 的距离为 是过抛物线焦点的动弦,是坐标原点，过两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点.‎ ‎ （1）求证：.‎ ‎（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记的斜率分别为问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎22. (12分)已知函数（其中是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求证：；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎2019-2020 学年上学期高三级期中考理科数学答案 ‎ 命题 、审题人：禤铭东 、 吴统胜 2019年11月 一、选择题: ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C A C C D B D B A C 二、填空题: ‎ ‎13. 1 ； 14. ； 15. ； 16. .‎ 三、解答题: ‎ ‎17. 解：（1）, ‎ 所以， …………………………………………………（3分）[来源:学.科.网]‎ ‎（2）因为，所以, 所以．………………………（5分）‎ 又，由正弦定理，．……………………………………………（6分）‎ 根据余弦定理，‎ 得，，………………………………………………………………………（8分）‎ 所以的面积为．…………………………………………（10分）‎ ‎18. 解：（1）为参数）‎ ‎，曲线的普通方程是…………………………………（2分）‎ 它表示过，倾斜角为的直线………………………………………………（4分）‎ ‎（2）曲线的普通方程为……………………………………………（6分）‎ 设，过作，此时最小…………………………………（8分）‎ 以下证明此时最小，‎ 过作直线，与不重合 在△中，…………………………………（10分）‎ 此时，…………………………………………………………（12分）‎ ‎19 解：（1）当当时………………………………（1分）‎ 当时，不等式化为，, ；……………（2分）‎ 当时，不等式化为, 明显成立；………………………（3分）‎ 当时，不等式化为， ；………………（5分）‎ 综上所述，不等式的解集为；……………………………………………………（6分）‎ ‎（2）‎ 当且仅当时取等号…………………………（8分）‎ ‎…（11分）‎ 当且仅当，即时，的最小值为27. …………………（12分）‎ 20. ‎ 解：（1）由已知……（1分）‎ 将点代入得 椭圆E方程为:. ………………………………………………………（3分）‎ （2） 解法一：由已知，‎ ‎①当轴或在轴上时，‎ ‎…………………………（4分）‎ ‎②当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为：‎ 联立得：………………………（5分）‎ 设则………………（6分）‎ ‎…………（7分）‎ ‎，由椭圆对称性，以代换上式中的得：‎ ‎………………………………………………………（8分）‎ 思路一:…（10分）‎ 当且仅当即时，取“=”…………………………………（11分）‎ 而，有最小值………………………………………………（12分）‎ 思路二：设则 ‎…………（10分）‎ 当且仅当即时，有最小值.…………………（11分）‎ 而，有最小值………………………………………………（12分）‎ 解法二：由已知，设直线………………………………………………（4分）‎ 联立得：………………………………（5分）‎ 设则………………（6分）‎ ‎………（7分）‎ ‎，由椭圆对称性，以代换上式中的得：‎ ‎………………………………………………………（8分）‎ 思路一…（10分）‎ 当且仅当即时，取“=”…………………………………（11分）‎ 有最小值……………………………………………………………（12分）[来源:学科网]‎ 思路二：设则 ‎…………（10分）‎ 当且仅当即时，有最小值.…………………………（11分）‎ 有最小值……………………………………………………………（12分）‎ 21. ‎ 解：（1）‎ 由已知故抛物线方程为………………（1分）‎ 依题意，设直线方程为 联立得：……………………………………………………（2分）‎ 设……………………………………（3分）‎ ‎…………………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）将代入得……………………………………………（6分）‎ ‎…………（9分）‎ ‎……………………………（10分）‎ ‎……………………………………………………………………（11分）‎ 若有成立，则有解得 故存在成立………………………………………………（12分）‎ 21. ‎ 解：（1）当时，…………………………（1分）‎ 在上单调递减，又………（2分）‎ 故存在唯一零点……………………………………………………（3分）‎ 且在上单调递增，在上单调递减，.‎ ‎………………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）…………………………………（6分）‎ 当时,；当时,‎ 若有两个零点，则在上有唯一极大值点，且（7分）‎ 由得，………………………………（8分）…………………………………………（9分）‎ 设在上单调递增，‎ 且………………………………………………………（11分）‎ 故由可得，在上单调递增 的取值范围为.……………………………………………………………（12分）‎