数学理卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期摸底考试（2017

数学理卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期摸底考试（2017

广东省深圳市南山区2018届高三上学期入学摸底考试 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合且，则集合可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知命题，则命题的否定是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.若满足约束条件则的最大值是( )‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎4. 抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比为1:2,则点到的焦点的距离是 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.—个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5‎ ‎6. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图，输出的的值是( )‎ A． ‎ B．0 C. D． ‎ ‎9. 设的内角的对边分为，.若是的中点，则( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎10. ( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎11．若双曲线的左支与圆相交于两点，的右焦点为，且为正三角形，则双曲线的离心率是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎12.已知函数，对于任意且.均存在唯一实数，使得，且.若关于的方程有4个不相等的实数根，则 的取值范围是 ( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若复数在复平面内的对应点在虚轴上，则 .‎ ‎14. 若函数是奇函数函数，则使成立的的取值范围是 .‎ ‎15.某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是 .‎ ‎16.已知函数的图象的一个最高点是，最低点的纵坐标为2，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度可以得到的图象，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当取得最小值时，求的值.‎ ‎18. 在多面体中，四边形与均为正方形，平面，平面，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如图茎叶图.由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.‎ ‎ ‎ ‎（1）完成频率分布直方图；‎ ‎（2）根据（1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩（同一组中的数据用改组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为，并假设，且各自取得每一个可能值的机会相等，在（2）的条件下，求概率.‎ ‎20．已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上是否存在相异两点，使其满足:①直线与直线的斜率互为相反数；②线段的中点在轴上，若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.与相交于两点.‎ ‎（1）把和的方程化为直角坐标方程，并求点的直角坐标；‎ ‎（2）若为上的动点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意的实数都有，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADCDA 6-10: DCDBB 11、12：AC 二、填空题 ‎13.1 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，又，解得.‎ 所以数列的公差.‎ 所以.‎ ‎（2）令，即，解得.‎ 又，‎ 所以，当取得最小值时，或6.‎ ‎18.（1）证明：由题意可得，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ 而平面，‎ ‎∴.‎ 如图，连接，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，∴四边形为直角梯形，‎ 设，则依题意，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴.又，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）解：由（1）知两两垂直，‎ 以分别为轴建立空间直角坐标系，设，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，∴，取，得.‎ 又是平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：（1）频率分布直方图如图：‎ ‎（2），‎ 即全班同学平均成绩可估计为78分.‎ ‎（3），‎ 故，‎ 又 故.‎ ‎20.解：（1）由已知得 解得，‎ ‎∴椭圆的方程.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入，得 ‎.‎ 设，且是方程的根，‎ ‎∴.‎ 用代替上式中的，可得.‎ ‎∵的中点在轴上，∴.‎ ‎∴，解得，‎ 因此满足条件的点存在.‎ 由平面几何知识可知的角平分线方程为，‎ ‎∴所求弦长为3.‎ ‎21.解：（1）由题得，所以.‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，令，得，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，所以在上单调递减.‎ ‎（2），.‎ 设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点.同理，在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（1）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不符合题意.‎ 当时，所以在上单调递减，故在内至多有一个零点，不符合题意.所以.‎ 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 因此，必有.‎ 由，得，.‎ 又，，解得.‎ 所以函数在区间内有零点时，.‎ ‎22.解：（1）.‎ 解得或.‎ ‎（2）设，不妨设，‎ 则 ‎，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎23.解：（1）解不等式，即，等价于：‎ 或或 解得，或，或.‎ 所以所求不等式的解集为或.‎ ‎（2）‎ 当时，.‎ 又因为对于任意的实数都有，所以的取值范围是.‎