天津市静海一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市静海一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

静海一中2019-2020第一学期高一数学期末 学生学业能力调研试卷 第I卷 基础题（共105分）‎ 一、选择题：（每小题5分，共40分）‎ ‎1.设集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A,B，根据交集的运算求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.‎ ‎（1）当，即．‎ 当时，不等式化为，合乎题意；‎ 当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；‎ ‎（2）当，即时．‎ 关于的不等式的解集为.‎ ‎，解得．‎ 综上可得，实数的取值范围是．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎3.已知：，，则是成立的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对 恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系．‎ ‎【详解】构造函数，对，恒成立，‎ 则，解得，‎ ‎，因此，是的充分但不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件．‎ ‎4.已知，则的大小关系为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，‎ 又由对数运算性质，可得，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.‎ ‎【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，‎ 得，当时，.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.‎ ‎6.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集.‎ ‎【详解】因为为奇函数，所以，所以即.‎ 当时，等价于也即是，‎ 因为在内是增函数，故可得.‎ 因为在内是增函数且为奇函数，‎ 故在内是增函数，又.‎ 当时，等价于也即是，‎ 故可得.‎ 综上，的解集为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性，必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性.‎ ‎7.若正数满足：，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把化为，利用基本不等式可求最小值.‎ ‎【详解】因，为正数，所以，从而.‎ 又可化为，‎ 故，当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为2.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.‎ ‎8.函数，则方程的根的个数是（ ）‎ A. 7 B. 5 C. 3 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别讨论，和两种情况，根据函数解析式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为 ‎（1）当时，由，解得或，‎ 若，则或，解得或；或或；‎ 若，则或，解得；‎ ‎（2）当时，由，解得或（舍），所以.‎ 若，则，解得；‎ 若，则，解得.‎ 综上，方程的根的个数是7个.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.‎ 二、填空题：（每小题4分，共20分）‎ ‎9.化简：的值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式可求三角函数式的值.‎ ‎【详解】原式 ‎，‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限” ．‎ ‎10.若函数为奇函数，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意，当时，为奇函数，，则 故答案为.‎ ‎11.方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵1﹣2a=2sin（2x+），‎ 令y1（x）=2sin（2x+），y2（x）=1﹣2a，‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴2x+∈[，]，‎ 方程2sin（2x+）+2a﹣1=0在[0，]上有两个不等的实根，‎ 由图知，≤2sin（2x+）＜2，即≤1﹣2a＜2，‎ ‎∴﹣2＜2a﹣1≤﹣，‎ 解得﹣＜a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 故答案为.‎ 点睛：这个题目考查了已知函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含x的函数，注意让含x的函数式子尽量简单一些.‎ ‎12.已知，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，且，所以,‎ ‎.‎ ‎13.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，所以 ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 三、解答题：（共5小题，共68分）‎ ‎14.设函数，‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用分类讨论思想分 和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为 时，解集为或；（2）由题意得：恒成立 恒成立 ‎ 试题解析：（1） 时，不等式的解集为或 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为或 ‎（2）由题意得：恒成立，‎ ‎ ‎ 恒成立.‎ 易知 ，‎ ‎ 的取值范围为：‎ ‎15. ‎ ‎（1）已知，求；‎ ‎（2）若，求值；‎ ‎（3）求的值；‎ ‎（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？‎ ‎【答案】（1）；（2）1；（3） ；（4）. 注意问题见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用诱导公式化简，再代入计算即可.‎ ‎（2）利用“1”的代换和弦切互化法可求三角函数式的值.‎ ‎（3）把化为，再利用辅助角公式和倍角公式可求该值.‎ ‎（4）令，则，利用诱导公式可求的值.‎ ‎【详解】（1）用诱导公式化简等式可得 ‎，代入可得.‎ 故答案为.‎ ‎（2）原式可化为：‎ ‎，‎ 把代入，则原式.‎ 故答案为1．‎ ‎（3）‎ 故答案为.‎ ‎（4）令，则 ‎.‎ 解题中应注意角与角之间的关系.‎ ‎【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ ‎16.已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期及增区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．‎ ‎【答案】(1) 最小正周期为，增区间为 ；(2) 时，‎ ‎；时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角变换公式可将化为，利用周期公式和复合函数的单调性的处理方法可求的最小正周期及增区间.‎ ‎（2）先求出的范围，再利用正弦函数的性质可求的最值及相应的的值.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的最小正周期为,‎ 令，则，，‎ 故函数的单调增区间为.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 当，即时，；‎ 当，即时，‎ ‎【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．‎ ‎17. ‎ ‎（1）已知，，求；‎ ‎（2）已知，．‎ ‎（i）求值；‎ ‎（ii）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，则，利用二倍角的正弦和余弦公式可求的值，再利用两角和的正弦可求的值.‎ ‎（2）（i）把看成，利用两角和的正弦可求的值；（ii）求出后利用二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦可求的值．‎ ‎【详解】（1）令，则，‎ 所以 ‎，‎ 又，而，故，‎ 所以，所以 ‎.‎ ‎（2）（i），‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ ‎（ii）因为，，故，‎ 所以，.‎ 而 ‎.‎ ‎【点睛】三角函数中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.‎ 第II卷 提高题（共15分）‎ ‎18.已知定义域为的函数在上有最大值1，设 ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】（1）0；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合二次函数的性质 可判断g（x）在[1，2]上的单调性，结合已知函数的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，结合对数与二次函数的性质可求；（3）原方程可化为|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用换元q＝|ex﹣1|，结合二次函数的 实根分布即可求解．‎ ‎【详解】（1）因为在上是增函数， ‎ 所以，解得． ‎ ‎（2）由（1）可得：‎ 所以不等式在上恒成立．‎ 等价于在上恒成立 令，因为，所以 则有在恒成立 令，，则 ‎ 所以，即，所以实数的取值范围为． ‎ ‎（3）因为 令，由题意可知 ‎ 令，‎ 则函数有三个不同的零点 等价于在有两个零点，‎ 当 ，此时方程，此时关于 方程有三个零点，符合题意；‎ 当 记为，，且，， ‎ 所以，解得 综上实数的取值范围 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，不等式中的恒成立问题与最值的相互转化，二次函数的实根分布问题等知识的综合应用，是中档题