2018-2019学年安徽省滁州市定远县育才学校高二（普通班）上学期期末考试数学（文）试题 解析版
育才学校2018-2019学年度上学期期末考试
高二普通班文科数学
（考试时间：120分钟 ，满分：150分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列语句为命题的是( )
A． 2x＋5≥0 B． 求证对顶角相等 C． 0不是偶数 D． 今天心情真好啊
2.下列命题错误的是( )
A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
D． “若am2
0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列为真命题的是( )
A．p∧q B． (p)∧(q) C． (p)∧q D．p∧(q)
5.已知p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果p是真命题，那么a的取值范围是( )
A．a< B． 00)，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
9.P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p≠0)上任一点，则P到焦点的距离是( )
A． |x0－| B． |x0＋| C． |x0－p| D． |x0＋p|
10.设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆两焦点，则cos∠F1PF2的最小值是( )
A． B． C． － D． －
11.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x C．y2＝22x D．y2＝－22x
12.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是( )
A． B． 3 C． D．
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.若方程＋ay2＝1表示椭圆，则实数a应满足的条件是________．
14.直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2
＝2相切的充要条件是_____________．
15.下列四个命题：①若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；
②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；
③在平面直角坐标系内，点M(|a|，|a－3|)与N(cosα，sinα)在直线x＋y－2＝0的异侧；
④规定下式对任意a，b，c，d都成立．
2＝·＝，则2＝.
其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．
16.若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，且焦点在坐标轴上，顶点在原点．则抛物线的标准方程是________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17.已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
18.求适合下列条件的标准方程：
(1)焦点在x轴上，与椭圆＋＝1具有相同的离心率且过点(2，－)的椭圆的标准方程；
(2)焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x的双曲线标准方程．
19.设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：函数g(x)＝x2－ax－2在区间(1,3)上有唯一零点．
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
20.如图，已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若·＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PF1F2的面积．
21.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点M(3，m)到焦点的距离等于5.
(1)求抛物线C的方程和m的值；
(2)直线y＝x＋b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|＝4，求直线的方程．
22.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，
且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
高二文科数学答案
1.C【解析】 结合命题的定义知C为命题．
2.D【解析】 D选项，“若am20，ln(x＋1)>0，则命题p为真命题，则p为假命题；
取a＝－1，b＝－2，a>b，但a20时，由Δ≥0，得00)，得＋＝1.∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
9. B【解析】利用P到焦点的距离等于到准线的距离，当p>0时，p到准线的距离为d＝x0＋；当p<0时，p到准线的距离为d＝－－x0＝|＋x0|.
10.D【解析】由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝，①
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|F1F2|＝2，∴①式可化为cos∠F1PF2
＝
＝－1.
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.
11.D【解析】 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x.
12.A【解析】如图，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离等于点P到焦点F的距离．因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点(0,2)到点F(，0)的距离，则距离之和的最小值为＝.
13.a＞0且a≠1 【解析】将方程化为＋＝1，此方程表示椭圆需满足：解得a＞0且a≠1.
14.m＝－4或m＝0
【解析】圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离为，
即＝，
即|2＋m|＝2，解得m＝－4或m＝0.
15.③④ 【解析】当a与b的夹角为π时，有a·b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是假命题；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②是假命题；因为|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cosα＋sinα－2＝sin－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有
2＝·
＝＝，
故④是真命题．
16.y2＝16x或x2＝－8y
【解析】∵x－2y－4＝0与两轴的交点为(4,0)，(0，－2)，
∴抛物线方程为y2＝16x，x2＝－8y.
17.解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：－2≤x≤10，
q：1－m2≤x≤1＋m2.
(1)若p是q的必要条件，则
即即m2≤3，
解得－≤m≤，
即m的取值范围是[－，]．
(2)∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即(两个等号不同时成立)，
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．
18.(1)∵焦点在x轴上，与椭圆＋＝1具有相同的离心率，
∴设对应的椭圆方程为＋＝λ(λ＞0)，
∵椭圆过点(2，－)，
∴λ＝＋＝1＋1＝2，
即对应的椭圆方程为＋＝2，
即＋＝1.
(2)∵焦点在x轴上，
∴设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x，
∴解得a＝3，b＝1.
则焦点在x轴上的双曲线的方程为－y2＝1.
19.(1)若函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R，
则ax2－4x＋a＞0恒成立．
若a＝0，则不等式为－4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则即
解得a＞2，即若命题p为真命题，则实数a的取值范围是a＞2.
(2)如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假，
q：由于Δ＝a2＋8＞0，q真⇔g(1)g(3)＜0，解得－1＜a＜，
当p真q假时，a∈[，＋∞)，当p假q真时，a∈(－1,2]，
综上，a∈[，＋∞)∪(－1,2]．
20.(1)∵·＝0，∴△PF1F2是直角三角形，
∴|OP|＝|F1F2|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5.
∴椭圆的方程为＋＝1.
又P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1，
∴a2＝45或a2＝5.
又a＞c，∴a2＝5舍去．
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，②
由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
∴＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20.
21.(1)根据抛物线定义，M到准线距离为5，
因为M(3，m)，
所以＝2，抛物线C的方程为y2＝8x，m＝±2.
(2) 因为直线y＝x＋b与抛物线C交于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y2－8y＋8b＝0，
所以|AB|＝|y1－y2|
＝
＝＝4，
所以b＝，直线方程为y＝x＋.
22.(1)解 因为e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
所以c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)，所以＝，＝，
所以·＝＝－.
因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，得m2＝3.
故·＝－1，所以MF1⊥MF2， 所以·＝0.
(3)解 △F1MF2的底边|F1F2|＝4，底边F1F2上的高h＝|m|＝，
所以＝6.
