湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

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湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎ 应城一中2019—2020学年度下学期期中考试 高二数学试卷 考试时间:‎2020年4月21日上午 试卷满分:150分 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设复数满足,则的共轭复数为 A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心,则C的离心率为 ‎ A. 3 B. C. D.‎ ‎4.将4个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ‎ A.6种 B. 42种 C. 10种 D.12种 ‎5.胡夫金字塔的形状为四棱锥,1859年,英国作家约翰泰勒(John Taylor,1781-1846)在其《大金字塔》一书中提出:古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例,泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载:胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方。如图,若,则由勾股定理,,即,因此可求得为黄金数,已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形,顶点的投影在底面中心,为中点,根据以上信息,的长度(单位:英尺)约为 ‎ A.611.6 B.‎481.4 C.692.5 D.512.4‎ ‎ ‎ ‎6. 已知,且,则=‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎7.设抛物线的焦点为,准线为,为该抛物线上一点,,为垂足.若直线 的斜率为,则的面积为 ‎ A. B. C.8 D. ‎ ‎8.的展开式的各项系数和为243,则该展开式中的系数是 ‎ A.5 B. C. D.100‎ ‎9.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象.若函数为偶函数,则函数在区间上的值域是 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知为偶函数,为奇函数,且满足.若存在使得不等式有解,则实数的最大值为 第11题图 A. B. -‎1 C. 1 D. ‎ ‎11.如图,以棱长为2的正方体的顶点为球心,以为半径做一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 函数在区间上是单调函数,且的图像关于点对称,则 A.或 B.或 C.或 D.或 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知两个单位向量,满足,则与的夹角为__________.‎ ‎14. 若函数的图象在点处的切线过点,则 。‎ 15. 记为等差数列的前项和,若,则________.‎ ‎16.已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是__________.‎ 三、 解答题:满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分,18-22题满分为12分,每个试题考生都必须作答,考生根据要求作答.‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ 在等比数列中,公比为,.‎ ‎(1)求数列{}的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18、(本小题满分12分) ‎ 如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,‎ ‎.‎ ‎(1)若θ=,求的值;‎ ‎(2)若BC=4,AB=2 ,求边AC的长.‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ 某省从2021年开始将全面推行新高考制度,新高考“3+1+2”中的“2”‎ 要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始,高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级,确定各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%,2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、 [56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表:‎ 等级 A B C D E 比例 ‎15%‎ ‎35%‎ ‎35%‎ ‎13%‎ ‎2%‎ 赋分区间 ‎[86,100]‎ ‎[71,85]‎ ‎[56,70]‎ ‎[41,55]‎ ‎[30,40]‎ 而等比例转换法是通过公式计算: .‎ 其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分,、分别表示等级分区间的最低分和最高分,表示原始分,表示转换分,当原始分为、时,等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表:‎ 考生科目 考试成绩 成绩等级 原始分区间 等级分区间 化学 ‎75分 B等级 ‎[69,84]‎ ‎[71,85]‎ 设小南转换后的等级成绩为,根据公式得:,所以(四舍五入取整),小南最终化学成绩为分.‎ 已知某年级学生有100人选了化学,以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩,其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表:‎ 成绩 ‎95‎ ‎93‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎(1)从化学成绩获得等级的学生中任取名,求恰好有名同学的等级成绩不小于分的概率;‎ ‎(2)从化学成绩获得等级的学生中任取名,设名学生中等级成绩不小于分人数为,求的分布列和期望.‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,,‎ ‎,顶点在底面内的射影恰为点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(第20题图)‎ ‎(2)若直线与底面所成的角为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 已知点,在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)直线经过的上顶点且与抛物线交于,两点,直线,与分别交于点(异于点),(异于点),证明:直线的斜率为定值.‎ 22、 ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数:‎ (I) 当时,求的极值;‎ (II) 证明:函数有且只有一个零点.‎ 高二下学期期中考试参考答案 一、选择题(每题5分,满分60分)‎ ‎1-5 CBBCC 6-10、BDCBA 11-12 DB 二、填空题(每题5分,满分20分)‎ ‎13、 14、5 15、13 16、. ‎ 三、解答题 ‎17、解:(Ⅰ)因为公比为的等比数列中,‎ ‎ ‎ 所以,当且仅当时成立.----------------------2分 此时公比,  ---------------------------------3分 所以 ------------------------------------------------5分 ‎ (Ⅱ)因为 ‎ 所以 ‎ ‎ --------------6分 ‎--------7分 ‎ --------8分 ‎ -------------------------9分 ‎ ‎ ‎ 故数列的前项和----------------------------10分 18、 解:(I)‎ 所以 ....................................2分 ‎ 19、(1)设化学成绩获得等级的学生原始成绩为,等级成绩为,由转换公式得:‎ ‎,即:‎ 根据成绩统计表显示满足的同学只有人,获得等级的考生有人 故恰好有名同学的等级成绩不小于的概率为 ‎(2)由题意等级成绩不小于分人数为人,获得等级的考生有人,则 分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则期望为:‎ ‎20、‎ 解:(1)证明:如图,连接,则平面,‎ 平面, ………………2分 在等腰梯形中,连接,过点作于点,‎ ‎,,,‎ 则,‎ 因此满足, ……………………5分 又,‎ 平面 ……………………6分 ‎(2)由(1)知两两垂直,‎ ‎∵平面,,‎ 以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系, …………………7分 则,,,,‎ ‎,‎ 设平面的法向量,由得 可得平面的一个法向量, ……………………9分 又为平面的一个法向量, ………………10分 设平面与平面所成锐二面角为 则 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ……12分 ‎21、解:(Ⅰ)依题意得 ‎ ‎ 解得 ‎ 所以 椭圆的方程为-----------------------------------4分 ‎(2)补充:若F用椭圆的右焦点F(1,0),计算方法下同。算出来的答案为定值-1‎ 同样算对,赋分方法下同。‎ ‎ 参考答案所给的F为椭圆的左焦点F(-1,0),则算出来的答案为定值1‎ ‎22、解:(I)
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