2014龙岩3月份质检文数试卷(2)

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2014龙岩3月份质检文数试卷(2)

福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文 科 数 学 全卷满分150分,考试时间120分钟.‎ 参考公式:‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积,为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ ,‎ 其中为底面面积,为高 其中为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合,,则 A. B. C. D. ‎ ‎2.复数(是虚数单位),则的值是 A. B.‎1 ‎C. D. ‎ ‎3.已知为第二象限角,,则的值为 A. B. C. D.‎ 开 始 输出 结 束 是 否 ‎(第4题图)‎ ‎4.如右图是一个算法的程序框图,则输出的结果为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.高三(3)班共有学生56人,现根据座号,用系统抽 样的方法,抽取一个容量为4的样本.已知3号、31‎ 号、45号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的 座号是 ‎ A.15 B.‎16 ‎C. 17 D. 18‎ ‎6.若函数,则函数的零点个数是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知变量、满足约束条件,则的最小值为 A.0 B. C. D. ‎ ‎8.在△中,“”是“△为钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.若双曲线的渐近线方程式,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎10.向量,,则的最小值是 A. B. C. D.‎ ‎11.函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎ ‎12.已知,在区间上任取三个数,均存在以 为边长的三角形,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置上)‎ ‎13.圆的圆心到抛物线的准线的距离为 .‎ ‎14.已知圆台的母线长为,俯视图是半径分别为和的同心圆,则其侧视图的面积为 .‎ ‎15.在区间上随机取两个数和,则关于的方程有实根的概率为 .‎ ‎16.在计算机语言中,有一种函数叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示不超过的最大整数,如,,已知,令,且,则 .‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在偶函数的图象上.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求数列的前项和.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎(第18题图)‎ 如图,在直三棱柱中,,,、分别是棱、的中点,在棱上,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况,对某班名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图:‎ 组别 锻炼次数 频数(人)‎ 频率 ‎1‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎0.22‎ ‎3‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎15‎ ‎0.30‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎0.04‎ 合计 ‎1.00‎ ‎(Ⅰ)求频率分布表中、及频率分布直方图中的值;‎ ‎(Ⅱ)求参加锻炼次数的众数(直接写出答案,不要求计算过程);‎ ‎(Ⅲ)从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人,求至少一人参加锻炼的次数在区间内的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求的值及图象的对称中心;‎ ‎(Ⅱ)在中,若,且,求面积的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 设椭圆的离心率为,过点任作一条弦交椭圆于、两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设为直线上任意一点,分别为直线的斜率.是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(第21题图)‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,讨论的单调性;‎ ‎(Ⅲ)设,在函数的图象上取两定点,,设直线的斜率为,证明:存在,使成立.‎ 福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文科数学答案 一、选择题:1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD ‎ 二、填空题: 13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 考查意图:本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法,考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等.‎ 解:(Ⅰ)∵函数是偶函数,∴………………………………………2分 ‎∴‎ ‎∵点在函数的图象上,∴……………………………………3分 当时,………………………………………4分 当时,也符合上式 ………………………………………………………5分 所以 ……………………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)‎ 所以………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 考查意图:本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)证明:∵在直三棱柱中,平面 ‎∴,即……………………………………………………………2分 又∵,,∴平面…………………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:‎ ‎∵,,∴‎ ‎∵、分别是棱、的中点,,‎ ‎∴,………………………………………………8分 又∵平面,∴‎ ‎∴三棱锥的体积为……………………………………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 考查意图:本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识,考查运算求解能力、推理能力,考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法.满分12分.‎ 解:(I) ……………………………………………………………1分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又∵ ……………………………………………………………3分 ‎ ∴ ……………………………………………………………4分 ‎ (II)众数为12 ……………………………………………………………6分 ‎ (III)参加次数不少于18次的学生共有:人 ‎ 设在内的4人为:A、B、C、D,在内的2人为、,在这6人中 任取2人共有:AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种, 8分 其中至少一人参加锻炼的次数在区间内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种. ……………………………………………………………10分 ‎ ‎ 答:所求的概率为 ……………………………………………………………12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 考查意图:本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解:依题意,的周期为, ………………………………………………1分 则 ………………………………………………………………………………2分 ‎∴‎ 令,得 ……………………………………………………4分 ‎∴的对称中心为 ………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)(法一)在中,由,得 ‎ ……………………………………6分 由正弦定理得 ‎,………………7分 ‎∴的面积为 ……………………………………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……11分 ‎ ∵,∴,∴当时,‎ ‎ ∴的面积的最大值为.…………………………………………12分 ‎(法二)在中,由,得 ‎ ……………………………………6分 由余弦定理得,……………………………………7分 ‎∴……………………………………………………………………8分 ‎∵(当且仅当时,等号成立)‎ ‎∴,∴…………………………………………………………10分 ‎∴ ……………………………11分 ‎(当且仅当时等号成立)‎ ‎∴的面积的最大值为.……………………………………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 命题意图:本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法,考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)依题意,,∴‎ ‎∴椭圆方程为.…………………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)(法一)∵点在直线上,∴可设点 ‎①当直线垂直于轴时,可求 ‎∴,‎ ‎∴,此时…………………………………………………………6分 ‎②当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得 设,,则,…………………………7分 ‎∴‎ ‎………10分 ‎∴,∴………………………………………………………………11分 综上知,存在实数,使恒成立。………………………………12分 ‎(法二)设过点的直线方程为,…………………………………………5分 ‎ 代入椭圆方程,整理得……………………6分 设,,则,……………………7分 设点,‎ 则 ‎ ‎ ‎ …………………………………………………………10分 ‎ 又∵,……………………………………………………………………11分 ‎ ∴存在,使恒成立.……………………………………………12分 ‎22.(本小题满分14分)‎ 考查意图:本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力,考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)当时, ,………………………………………………1分 ‎ ∵点在函数图象上 ‎ ∴在点的切线斜率为 ……………………………………………………2分 ‎ ∴所求切线方程为. ……………………………………………………3分 ‎(Ⅱ)∵‎ ‎ ∴ ……………………4分 ‎ 令 当时,由,则,解得 ……………………5分 ‎ ① 当时,,恒成立,此时,函数在上单调递减;‎ ‎……………………6分 ‎②当时, ‎ 时,,此时,函数单调递减;‎ 时,,此时,函数单调递增;‎ 时,,此时,函数单调递减; ……………………7分 ‎③当时,由于 时,,此时,函数单调递增;‎ 时,,此时,函数单调递减; ‎ 综上所述:‎ 当时,函数在上单调递减;‎ 当时,函数在单调递减,在单调递增,在上单调递减;‎ 当时,函数在单调递增,在单调递减. ……………………9分 ‎(Ⅲ)由已知得, ………………10分 令,‎ 则 ‎ ………………………………12分 令,则 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增 故当时,,即 ……………………………………13分 从而,,所以,‎ 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在,使,所以成立. ………………………………………………………14分
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