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文档介绍
2014龙岩3月份质检文数试卷(2)
福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文 科 数 学 全卷满分150分,考试时间120分钟. 参考公式: 样本数据的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中为底面面积,为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 , 其中为底面面积,为高 其中为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合,,则 A. B. C. D. 2.复数(是虚数单位),则的值是 A. B.1 C. D. 3.已知为第二象限角,,则的值为 A. B. C. D. 开 始 输出 结 束 是 否 (第4题图) 4.如右图是一个算法的程序框图,则输出的结果为 A. B. C. D. 5.高三(3)班共有学生56人,现根据座号,用系统抽 样的方法,抽取一个容量为4的样本.已知3号、31 号、45号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的 座号是 A.15 B.16 C. 17 D. 18 6.若函数,则函数的零点个数是 A. B. C. D. 7.已知变量、满足约束条件,则的最小值为 A.0 B. C. D. 8.在△中,“”是“△为钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若双曲线的渐近线方程式,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 10.向量,,则的最小值是 A. B. C. D. 11.函数的图象大致为 A B C D 12.已知,在区间上任取三个数,均存在以 为边长的三角形,则的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷(非选择题 共90分) 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置上) 13.圆的圆心到抛物线的准线的距离为 . 14.已知圆台的母线长为,俯视图是半径分别为和的同心圆,则其侧视图的面积为 . 15.在区间上随机取两个数和,则关于的方程有实根的概率为 . 16.在计算机语言中,有一种函数叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示不超过的最大整数,如,,已知,令,且,则 . 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在偶函数的图象上. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若,求数列的前项和. 18.(本小题满分12分) (第18题图) 如图,在直三棱柱中,,,、分别是棱、的中点,在棱上,且. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求三棱锥的体积. 19.(本小题满分12分) 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况,对某班名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图: 组别 锻炼次数 频数(人) 频率 1 2 0.04 2 11 0.22 3 16 4 15 0.30 5 6 2 0.04 合计 1.00 (Ⅰ)求频率分布表中、及频率分布直方图中的值; (Ⅱ)求参加锻炼次数的众数(直接写出答案,不要求计算过程); (Ⅲ)从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人,求至少一人参加锻炼的次数在区间内的概率. 20.(本小题满分12分) 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (Ⅰ)求的值及图象的对称中心; (Ⅱ)在中,若,且,求面积的最大值. 21.(本小题满分12分) 设椭圆的离心率为,过点任作一条弦交椭圆于、两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设为直线上任意一点,分别为直线的斜率.是否存在实数,使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. (第21题图) 22.(本小题满分14分) 已知函数. (Ⅰ)当时,求在点处的切线方程; (Ⅱ)当时,讨论的单调性; (Ⅲ)设,在函数的图象上取两定点,,设直线的斜率为,证明:存在,使成立. 福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查 文科数学答案 一、选择题:1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD 二、填空题: 13. 14. 15. 16. 三、解答题:(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分) 考查意图:本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法,考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等. 解:(Ⅰ)∵函数是偶函数,∴………………………………………2分 ∴ ∵点在函数的图象上,∴……………………………………3分 当时,………………………………………4分 当时,也符合上式 ………………………………………………………5分 所以 ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 所以………………………12分 18.(本小题满分12分) 考查意图:本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法.满分12分. (Ⅰ)证明:∵在直三棱柱中,平面 ∴,即……………………………………………………………2分 又∵,,∴平面…………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ∵,,∴ ∵、分别是棱、的中点,, ∴,………………………………………………8分 又∵平面,∴ ∴三棱锥的体积为……………………………………………………12分 19.(本小题满分12分) 考查意图:本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识,考查运算求解能力、推理能力,考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法.满分12分. 解:(I) ……………………………………………………………1分 又∵ ……………………………………………………………3分 ∴ ……………………………………………………………4分 (II)众数为12 ……………………………………………………………6分 (III)参加次数不少于18次的学生共有:人 设在内的4人为:A、B、C、D,在内的2人为、,在这6人中 任取2人共有:AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种, 8分 其中至少一人参加锻炼的次数在区间内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种. ……………………………………………………………10分 答:所求的概率为 ……………………………………………………………12分 20. (本小题满分12分) 考查意图:本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法.满分12分. (Ⅰ)解:依题意,的周期为, ………………………………………………1分 则 ………………………………………………………………………………2分 ∴ 令,得 ……………………………………………………4分 ∴的对称中心为 ………………………………………………5分 (Ⅱ)(法一)在中,由,得 ……………………………………6分 由正弦定理得 ,………………7分 ∴的面积为 ……………………………………8分 ……11分 ∵,∴,∴当时, ∴的面积的最大值为.…………………………………………12分 (法二)在中,由,得 ……………………………………6分 由余弦定理得,……………………………………7分 ∴……………………………………………………………………8分 ∵(当且仅当时,等号成立) ∴,∴…………………………………………………………10分 ∴ ……………………………11分 (当且仅当时等号成立) ∴的面积的最大值为.……………………………………………………12分 21.(本小题满分12分) 命题意图:本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法,考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想.满分12分. 解:(Ⅰ)依题意,,∴ ∴椭圆方程为.…………………………………………………………4分 (Ⅱ)(法一)∵点在直线上,∴可设点 ①当直线垂直于轴时,可求 ∴, ∴,此时…………………………………………………………6分 ②当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得 设,,则,…………………………7分 ∴ ………10分 ∴,∴………………………………………………………………11分 综上知,存在实数,使恒成立。………………………………12分 (法二)设过点的直线方程为,…………………………………………5分 代入椭圆方程,整理得……………………6分 设,,则,……………………7分 设点, 则 …………………………………………………………10分 又∵,……………………………………………………………………11分 ∴存在,使恒成立.……………………………………………12分 22.(本小题满分14分) 考查意图:本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力,考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法.满分14分. (Ⅰ)当时, ,………………………………………………1分 ∵点在函数图象上 ∴在点的切线斜率为 ……………………………………………………2分 ∴所求切线方程为. ……………………………………………………3分 (Ⅱ)∵ ∴ ……………………4分 令 当时,由,则,解得 ……………………5分 ① 当时,,恒成立,此时,函数在上单调递减; ……………………6分 ②当时, 时,,此时,函数单调递减; 时,,此时,函数单调递增; 时,,此时,函数单调递减; ……………………7分 ③当时,由于 时,,此时,函数单调递增; 时,,此时,函数单调递减; 综上所述: 当时,函数在上单调递减; 当时,函数在单调递减,在单调递增,在上单调递减; 当时,函数在单调递增,在单调递减. ……………………9分 (Ⅲ)由已知得, ………………10分 令, 则 ………………………………12分 令,则 当时,,单调递减; 当时,,单调递增 故当时,,即 ……………………………………13分 从而,,所以, 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在,使,所以成立. ………………………………………………………14分查看更多