2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§5-1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§5-1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理（试题部分）

专题五　平面向量 ‎【真题探秘】‎ ‎§5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 平面向量 的线性运 算及其几 何意义 ‎①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义 ‎2018课标全国Ⅰ,7,5分 平面向量的混合运算 ‎—‎ ‎★★☆‎ ‎2017课标全国Ⅱ,4,5分 平面向量的有关概念 垂直、平行、模的关系 平面向量 基本定理 及向量的 坐标运算 ‎①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎2018课标全国Ⅲ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件 ‎★★☆‎ ‎2016课标全国Ⅱ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件 ‎2019课标全国Ⅱ,3,5分 平面向量的坐标运算 向量的模 分析解读 从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎1.(2020届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于(　　)‎ A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2 C.e1-3e2 D.-2e1-4e2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2020届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB=(　　)‎ A.AC-AD B.2AC-2‎AD C.AD-AC D.2AD-2‎AC 答案　D　‎ ‎3.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是(　　)‎ A.λμ=1 B.λμ=-1‎ C.λ-μ=1 D.λ+μ=2‎ 答案　A　‎ ‎4.(2019广东普宁一中月考,9)在△OAB中,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB,则‎1‎λ+‎1‎μ=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎2‎‎9‎ D.‎‎9‎‎2‎ 答案　D　‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2020届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=(　　)‎ A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2)‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量AP=λDB+μAD,则λ+μ的最大值为　　　　. ‎ 答案　2‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　向量共线问题的求解方法 ‎1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=(　　)‎ A.1 B.2 C.2‎2‎ D.‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.设a,b是不共线的两个非零向量.‎ ‎(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;‎ ‎(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;‎ ‎(3)设OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:αm+βn=1.‎ 答案　(1)证明:∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,‎ ‎∴AB与BC共线,且有公共点B,‎ ‎∴A、B、C三点共线.‎ ‎(2)∵8a+kb与ka+2b共线,‎ ‎∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ)b=0.‎ ‎∵a与b为不共线的非零向量,‎ ‎∴‎8-λk=0,‎k-2λ=0‎⇒8=2λ2⇒λ=±2.‎ ‎∴k=2λ=±4.‎ ‎(3)证法一:∵M、N、P三点共线,‎ ‎∴存在实数μ,使得MP=μPN,‎ ‎∴OP=OM‎+μON‎1+μ=m‎1+μa+μn‎1+μb.‎ ‎∵a,b为不共线的非零向量,OP=αa+βb,‎ ‎∴‎α=m‎1+μ,‎β=μn‎1+μ.‎ ‎∴αm+βn=‎1‎‎1+μ+μ‎1+μ=1.‎ 证法二:∵M、N、P三点共线,‎ ‎∴OP=xOM+yON,且x+y=1.‎ 由已知可得,xma+ynb=αa+βb,‎ ‎∴x=αm,y=βn,‎ ‎∴αm+βn=1.‎ 方法2　利用平面向量基本定理解决问题的方法 ‎1.(2020届福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,则AF=(　　)‎ A.‎1‎‎4‎a+‎1‎‎2‎b B.‎1‎‎2‎a+‎1‎‎4‎b C.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b D.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b 答案　C　‎ ‎2.(2019河北衡水中学二调,14)如图,已知平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2‎3‎,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎3.(2019陕西彬州第一次教学质量监测,15)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别交AB,AC两边于M,N两点,且AM=xAB,AN=yAC,则3x+y的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎4+2‎‎3‎‎3‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎1.(2018课标全国Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎4‎AC B.‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC C.‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎4‎AC D.‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC 答案　A　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)‎ A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|‎ 答案　A　‎ 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=(　　)‎ A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019课标全国Ⅱ,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.5‎2‎ D.50‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. ‎ 答案　-6‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ 答案　B　‎ ‎3.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　. ‎ 答案　-3‎ C组　教师专用题组 考点一　平面向量的线性运算及其几何意义 ‎1.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)‎ A.AD B.‎1‎‎2‎AD C.BC D.‎‎1‎‎2‎BC 答案　A　‎ 答案　D 考点二　平面向量基本定理及向量的坐标运算 ‎1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎ B.-‎5‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2013广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:‎ ‎①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;‎ ‎②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;‎ ‎③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;‎ ‎④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.‎ 上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. ‎ 答案　0;2‎‎5‎ ‎5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且OP=mAB+nAC(m,n∈R).‎ ‎(1)若m=n=‎2‎‎3‎,求|OP|;‎ ‎(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.‎ 答案　(1)∵m=n=‎2‎‎3‎,AB=(1,2),AC=(2,1),‎ ‎∴OP=‎2‎‎3‎(1,2)+‎2‎‎3‎(2,1)=(2,2),‎ ‎∴|OP|=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎.‎ ‎(2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),‎ ‎∴x=m+2n,‎y=2m+n,‎两式相减,得m-n=y-x.‎ 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:50分钟　分值:70分 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2020届辽宁本溪调研,3)已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,则EC=2AE,则向量EM=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎AC+‎1‎‎3‎AB B.‎1‎‎2‎AC+‎‎1‎‎6‎AB C.‎1‎‎6‎AC+‎1‎‎2‎AB D.‎1‎‎6‎AC+‎‎3‎‎2‎AB 答案　C　‎ ‎2.(2020届皖北第一次联考,5)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数λ满足AB+AC+λOA=0,则λ的值为(　　)‎ A.3 B.‎3‎‎2‎ C.-2 D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使a‎|a|‎=b‎|b|‎成立的充分条件是(　　)‎ A.a∥b B.a=2b C.a∥b且|a|=|b| D.a=-b 答案　B　‎ ‎4.(2020届福建泉州调研,5)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为(　　)‎ A.‎-‎9‎‎5‎,-‎‎7‎‎5‎ B.‎9‎‎2‎‎,-‎‎7‎‎5‎ C.‎9‎‎5‎‎,‎‎7‎‎5‎ D.‎‎-‎9‎‎2‎,-‎‎7‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中等六校第一次联考,9)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB、AD上的点,且AM=‎4‎‎5‎AB,连接AC、MN交于P点,若AP=‎4‎‎11‎AC,则点N在AD上的位置为(　　)‎ A.AD的中点 B.AD上靠近点D的三等分点 C.AD上靠近点D的四等分点 D.AD上靠近点D的五等分点 答案　B　‎ ‎6.(2019广东江门一模,7)△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,则CD=(　　)‎ A.‎4‎‎7‎CA+‎3‎‎7‎CB B.‎3‎‎7‎CA+‎‎4‎‎7‎CB C.‎16‎‎25‎CA+‎9‎‎25‎CB D.‎9‎‎25‎CA+‎‎16‎‎25‎CB 答案　C　‎ ‎7.(2020届广西柳州二中月考,10)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎1‎‎2‎ B.‎0,‎‎1‎‎3‎ C.‎-‎1‎‎2‎,0‎ D.‎‎-‎1‎‎3‎,0‎ 答案　D　‎ ‎8.(2020届宁夏银川一中第一次月考,11)设O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(　　)‎ A.3 B.‎5‎‎3‎ C.2 D.‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎9.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP=OA+λAB‎|AB|cosB+AC‎|AC|cosC,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹经过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎10.(2019陕西汉中十二校联考,13)已知P为△ABC所在平面内一点,且满足AP=λ(AB+AC),BP=(1-2μ)BC(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎4‎ ‎11.(2019四川成都一诊,16)已知G为△ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若AP=‎3‎‎5‎AB,则△ABC与△APQ的面积之比为　　　　. ‎ 答案　‎‎20‎‎9‎ 三、解答题(共15分)‎ ‎12.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=‎1‎‎3‎MA+‎2‎‎3‎MB.‎ ‎(1)求证:A,B,C三点共线,并求‎|BA|‎‎|BC|‎的值;‎ ‎(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,x∈(0,π),且函数f(x)=OA·OM+‎2m-‎‎2‎‎3‎·|AB|的最小值为‎1‎‎2‎,求实数m的值.‎ 答案　(1)∵MC=‎1‎‎3‎MA+‎2‎‎3‎MB,‎ ‎∴MC-MB=‎1‎‎3‎(MA-MB),‎ ‎∴BC=‎1‎‎3‎BA.又∵BC,BA有公共点B,∴A,B,C三点共线.‎ ‎∵BC=‎1‎‎3‎BA,∴‎|BA|‎‎|BC|‎=3.‎ ‎(2)∵A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,O(0,0),∴OA=(1,sin x),OM=‎1+‎2‎‎3‎sinx,sinx,‎ ‎∴OA·OM=1+‎2‎‎3‎sin x+sin2x,又AB=(sin x,0),x∈(0,π),∴|AB|=sin x,‎ ‎∴f(x)=OA·OM+‎2m-‎‎2‎‎3‎·|AB|=sin2x+2msin x+1.‎ 设t=sin x.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],‎ ‎∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.‎ ‎①当-m≤0,即m≥0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;‎ ‎②当0<-m≤1,即-1≤m<0时,当t=-m时,ymin=1-m2=‎1‎‎2‎,∴m=-‎2‎‎2‎m=‎2‎‎2‎舍去;‎ ‎③当-m>1,即m<-1时,当t=1时,ymin=2+2m=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴m=-‎3‎‎4‎,此时m>-1,不合题意.‎ 综上可知,m=-‎2‎‎2‎.‎