【数学】浙江省湖州中学2021届高三上学期第二次质检试题

【数学】浙江省湖州中学2021届高三上学期第二次质检试题

浙江省湖州中学 2021 届高三上学期第二次质检试题 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1.若集合  0,1, 2A  ，   2lg 0B x x  ，则 A B （ ） A. 0,1, 2 B. 1,0,1,2 C. 1 D. 0 2.双曲线 2 2 1 4 3 y x   的焦点坐标是（ ） A.  1,0 B.  7,0 C.  0, 1 D.  0, 7 3.已知 i为虚数单位，且  3 1z i i   ，则 z （ ） A. 1 2 5 5 i B. 1 2 5 5 i C. 2 1 5 5 i D. 2 1 5 5 i 4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 （ ） A. 3 B. 3 6 C. 3 3 D. 2 3 3 5.若 4sin 6 5 x      ，则 sin 2 6 x     的值是（ ） A. 24 25 B. 24 25  C. 7 25 D. 7 25  6.若 xR ，则“ 2a  ”是“函数  f x x a  在区间 1,  上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.把函数 2sin 2y x 的图象向左平移 8  单位后得到函数  y g x 的图象，再把函数  y g x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），则所得函数图象 的一条对称轴方程为（ ） A. 16 x   B. 3 16 x   C. 4 x   D. 3 8 x   8.已知数列 na 满足 2 1 2 3 2nna a a a  ，且对任意 *Nn 都有 1 2 3 1 1 1 1 n t a a a a      ， 则实数 t的取值范围是（ ） A. 1 , 3      B. 1 , 3    C. 2 , 3      D. 2 , 3    9.已知正数 a，b 满足 1 2 3 a b   ，则    1 2a b  的最小值是（ ） A. 16 3 B. 50 9 C. 49 9 D. 6 10.已知数列 na 满足 1 1a  ，  1ln 1n na a   .若 1 1n na a   恒成立，则实数的最大 值是（ ） （选项中 e为自然对数的底数，大约为 2.71828 ） A. 2 1e  B. 2 1e  C. e D. e 二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分 11.已知函数   2 3 sin 2 6 xf x        ，则  f x 的最小正周期是_______，其图象在区间  2, 4 上的对称中心的坐标是_______. 12.已知公差为 d 的等差数列 na 的前 n项和为 nS .若 1 0a  ， 4a ， 5a 是方程 2 1 0x mx   ，  mR 的两实数根，则当 n  _______时， nS 最大； d 的取值范围是 _______. 13.锐角 ABC△ 中，D是边 BC上一点，且 2 2AB  ， 3BC  ， AC AD . 若 3cos 5 CAD  ，则 sinC  _______， ABC△ 的面积是_______. 14.已知函数   sin 0, 0y A x A      在 , 4 3        ，上单调，其图象经过点 ,0 4       ， 且有一条对称轴为直线 4 x    ，则的最大值是_______. 15.已知 P为椭圆 2 2 1 16 4 x y   上的一个动点，过点P作圆  2 21 1x y   的两条切线，切 点分别是 A，B，则 AB 的最小值为_______. 16.已知平面向量 a，b  不共线，且 1a   ， 1a b   ，记b  与 2a b  的夹角是 ，则 最 大时， a b   _______. 17.已知数列 na 各项都是正数，且 2 1 1n n na a a   ，若 na 是递增数列，则 1a 的取值范围 是_______. 若 1 2 3 a  ，   11 1 n n n b a    ，且 1 2 3 2020 1k b b b b k      ，则整数 k  _______. 三、解答题：5 小题，共 74 分 18.（本题满分 14 分） 在锐角 ABC△ 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b ，c .已知 3b  ，sin sin 2 3A a B  . （Ⅰ）求角 A的值； （Ⅱ）求函数    2 2cos cos 0, 2 f x x A x x           ，的值域. 19.（本题满分 15 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形，AB CD∥ ， 90BAD  ， 3 6AB CD  ， PA CD .在锐角 PAD△ 中， E是边 PD上一点，且 4 4 2AD PD ED   . （Ⅰ）求证：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）若 AC与平面 PCD所成角的正弦值是 6 3 ，求 PA的长. 20.（本题满分 15 分） 已知 nS 是正项数列 na 的前 n项和， 1 1a  ，  * 1 , 2n n na S S n n   N . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）证明： 1 2 3 1 1 1 1 3 2 3 2na a a na      . 21.（本题满分 15 分） 如图，抛物线 2: 4E x y ，其中 AB，CD是过抛物线焦点 F 的两条弦，且 AB CD ， 记 ACF△ ， BDF△ 的面积分别为 1S ， 2S . （Ⅰ）当直线 AB，CD关于 y轴对称时，求 1S 的值； （Ⅱ）求 1 2S S 的最小值. 22.（本题满分 15 分） 设函数      22ln 2 1f x x x    ，    1g x k x  . （Ⅰ）求函数  f x 的单调区间； （Ⅱ）当 2k  时，求证：对于任意的  1,x   ，均有    f x g x ； （Ⅲ）若存在 0 1x   ，使得当  01,x x  时，恒有    f x g x ，试求实数 k 的取值范 围 【参考答案】 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B C D B A D B D 二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分 11.（1） 4 ；（2） 7 ,0 3       . 12.（1） 4 ；（2）  , 2  . 13.（1） 2 5 5 ；（2）3 . 14.3. 15. 4 2 3 . 16. 3 . 17.（1）  0,2 ；2 5 18.解（I）由正弦定理得： sin sin 3sina B b A A  ，所以 3sin 2 A  ， 又 ABC△ 为锐角三角形，所以 3 A   ； （Ⅱ）   2 2 21 cos 2 1 cos 23cos cos 3 2 2 x xf x x x                  1 2 3 1 3 3cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 2 3 2 2 2 2 3 x x x x x                          因为 0, 2 x      ，所以 22 , 3 3 3 x         ， 3sin 2 ,1 3 2 x             ， 则   3 3, 4 2 f x        . 19.解（I）连接BD，交 AC于 F ，连接EF， 因为 ~AFB CFD△ △ ，所以 1 3 DF CD FB AD   ， 又 1 3 DE EP  ，所以 DE DF EP FB  ，于是EF PB∥ ， 而EF 平面 AEC，PB 平面 AEC，所以PB∥平面 AEC； （Ⅱ）方法一：由已知得：CD AD ， PA CD ， AD CD D  ， 所以CD 平面 PAD，过 AH PD ，垂足为H，连接CH ， 于是 AH 平面 PCD， 所以 ACH 为 AC 与平面 PCD所成的角， 6sin 3 AHACH AC    ，而 2 2 6AC AD CD   ，所以 2 6AH  ， 2 2 2 2DH AD AH   ， 2 2PH DP DH   ， 所以 2 2 24 8 4 2PA AH PH     . 方法二：空间向量 建立空间直角坐标系，如图所示，  0, 0, 0A ，  6, 0, 0B ，  0,4 2,0D ，  2, 4 2,0C ， 设    , , 0P a b c c  ，  , ,AP a b c  ，  2,0,0DC   因为 PA CD ，所以 0a  ，则  0, ,P b c ，  0, 2,DP b c   ，  2 24 2 4 2 32DP b c      ①，  2,4 2,0AC   ，设平面 PCD的一个法向量为  , ,n x y z  ，  0 2 0 2 00 n DP b y cz xn DC               ， 取 y c ，则  0, , 2n c b   ，  2 2 4 2 4 2 6sin cos , 6 36 4 26 2 cAC n c cAC n AC n b c                ， 解得 2 6c  ，将其代入①得  2 4 2 8b  ， 2 2b  2 2 8 24 4 2AP b c     . 20.解（Ⅰ）当 2n  时， n n na S S  ， 所以 1 1n n n n na S S S S     ，即 1 1n nS S   所以数列 na 是等差数列，其中首项为 1，公差为 1， 于是 nS n ， 2 nS n ， 1 2 1n n na S S n    （ 1n  时也符合） （Ⅱ）      1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1n n na n n n n n n           所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 31 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2na a a na n n n                                 . 方法二：数学归纳法 直接证明是证不出来的，需要添加项，比如证明： 1 1 3 1 2 1 n k kka n    （添项不唯一）， 01 当 1n  时， 1LHS  ， 1RHS  ，成立； 02 假设当  1n k k  时， 1 1 3 1 2 1 k i iia k    ， 那么当 1n k  时，       1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 k k i ii iia ia k k k k k               ， 只要证明：     3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 2 2k k k k         成立 等价于     1 1 1 1 2 1 1 2k k k k       ，等价于 1 1 2 1 2k k    等价于 2 2 1k k   ，等价于1 k （显然成立） 所以原命题成立，于是 1 1 3 1 3 2 1 2 n k kka n     . 21.解（Ⅰ） 方法一：传统解析法 不妨设 AB的斜率为负数，其中 A在第二象限， 当直线 AB，CD关于 y轴对称时，则 AB，CD的斜率分别为-1、1， 直线 AB的方程 1y x   ， 联立方程 2 24 4 4 0 1 x y x x y x          ， 2 2 2Ax    ， 2 2 2Bx    ， 根据对称性，则 2 2 2Cx   ， 所以  2 2 2 2AF   、  2 2 2 2CF    ， 所以 1 1 4 2 S AF CF  ； 方法二：参数方程 设直线方程为 2 2 21 2 x t y t       ， 联立方程得： 2 2 1 1 4 2 2 4 2 8 0 2 2 4 2 t t t t t         ， 2 2 2 4t   所以 2 2 4AF   ， 4 2 2CF   ，故， 1 1 4 2 S CF AF    . （Ⅱ）方法一：点参法 易得 4A Bx x   ， 1A By y  ； 4C Dx x   ， 1C Dy y  ； 设  24 2 ,a a ，  22 ,C c c ，从而有 2 2 1,B a a      ， 2 2 1,D c c      ， 1 1 2ABk a a       ， 1 1 2CDk c c       ， 于是   2 21 1 1 4AB CDk k a c ac        ，即 2 2 2 2 4 1a c a c ac    ， 2 1 1 1AF y a    ， 2 2 1 1CF y c    所以   2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 S AF CF a c a c ac        ，同理有 2 2 2 1 2 1S a c ac    所以  2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 12 1 1 2 2S S a c ac a c ac a c ac a c ac                             2 2 2 2 1 12 4 2 8a c ac a c ac     ，当且仅当 1ac  时取等号. 方法二：极坐标 设CD的倾斜角为 0, 2          ，则 2 1 sinD    ， 2 1 sinC    ， 因为 AB CD ，于是 2 1 cosD    ， 2 1 cosC    所以        1 2 1 1 12 2 1 cos 1 sin 1 cos 1 sinA C B DS S                       2 2 4 1 sin cos 8 sin cos        （当且仅当 1sin cos 2    时取等号）. 22.解（Ⅰ）显然函数的定义域为  2,  ，      22 3 12' 2 1 2 2 x x f x x x x          ，   5 3' 0 2 2 f x x       ，   5 3' 0 2 f x x     ， 所以函数  f x 的单调增区间为 5 32, 2        ，减区间为 5 3 , 2        ； （Ⅱ）方法一：当 2k  时，             22ln 2 1 2 1 1h x f x g x x x x x          ，       3 12' 2 1 2 2 0 2 2 x x h x x x x            ， 所以  h x 在  1,  ，于是    1 0h x h   ， 即当 2k  时，求证：对于任意的  1,x   ，均有    f x g x ； 方法二：由    21ln 1 0 2 x x x x    得， 令 1x x  得：       21ln 2 1 1 1 2 x x x x       所以：    f x g x . （Ⅲ）（1）由（Ⅱ）知道，当 2k  时，    f x g x ，不合题意； （2）当 2k  时， 1x   ，则 1 0x   ，此时    2 1 1x k x   ， 于是        22ln 2 1 2 1 1x x x k x       ， 即    f x g x 恒成立，不合题意； （3）当 2k  时，记             22ln 2 1 1 1h x f x g x x x k x x          ，    22 6 2 2 ' 2 x k x k h x x         令    22 6 2 2x x k x k        ，注意  x 与  'h x 符号相同， 当  0 ,x x  时，   0x  ，  h x ， 当  01,x x  时，    1 0h x h   ，于是恒有    f x g x ， 综上所述：实数 k 的取值范围  , 2 . 方法二：由              2 2ln 2 2ln 2 1 1 1 1 x f x g x x x k x k x x              . 令 1t x  得： 构造函数         2 2 2ln 12ln 1 1' 1 0 t tt th t t h t t t         这里没有仔细写完，…… 所以  0 2k h  .