2017-2018学年广西陆川县中学高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年广西陆川县中学高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)

‎2017-2018学年广西陆川县中学高二上学期期末考试 理科数学 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.抛物线 的准线方程是(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )‎ ‎ A. B. C. D. ‎3.设变量,满足约束条件,则的取值范围为()‎ A. [2,6] B. (-∞,10] C. [2,10] D. (-∞,6]‎ ‎4.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则等于(  )‎ A. -4 B. -6 C. -8 D. -10‎ ‎5.若下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.不等式的解集是,则的值是()‎ A. B. C. 14 D. 10‎ ‎7.抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设命题:,使得,则为( )‎ A. , B. ‎ C. D. ,‎ ‎9.已知向量,,则“”是“与共线”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎10.下列有关命题的说法正确的是( )‎ A. 命题“若”的否命题为“若”‎ B. “”是“”的充要条件 C. 命题“使得”的否定是 “均有”‎ D. 命题“若,则=”的逆否命题为真命题 ‎11.已知,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知椭圆的两个焦点分别为,若椭圆上不存在点,使得是钝角,则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.观察下列不等式 ‎,‎ ‎……‎ 照此规律,第五个不等式为 .‎ ‎14.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 .‎ ‎15.若,则 .‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A为椭圆的上顶点,B是直线 AF2与椭圆的另一个交点,且的面积为,则a的值是 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)‎ 给出两个命题:命题甲:关于 的不等式 的解集为 ,命题乙:函数 为增函数.分别求出符合下列条件的实数 的范围.‎ ‎(1)甲、乙至少有一个是真命题;‎ ‎(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.‎ 18. ‎(本小题12分)‎ 已知三棱锥S-ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,(1)如图建立空间直角坐标系,写出、的坐标;‎ ‎(2)求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.‎ 19. ‎(本小题12分)‎ 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,B B1 的中点,AA1=AC=CB=‎ AB =2. ‎ ‎ (1)求证:BC1∥平面A1CD;‎ ‎(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.‎ 20. ‎(本小题12分)‎ 已知椭圆C:的离心率e=,A,B是椭圆C上两点,N(3,1)是线段AB的中点.‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)若以AB为直径的圆与直线相切,求出该椭圆方程.‎ ‎21.(本小题12分)‎ 已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)是否存在正实数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有· <0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(本小题12分)‎ 已知椭圆C: ,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),‎ ‎ P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;‎ ‎(2) 设直线不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:过定点.‎ ‎[]‎ 理科数学答案 ‎1. D 2. D3.D4.B5.C6.A7.C8.B9.A10.D11.D12.A ‎13. 14. x= -1 15. 16. 10 ‎ ‎17.(本小题10分)‎ 解析:甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,‎ 即a>或a<-1.................................................2分 乙命题为真时,2 a2-a>1,‎ 即a>1或a<-.................................................................................................4分 ‎(1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,‎ a的取值范围是...............................7分 ‎(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:‎ 甲真乙假时,<a≤1,甲假乙真时,-1≤a<-,‎ ‎∴甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为 ‎....................................10分 18. ‎(本小题12分)‎ 解析:(1)建系如图,则S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0).‎ ‎∴=(,1,0),=(,1,-3),=(0,2,-3)............6分 ‎(2)设面SBC的法向量为.‎ 则 令y=3,则z=2,x=,∴.‎ 设AB与面SBC所成的角为θ,则............12分 19. ‎(本小题满分12分)‎ 解析:(1)证明:连接AC1,交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点 ‎,连接DF,则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由AC=CB=AB,得AC⊥BC.............................4分 以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.‎ 设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),,=(1,1,0),=(0,2,1),‎ ‎.‎ 设是平面A1CD的法向量,‎ 则 可取.‎ 同理,设是平面A1CE的法向量,则可取.‎ 从而,故.‎ 即二面角D-A1C-E的正弦值为................................12分 18. ‎(本小题12分)‎ ‎ 解析:(1)离心率e=,设椭圆C:x2+3y2=a2(a>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,设直线AB的方程为y=k (x-3)+1,代入x2+3y2=a2,‎ 整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.①‎ Δ=4[a2(3k2+1)-3(3k-1)2]>0,②且,‎ 由N(3,1)是线段AB的中点,得.‎ 解得k=-1,代入②得a2>12,直线AB的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0..6分 ‎(2)圆心N(3,1)到直线的距离,.‎ 当时方程①即 ‎,解得.‎ 椭圆方程为....................................................12分 ‎21.(本小题12分)‎ ‎ 解析: (1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足: ]‎ ‎(x>0).化简得y2=4x(x>0)..................................................4分 ‎(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 设l的方程为x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0,‎ Δ=16(t2+m)>0,于是①‎ 又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔‎ ‎(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②‎ 又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-+1<0⇔‎ +y1y2-+1<0.③‎ 由①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④‎ 对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0,即3-2<m<3+2.‎ 由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-2,3+2)...........................12分 ‎22.(本小题12分)‎ ‎ 解析:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点 又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.‎ 因此 ,解得 故C的方程为................................................4分 ‎(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2,‎ 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(),(t,)则,得t=2,‎ 不符合题设.‎ 从而可设l: ,将代入得 由题设可知 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,‎ 而 由题设,故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时,,欲使l:,即,‎ 所以l过定点(2,)..................................................12分
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