甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则满足集合的个数是（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 8个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个．‎ 考点：并集及其运算．‎ ‎2.对于映射，且，则与中的元素对应的中的元素为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中映射，得到，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，，且映射，‎ 令，解得，‎ 所以与中的元素对应的中的元素为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3. 下列函数中表示同一函数的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：的定义域为R，的定义域是，故A不正确；的定义是R，的定义域是，故B不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D正确．‎ 考点：函数的定义 ‎【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式．‎ ‎4.函数的定义域是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：要使函数有意义，需满足，即，解得，所以函数的定义域是，应选D．‎ 考点：求函数的定义域．‎ ‎【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、有意义．‎ ‎5.已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，若，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数满足，所以函数是以4为周期的周期函数，‎ 则，‎ 又由函数上在上的奇函数，且，‎ 所以，即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过换元令，然后由单调递减，结合的范围可列方程解得.‎ ‎【详解】令，最大值为0，最小值为.‎ 则 当时，单调递减.‎ 所以，解得，有，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.‎ ‎7.若，当＞1时，的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为，那么当x>1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，01,c<0,因此选B ‎8.已知函数,且，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，求得，进而可求解的值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 当时，令，即，此时不成立；‎ 当时，令，解得，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎9.若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象为减函数可知，，且，可得函数的图象递减，且，从而可得结果.‎ ‎【详解】由函数的图象为减函数可知，，‎ 再由图象的平移知，的图象由向左平移可知，‎ 故函数的图象递减，且，故选B.‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎10.若函数在上的最大值为，最小值，且函数在上是增函数，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用在上的最大值为，先确定的值，再利用函数在区间 上是增函数，即可求得实数的值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当时，函数在为单调递增函数，‎ 所以，即，解得，此时最小值；‎ 当时，函数在为单调递减函数，‎ 所以，即，解得，此时最小值，‎ 又由函数在上是增函数，则，解答，‎ 综上可得，．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．‎ ‎11.函数=且),在上是增函数,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为在上是增函数,即当时,=单增,即,解得;当时,单增,即且,解得;所以,即实数的取值范围是.选C.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎12.若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（　　）‎ ‎①是常数函数中唯一的“特征函数”；‎ ‎②不是“特征函数”；‎ ‎③“特征函数”至少有一个零点；‎ ‎④是一个“特征函数”．‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，‎ 所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；‎ 对于②中，函数，‎ 则，即，‎ 当时，，‎ 当时，方程由唯一的解，‎ 所以不存在常数使得对任意实数都成立，‎ 所以函数不是“特征函数”，所以②正确．‎ 对于③中，令，可得，所以，‎ 若，显然有实数根，若，，‎ 又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，‎ 因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，‎ 所以③是正确；‎ 对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，‎ 则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，‎ 所以正确命题共有②③④．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎13.如果，则当且时，_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，令，则且，‎ 因为，所以，其中且，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.若函数的零点为，满足且，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到函数为减函数，进而求得的值，利用零点的存在定理，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数，分析可得函数为减函数，‎ 又由，，‎ 则，根据零点的存在定理，可得函数的零点在区间上，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎15.设函数,，则函数的递减区间是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,如图所示，其递减区间是．‎ ‎16.下列几个命题：‎ ‎①函数偶函数，但不是奇函数；‎ ‎②方程的有一个正实根，一个负实根，；‎ ‎③是定义在上的奇函数，当时，，则 时，‎ ‎④函数的值域是．‎ 其中正确命题的序号是_____（把所有正确命题的序号都写上）．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①中，函数既是奇函数又是偶函数，即可判定；②中，方程有一个正实根，一个负实根，得到，即可判定；③中，是定义在上的奇函数，则必有，即可判定；④中，令，原函数可化为，即可判定，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，对于①中，函数的定义域为，即，‎ 所以函数既是奇函数又是偶函数，所以不正确；‎ 对于②中，方程的有一个正实根，一个负实根，‎ 则满足且，解得，所以是正确的；‎ 对于③中，是定义在上的奇函数，则必有，‎ 而当时，，所以不正确；‎ 对于④中，令，原函数可化为，‎ 因为，所以，即原函数的值域为，所以是正确的．‎ 综上，正确命题的序号为②④．‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17.计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；‎ ‎（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，‎ 可得：．‎ ‎（2）根据对数的运算性质，‎ 可得 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎18.己知集合，‎ ‎（1）若为非空集合，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若，那么，求解；‎ ‎（2）若，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即或，求解．‎ 试题解析：解：（1）作出数轴可知若则有 ‎，解得：‎ 可得实数的取值范围为 ‎（2）则有如下三种情况：‎ ‎1），即，解得：；‎ ‎2），，则有解得：无解；‎ ‎3），，则有解得：．‎ 综上可得时实数的取值范围为 考点：集合的关系运算 ‎【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，或是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集．‎ ‎19.已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数 ‎（1）求的解析式 ‎（2）若，求的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由幂函数的性质可得，，再由在上为增函数，则‎2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.‎ ‎(2)由为R上的增函数，可得，求出a的范围，然后根据单调递增的特性，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为是幂函数，所以 即或 ‎ 因为在上是增函数，所以‎2m+1＞0，即m＞-，则m=1‎ 故=.‎ ‎（2）因为为R上的增函数. ‎ 所以， 解得. 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题.‎ ‎20.函数f（x）=是定义在R上奇函数，且f（1）=1．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明f（x）在（+∞）的单调性．‎ ‎【答案】（1）a=5，b=0； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．‎ ‎【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，‎ 则f（-1）=-f（1）=-1，‎ 则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.‎ ‎（2）由（1）的结论，f（x）=，‎ 设＜x1＜x2，‎ f（x1）-f（x2）=-=，‎ 又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，‎ 则f（x1）-f（x2）＞0，‎ 则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．‎ ‎21.已知函数 ．‎ ‎（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）不存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题意得到关于实数的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数的值，得到答案．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数且，设，‎ 因为当时，函数恒有意义，即对任意时恒成立，‎ 又由，可得函数在上为单调递减函数，‎ 则满足，解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎（2）不存在，理由如下：‎ 假设存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为，‎ 可得，即，即，解得，即，‎ 又由当时，，此时函数为意义，‎ 所以这样的实数不存在．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．‎ ‎22.已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求，利用奇函数用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k的取值范围；（3）分析函数的单调性，转化为关于t恒成立问题，利用分离参数法求k的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设,则，‎ a=3, ，　‎ ‎，‎ 因为是奇函数，所以，即 , ‎ ‎∴，又，‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，‎ 从而，即， ‎ ‎∴，　∴，‎ ‎∴k的取值范围为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴在R上减函数（不证明不扣分）． ‎ 又因是奇函数，‎ 所以=， ‎ 因为减函数，由上式得：,‎ 即对一切，有恒成立，‎ 令m(x)=,,易知m(x)在上递增，所以，‎ ‎∴，即实数的取值范围为． ‎ 点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．‎