辽宁省岫岩满族自治县第二高级中学2020届高三下学期冲刺练习数学（理）试题

辽宁省岫岩满族自治县第二高级中学2020届高三下学期冲刺练习数学（理）试题

高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数，则的共轭复数所对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．“”是“”成立的必要不充分条件 C．对于命题，使得，则，均有 D．若为真命题，则与至少有一个为真命题 ‎4.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了如图的折线图．‎ 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．最低气温与最高气温为正相关 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D．最低气温低于的月份有4个 ‎ ‎5..《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 ‎ ‎6.执行下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的的值为（ ）‎ A．3 B．4 C. 5 D．6‎ ‎7.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则； ②若，，则；‎ ‎③若，且，，则； ④若，且，则.‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C. ③④ D．①④‎ ‎9.已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．-4 B． C. -2 D．-1‎ ‎10.已知中，，，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知双曲线的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若的展开式的常数项是 ．‎ ‎14.直线与圆相交于两点，若，则 ．‎ ‎15.已知，，与的夹角为，则____________．‎ ‎16.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足且，则 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.(本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）已知各项都为正数的等比数列满足是3与2的等差中项，且 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和 ‎18.(本小题满分12分）‎ 为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.‎ ‎（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；‎ ‎（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ 如图，已知，，，平面平面，，，为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.(本小题满分12分）‎ 已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.‎ ‎21.(本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）射线（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分）‎ 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数，当时，函数的最小值为，且（），求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:AADDB 6-10: BDDCA 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 5 14. 15. 16.-3‎ 三、解答题 ‎17.解:(I)设等比数列的公比为q,根据题意知,且, 计算得出,故,  (Ⅱ)=， ,  ,  故数列的前n项和为 ‎18.（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差是 ‎（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90分”为事件，则 随机变量的所有可能取值为，，且 所以，‎ 所以的分布列为 ‎∴‎ ‎（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于90分”，事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，‎ 所以 ‎ 根据条件概率公式，得.‎ 所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：设中点为，连 ‎∵为中点，∴‎ 又由题意， ∴，且 ‎∴四边形为平等四边形，∴‎ ‎∵ ∴，又∵平面平面，平面平面 ‎，平面，∴平面.‎ 又平面，∴，∴又∴∴‎ ‎∵，平面，平面，∴平面.‎ ‎（Ⅱ）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，设平面的法向量，则∴取，‎ ‎∴‎ 设直线与平面所成角为，则，∴‎ 即直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意得解得 ‎∴椭圆的方程是 ‎（Ⅱ）设 设线段中点为 ∵ ∴中点，直线斜率为 由是以为底边的等腰三角形∴‎ ‎∴直线的垂直平分线方程为 令 得 ∵ ∴‎ 由 ∴四边形面积 当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.‎ ‎21.解　(1)①在区间(0，＋∞)上，f′(x)＝a－＝，‎ 当a≤0时，f′(x)＜0恒成立，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减；‎ 当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝，在区间上，‎ f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，在区间上，‎ f′(x)＞0，函数f(x)单调递增.‎ 综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；‎ 当a＞0时，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎②因为函数f(x)在x＝1处取得极值，‎ 所以f′(1)＝0，解得a＝1，经检验可知满足题意.‎ 由已知f(x)≥bx－2，即x－1－ln x≥bx－2，‎ 即1＋－≥b对∀x∈(0，＋∞)恒成立，‎ 令g(x)＝1＋－，‎ 则g′(x)＝－－＝，‎ 易得g(x)在(0，e2]上单调递减，在[e2，＋∞)上单调递增，‎ 所以g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是 由消参数得 ‎∴曲线的极坐标方程是 ‎（Ⅱ）将分别带入，得，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴ ∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎23.解：（Ⅰ）当时，化为 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 当时，不等式化为，解得 综上不等式的解集是 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当且仅当时，即时，等号成立 所以，函数的最小值 所以，‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值是