2018-2019学年广东省肇庆联盟校高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）
广东省肇庆联盟校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 下列关于圆锥的说法中，错误的是( )
A. 圆锥的轴截面是等腰三角形
B. 圆锥的侧面展开图是扇形
C. 以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台
【答案】C
【解析】解：在A中，由圆锥的性质得圆锥的轴截面是等腰三角形，故A正确；
在B中，由圆锥的性质得圆锥的侧面展开图是扇形，故B正确；
在C中，以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，
以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故C错误；
在D中，由圆锥的性质得用平行于圆锥底面的平面截圆锥可以得到圆台，故D正确．
故选：C．
以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体．
本题考查命题真假的判断，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知命题p：∀n∈N*，n2>12n-1，则命题p的否定￢p为( )
A. ∀n∈N*，n2≤12n-1 B. ∀n∈N*，n2<12n-l
C. ∃n∈N*，n2≤12n-1 D. ∃n∈N*，n2<12n-1
【答案】C
【解析】解：由全称命题的否定为特称命题可得
命题p：∀n∈N*，n2>12n-1，则命题p的否定￢p为∃n∈N*，n2≤12n-1，
故选：C．
由全称命题的否定为特称命题，注意不等号的改变．
本题考查命题的否定，考查转化思想，属于基础题．
3. 若直线2x+y+1=0与直线ax+2y-3=0平行，则实数a的值为( )
A. -2 B. -4 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】解：直线2x+y+1=0与直线ax+2y-3=0平行，
∴a2=21，解得a=4；
∴实数a的值为4．
故选：D．
根据两直线平行，对应系数成比例，列出方程求得a的值．
本题考查了两直线平行的应用问题，是基础题．
1. 已知空间向量m=(1,3，x)，n=(x2,-1,2)，则“x=1”是“m⊥n”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：空间向量m=(1,3，x)，n=(x2,-1,2)，
当m⊥n时，有1×x2+3×(-1)+2x=0，
解得x=-3或x=1，
又“x=1”是“x=-3或x=1”的充分不必要条件，
所以“x=1”是“m⊥n”的充分不必要条件，
故选：A．
若a，b为空间向量，且a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，若a⊥b，则a⋅b=0，即x1x2+y1y2+z1z2=0
本题中当m⊥n时，由向量垂直的充要条件求得1×x2+3×(-1)+2x=0，
解得x=-3或x=1，
即“m⊥n”的充要条件为：“x=-3或x=1”，
又“x=1”是“x=-3或x=1”的充分不必要条件，
所以“x=1”是“m⊥n”的充分不必要条件，
本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及向量垂直的充要条件，属简单题
2. 若方程x2k-5+y2k-7=1表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围是( )
A. (-∞,5)∪(7,+) B. (6,7) C. (5,7) D. (5,6)∪(6,7)
【答案】C
【解析】解：若方程x2k-5+y2k-7=1表示的曲线为双曲线，则(k-5)(k-7)<0，解得5
0)的上一点，∠F1PF2=2π3，(F1、F2为左、右焦点)，则△F1PF2的面积等于( )
A. 3a2 B. 33a2 C. 33 D. 233
【答案】C
【解析】解：∵双曲线方程x2a2-y2=1(a>0)，
∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，
则由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，
∵，∠F1PF2=2π3，
∴4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|⋅|PF2|cos2π3=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|⋅|PF2|
=(|PF1|-|PF2|)2+3|PF1|⋅|PF2|，
即4c2=4a2+3|PF1|⋅|PF2|，
即3|PF1|⋅|PF2|=4c2-4a2=4b2=4，
则|PF1|⋅|PF2|=43，
∴S△F1PF2=12|PF1|⋅|PF2|sin2π3=12×43×32=33，
故选：C．
先利用双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a，利用余弦定理求出|PF1|⋅|PF2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F1PF2的面积．
本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键.，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，是中档题．
1. 已知半径为25的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,-2)，则圆心M的坐标为( )
A. (-3,6) B. (-6,3) C. (3,-6) D. (25,5)
【答案】C
【解析】解：根据题意，设要求圆M的圆心M的坐标坐标为(a,b)，圆x2+y2=5圆心为O(0,0)，半径r=5
若圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,-2)，则必有M、P、O三点共线且|OM|=35，
即b-0a-0=-2-01-0a2+b2=45，解可得b=-6a=3或b=6a=-3(舍)；
即M的坐标为(3,-6)；
故选：C．
根据题意，设M的坐标为(a,b)，由圆与圆的位置关系可得b-0a-0=-2-01-0a2+b2=45，解可得a、b的值，即可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的方程的应用，属于基础题．
2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，∠ABF=π6，则该椭圆的离心率为( )
A. 32 B. 3-1 C. 12 D. 22
【答案】B
【解析】解：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，
F1(-c,0)，F2(c,0)A(x0,y0)，B(-x0,-y0)，
∵AF⊥BF，设∠ABF=π6，
∴根据椭圆的对称性可知：四边形AF2BF1为矩形，
∴∴AF2=BF1=3x，F1F2=2x
∴x+3x=2a.F1F2=2c=2x，
∴(3+1)c=2a，
∴ca=23+1=3-1
故选：B．
根据对称性得出四边形AF2BF1为矩形，设AF1=x，则BF1=3x，运用矩形的几何性质，得出边长，
再运用定义判断得出(3+1)c=2a，即可求解离心率．
本题考察了椭圆的几何性质，定义，解直角三角形，矩形的几何性质，运用数形结合数学解决代数问题，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 直线y=3x被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为______．
【答案】23
【解析】解：由圆的方程x2+y2-4y=0可得，圆心坐标为(0,2)，半径R=2
圆心到直线y=3x的距离d=1
由半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理可得：
l=2R2-d2=23
故答案为：23
由已知中直线与圆的方程，我们可以求出直线的一般方程，圆的圆心坐标及半径，根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出答案．
本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中直线与圆相交的弦长问题常根据半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，满足勾股定理，即l=2R2-d2进行解答．
2. 已知平面α的一个法向量为n=(-2,-1,3)，M(3,2，-1)，N(4,4，1)，其中M∈α，N∉α，则点N到平面α的距离为______．
【答案】147
【解析】解：∵平面α的一个法向量为n=(-2,-1,3)，M(3,2，-1)，N(4,4，1)，
其中M∈α，N∉α，
∴MN=(1,2，2)，
∴点N到平面α的距离为d=|MN⋅n||n|=214=147．
故答案为：147．
平面α的一个法向量为n=(-2,-1,3)，MN=(1,2，2)，点N到平面α的距离为d=|MN⋅n||n|，由此能求出结果．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
1. 若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为______．
【答案】5
【解析】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为(c,0)，
渐近线方程为bx-ay=0，
焦点到渐近线的距离为d=bcb2+a2=bcc=b=2a，
则e=ca=1+b2a2=1+4=5．
故答案为：5．
求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b=2a，再由离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
2. 已知直线l：y=x-3与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，则该抛物线的方程为______．
【答案】y2=(83-12)x
【解析】解：抛物线y2=2px的焦点F(p2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y2=2pxy=x-3，消x可得y2-2py-6p=0，
∴y1+y2=2p，y1y2=-6p，
∴x1x2=(y1+3)(y2+3)=y1y2+3(y1+y2)+9=9，
x1+x2=y1+y2+6=2p+6
∵以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，
∴FA⊥FB，即(x1-p2)⋅(x2-p2)+y1y2=0，
化简的x1x2-p2(x1+x2)+p24+y1y2=0，
即9-p(p+3)+p24-6p=0，
即p2+12p-12=0
解得p=43-6或-43-6(舍去)
∴抛物线的方程为y2=(83-12)x，
故答案为：y2=(83-12)x，
先联立方程组，根据韦达定理，结合以AB为直径的圆经过抛物线的焦点F，可得
x1x2-p2(x1+x2)+p24+y1y2=0，即可求出p的值．
本题考查了抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．
【答案】证明：(1)∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC．
(2)∵AB//DC，DC⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC．
【解析】(1)推导出PC⊥DC，DC⊥AC，由此能证明DC⊥平面PAC．
(2)由AB//DC，DC⊥平面PAC，得AB⊥平面PAC，由此能证明平面PAB⊥平面PAC．
本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
1. 已知命题p：“椭圆x2a+y25=1的焦点在x轴上”；命题q：“函数y=log2(x2+2x+a)的定义域为R”．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)椭圆x2a+y25=1的焦点在x轴上”则a>5，
即实数a的取值范围是(5,+∞)．
(2)若函数y=log2(x2+2x+a)的定义域为R，
则x2+2x+a>0恒成立，即判别式△=4-4a<0，得a>1，即q：a>1，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q一个为真命题一个为假命题，
若p真q假，则a≤1a>5，此时a无解，
若p假q真，则a>1a≤5，得10)，
可得5=p2，即p=10，
可得抛物线的方程为y2=-20x；
(2)椭圆x220+y236=1的焦点为(0,±4)，
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a,b>0)，
可得a2+b2=16，
y=±3x为渐近线，可得ab=3，
解得a=23，b=2，
即有双曲线的方程为y212-x24=1．
【解析】(1)求得双曲线的焦点，设抛物线的方程为y2=-2px(p>0)，由题意可得p=10，即可得到所求抛物线方程；
(2)求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a,b>0)，结合积极性方程，可得a，b的方程组，即可得到所求双曲线方程．
本题考查圆锥曲线方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
1. 在多面体ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B是正方形，四边形A1ACC1是直角梯形，AA1⊥AC，AA1//CC1，AA1=AC=2CC1，BA⊥AC，D，F分别为A1B1，BC的中点．
(1)求证：BA⊥DF；
(2)求DF与平面A1BC1所成角的正弦值．
【答案】证明：(1)取E为AC的中点，∵F为BC的中点，
∴EF-//12AB，
∵四边形AA1B1B是正方形，∴AA1⊥BA，A1B1-//AB，
∵D是A1B1的中点，∴DA1-//12AB，
∴EF-//DA，∴四边形DA1EF是平行四边形，
∴DF//A1E，
∵BA⊥AC，AA1∩AC=A，∴BA⊥平面A1ACC1，
∴BA⊥A1E，∴BA⊥DF．
解：(2)以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=2，则B(2,0，0)，B1(2,0，2)，C(0,2，0)，
1(0,2，1)，A1(0,0，2)，D(1,0，2)，F(1,1，0)，
∴DF=(0,1，-2)，BA1=(-2,0，2)，C1A1=(0,-2,1)，
设平面A1BC1的法向量n=(x,y，z)，
则n⋅BA1=-2x+2z=0n⋅C1A1=-2y+z=0，取y=1，得n=(2,1，2)，
设DF与平面A1BC1所成角为θ，
则sinθ=|DF⋅n||DF|⋅|n|=35⋅9=55．
∴DF与平面A1BC1所成角的正弦值为55．
【解析】(1)取E为AC的中点，推导出四边形DA1EF是平行四边形，从而DF//A1E，再由BA⊥AC，得BA⊥平面A1ACC1，从而BA⊥A1E，由此能证明BA⊥DF．
(2)以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DF与平面A1BC1所成角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
1. 已知圆心在直线y=2x上的圆C与直线l：4x+3y+5=0相切于点(x0,15).
(1)求x0的值和圆C的标准方程；
(2)若经过点(-8,2)的直线m与圆C交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，且x1x2≠0，求证：1x1+1x2为定值．
【答案】解：(1)由4x0+35+5=0，得x0=-75，
过点(x0,15)且与l垂直的直线方程为：y-15=34(x+75).
此直线与直线y=2x的交点为C(1,2).，
设圆C的半径为r，则r2=(-75-1)2+(15-2)2=9，
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9．
(2)当直线m的斜率不存在时，显然直线x=-8与圆C没有公共点，不合题意；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k(x+8)并代入圆C的方程整理得：
(1+k2)x2+(16k2-2)x+64k2-8=0，
则x1+x2=-16k2-21+k2，x1x2=64k2-81+k2=4(16k2-2)1+k2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=-14．
【解析】(1)将切点坐标代入到直线l可得x0，然后联立直线y=2x与过切点且与切线垂直的直线可解得圆心C的坐标，从而可得半径r和圆C的方程；
(2)设出直线m并代入圆C，再利用韦达定理可得定值为-14
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
2. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，交抛物线于M，N两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若|AB|=12|MN|，求直线l的方程．
【答案】解：(1)根据题意，得F(1,0)，∴c=1，
又e=ca=12，∴a=2，∴b2=a2-c2=3，
∴椭圆的方程为：x24+y23=1；
(2)显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，
联立直线l与椭圆方程3x2+4y2=12x=my+1，化简得(3m2+4)y2+6my-9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则△>0恒成立，
由韦达定理，得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2⋅(y1+y2)2-4y1y2=1+m2⋅12m2+13m2+4，
设M(x3,y3)，N(x4,y4)，
由y2=4xx=my+1⇒y2-4my-4=0，y3+y4=4m，y3y4=-4
|MN|=1+m2|y3-y4|=1+m2⋅16(m2+1)，
∵|AB|=12|MN|，∴12m2+13m2+4=4m2+1×12，解得m=±63
．
∴直线l的方程为：x=±63y+1．
【解析】(1)根据题意得F(1,0)，即c=1，再通过e=12及c2=a2-b2计算可得椭圆的方程；
(2)利用弦长公式，求得AB，MN，由|AB|=12|MN|，可得12m2+13m2+4=4m2+1×12，解得m即可．
考查抛物线、椭圆的几何性质，以及直线和椭圆、抛物线弦长的问题，属于中档题．
