河北省衡水中学2020届高三下学期三调数学（理）试题

河北省衡水中学2020届高三下学期三调数学（理）试题

衡水中学2020届高三年级下学期三调考试 数学（理科）试卷 一.选择题（共12小题，每题5分，共计60分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由，解得，所以，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知是虚数单位，，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算求得，再求的模.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.‎ ‎3.下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是（ ）‎ A. 2014年以来，我国国内生产总值逐步增长 B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳 C. 2014-2018年，国内生产总值相比上一年年增长额最大在2018年 D. 2014-2018年，我国国内生产总值年增长率的平均值为6.86%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断正误，C选项求出各年的国内生产总值相比上一年年增长额即可判断.‎ ‎【详解】2014-2018年，2017年国内生产总值相比上一年年增长了80693元，2018年国内生产总值相比上一年年增长了79555元，故C错误.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查从柱形图与折线图，考查学生观察分析能力，属于基础题.‎ ‎4.函数是定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数的单调减区间.‎ ‎【详解】解：令，由题知：‎ 在区间，为减函数，在区间，为增函数，‎ 又因为是定义在上的增函数，根据复合函数的性质，‎ 的单调减区间是.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减是解题的关键，属于中档题.‎ ‎5.设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，其中在左支上，在右支上.若，则（ ）‎ A. B. ‎8 ‎C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，再由定义即可求解 ‎【详解】由可知，.由双曲线定义可知，，，两式相加得，.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查双曲线的定义与方程，考查推理论证能力以及数形结合思想.‎ ‎6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的 ( )‎ A. 25 B. ‎45 ‎C. 60 D. 75‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，解方程得，即可得到答案.‎ ‎【详解】根据程序框图，当时，解得，‎ 此时，终止循环.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.‎ ‎7.若，且，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求出，平方可得，从而可求.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，所以有，平方可得；，‎ 因为，所以，‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用倍角公式等求值时，注意公式的多样性.‎ ‎8.在中，为边上一点，若是等边三角形，，则面积最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为定值以及为定值，判断出点的轨迹，根据圆的几何性质求得三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】由已知，，如图所示；可构造的外接圆，其中点在劣弧上运动，当运动到弧中点时，面积最大，此时为等腰三角形，其面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角形面积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）‎ A. PA，PB，PC两两垂直 B. 三棱锥P-ABC的体积为 C. D. 三棱锥P-ABC的侧面积为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.‎ ‎【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，‎ 其中D为AB的中点，底面ABC.‎ 所以三棱锥P-ABC的体积为，‎ ‎，，，‎ ‎，、不可能垂直，‎ 即不可能两两垂直，‎ ‎，.‎ 三棱锥P-ABC的侧面积为.‎ 故正确的为C.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.‎ ‎10.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析： 分别计算出函数在内的减区间，求交集可得函数在区间内的公共减区间为，则的最大值为.‎ 详解：对于函数，令，解得,‎ 当时，令，则；‎ 对于函数，令，解得，‎ 当时，令，则.‎ 易得当函数与均在区间单调递减时，‎ 的最大值为，的最小值为，‎ 所以的最大值为，‎ 故选B.‎ 点睛：（1）本题解题的核心关键在于求解函数的公共减区间，分析当取最大值，取最小值时，取得最大值；（2）求三角函数单调区间的两种方法：①代换法，就是将比较复杂的三角函数汗自变量的代数式整体当作一个角（或），利用复合函数的单调性列不等式求解，②图像法，画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.‎ ‎11.已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，有且只有一个解，因为是它的唯一解，所以方程在上无解，利用导数判断函数在上的单调性，即可求出．‎ ‎【详解】由题意知函数的定义域为，‎ 因为恰有一个极值点为，所以有且只有一个解，即是它的唯一解，也就是说另一个方程无解.令，则，所以函数在上单增，从而，所以，当时，无解，恰有一个极值点，所以实数的取值范围是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．‎ ‎12.已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.‎ ‎【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以 ‎，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题.‎ 二.填空题（共4小题，每题5分，共计20分）‎ ‎13.已知向量,,若,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.‎ ‎【详解】由题：，所以，‎ 所以，‎ 解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.‎ ‎14.为支援武汉抗击新冠肺炎疫情，军队抽组1400名医护人员于‎2月3日起承担武汉火神山专科医院医疗救治任务.此外，从解放军疾病预防控制中心、军事科学院军事医学研究院抽取15名专家组成联合专家组，指导医院疫情防控工作.该医院开设了重症监护病区（），重症病区（），普通病区（）三个病区.现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区了解情况，要求每个专家去一个病区，每个病区都有专家，一个病区可以有多个专家.已知甲不能去重症监护病区（），乙不能去重症病区（），则一共有__________种分配方式 ‎【答案】17种 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲、乙两人是否在一起分成两种情况，分别计算出分配的方法数，然后根据分类加法计数原理求得所有的分配方法数.‎ ‎【详解】按照甲乙否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在病区，则丙丁分配在病区，有两种.②甲乙不在一起，若甲在，种，若甲在，则乙在，有种，共计17种.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查实际问题中的计数问题，属于基础题.‎ ‎15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：，且，从而可得值．‎ ‎【详解】由题意可知：‎ ‎∴，即,‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎16.如图,矩形中,,,为的中点,点,分别在线段,上运动（其中不与,重合,不与,重合）,且,沿将折起,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为__________；当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积的值为_______________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意设,则,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数顶点式和正弦函数的取值范围得出最大值. ‎ ‎（2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.‎ ‎【详解】解：依题意设,‎ 则,‎ 因为,所以,‎ 与平面所成角为 ‎ 当,时三棱锥体积取得最大值.‎ 所以三棱锥体积的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎（2）由（1）知道三棱锥体积取得最大值时,‎ 与平面所成角,即平面,‎ 折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：‎ 所以,,, ‎ 设三棱锥外接球的球心为 ‎ ‎ 解,所以 外接球面积为.‎ 故答案为：‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积,解决此类题需要有良好的空间想象力.‎ 三.解答题（共7小题，17，‎18.19.20‎.21各12分，22和23各10分）‎ ‎17.已知数列满足，且.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得，化简整理，结合定义，即可得证．‎ ‎（2）由（1）可得，代入可得，分别讨论n为奇数和偶数时的表达式，结合单调性，便可求出m的取值范围．‎ ‎【详解】（1）证明：因为，所以 即，则 从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列 ‎（2）解：由（1）知，即 所以 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ 当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；‎ 当为奇数时，是递增的，此时，则.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了数列构造法，等比数列的定义及求和．证明等比数列常用概念来证明，裂项相消法是求和中常用的办法，题中还涉及了分类讨论的思想，需分别求n为奇数和n偶数时的，再分别求解，整理答案，属难题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．‎ ‎（1）若点是的中点，求证：平面平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；‎ ‎（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可 ‎【详解】（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,‎ ‎∵四边形是边长为的正方形,∴,‎ ‎∵三角形的面积为1,∴,即,∴,‎ ‎∵,点是的中点,‎ ‎∴,同理可得,‎ 又因为,平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,‎ ‎∴平面平面 ‎（2）存在,‎ 如图,连接,易得两两互相垂直,‎ 分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,‎ 则,假设存在点使得二面角的余弦值为,‎ 不妨设,‎ ‎∵点在棱上,∴,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则,∴,‎ 令,可得,∴平面的一个法向量为,‎ 又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,‎ ‎∴,即,‎ 解得或（舍）‎ 所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点 ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查利用空间向量处理已知二面角求参问题,考查运算能力 ‎19.近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟．A同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率．设A同学每天消费元．‎ ‎（1）求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）各品牌为推广用户使用，推出APP注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8‎ 元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费．设分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出与的函数关系式，参考（1）的结果，A同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？‎ ‎（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：‎ 时长 ‎(0，15]‎ ‎(15，30]‎ ‎(30，45]‎ ‎(45，60]‎ 人数 ‎16‎ ‎45‎ ‎34‎ ‎5‎ 在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，（2）选红车（3）480，1500，1020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图可能的取值有，分别求出其分布列及期望即可；‎ ‎（2）根据题意分别写出与的函数关系式，并算出A同学在每种优惠活动下的费用，看哪个费用最低即可；‎ ‎（3）算出每个时长下每个品牌的费用，比较大小，确定每个时长下选择的最优惠的品牌，根据比例算出每个品牌各应该投放的辆数．‎ ‎【详解】解：（1）根据茎叶图统计A同学30天里面每天使用共享单车的时长有6天，有12天，有10天，有2天，‎ 则可能的取值有，‎ ‎，，，，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎；‎ ‎（2）红车，即；‎ 黄车，即；‎ 蓝车，即；‎ 若A同学下个月选择红车注册会员，则其消费为：元，‎ 若A同学下个月选择黄车注册会员，则其消费为：元，‎ 若A同学下个月选择蓝车注册会员，则其消费为：元，‎ 故选红车费用最低；‎ ‎（3）当平均时长为(0，15]时，红车消费元，黄车消费元，蓝车消费元，故此时选黄车；‎ 当平均时长为(15，30]时，红车消费元，黄车消费元，蓝车消费元，故此时选红车；‎ 当平均时长为(30，45]时，红车消费元，黄车消费元，蓝车消费元，故此时选蓝车；‎ 当时长为(45，60]时，红车消费元，黄车消费元，蓝车消费元，故此时选红车；‎ 故选红车的人数为50，选黄车的人数为16，选蓝车的人数为34，‎ 故红车应该投放辆，黄车应该投放辆，蓝车应该投放辆，‎ 综合：红车应该投放辆，黄车应该投放辆，蓝车应该投放辆.‎ ‎【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了数学期望的计算及其应用，解题时要结合题意得出随机变量所满足的分布列，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．‎ ‎20.如图，已知抛物线C：，过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，P是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点C，D，且，设，的中点分别为M，N.‎ ‎（1）求证：轴；‎ ‎（2）若，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理及中点坐标公式即可求得，即可求得轴；‎ ‎（2）根据向量的坐标运算及点在抛物线上，即可求得，根据三角形的面积公式即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】（1）抛物线C：的焦点，设，，，，‎ 直线的方程为，‎ 由，消去x，整理得，‎ 则，，，因为，‎ 所以，即，‎ 由，所以轴.‎ ‎（2）由（1）可知，，，则，‎ 设，由，，得，，‎ 代入抛物线，得到，‎ 同理，‎ 所以，为方程，‎ 即，所以，‎ 即M，N，P三点共线，‎ 又，所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 当，面积的最小值.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系中的定值与最值问题，此类问题一般有两个处理方法：（1）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而可解决定值、最值问题；（2）设出抛物线上动点的坐标（注意用纵坐标表示横坐标或用横坐标表示纵坐标），把题设条件转化为关于坐标的关系，从而可解决定值、最值问题，本题属于中档题.‎ ‎21.已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数.‎ ‎（1）若是上的单调函数，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：若，且，则.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，可得，令则恒成立，由于，所以，即可求出结果.‎ ‎（2）方法一：利用消元求导，由题意可得，‎ 令，，不妨设，，‎ 令，‎ 原题即证明当时，，利用导数在不等式中应用，即可求出结果.‎ 方法二：利用切线放缩法，化解过程同方法一，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程为.下面证明恒成立（）；令，然后再利用导数在不等式中应用，和不等式放缩即可证明结果.‎ ‎【详解】（1），，由题意恒成立，由于，所以，解得.‎ 方法一：消元求导死算 ‎（2），‎ 令，，不妨设，，‎ 令，‎ 原题即证明当时，，‎ ‎，其中 ‎，因为，所以当时，，得证.‎ 方法二：切线放缩 化解过程同上，原题即证明当时，，，注意到，求出在处的切线方程，则，即，则：切线方程为.下面证明恒成立（）；令，则，得在恒成立，故在（）上单调递增，恒成立，故恒成立，同理可证始终位于在处的切线的上方，即：（实际上与关于轴对称），故恒成立，原不等式得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数在恒成立和不等式证明中的应用；本题第（2‎ ‎）问中的方法一，对这一步化简和后面的换元是关键；方法二的切线放缩是难点，平时学生们要加强训练.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用将曲线的参数方程转化为普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值的求法，以及对进行分类讨论，求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）曲线：（为参数为参数），转换为直角坐标方程为：.‎ 线曲线：.整理得，转换为直角坐标方程为.‎ ‎（2）设点，根据题意的最小值即为点到直线的距离的最小值.‎ 故：，‎ 当时，曲线和曲线相交或相切，此时，‎ 当时，曲线和曲线相离，当时，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查点到直线距离，属于中档题.‎ ‎23.已知，且、、都是正数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将两边平方，在由，，，可证. (2)由可证.‎ ‎【详解】（1）证明：由已知得，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：由已知得，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.‎