数学理卷·2018届宁夏长庆高级中学高三第四次月考（2017

数学理卷·2018届宁夏长庆高级中学高三第四次月考（2017

宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考 数 学 试 卷（理）‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，‎ 已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎4．已知函数，若，则（ ）‎ A．－3 B．－1 C．0 D．3‎ ‎5．已知，，＝(7,5，λ)，若，，‎ ‎ 三个向量共面,则实数λ等于(　　)．‎ ‎ A. B. C. D. ‎6.下列命题中, 正确的命题有几个 ( ) ‎ ‎①命题“存在，”的否定是“对于任意的，”；‎ ‎ ②若函数在(2016, 2017)上有零点，则；‎ ‎ ③在公差为的等差数列 中，成等比数列，则公差为；‎ ‎ ④函数在上的单调递增区间为;‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7.函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）‎ ‎8. 已知函数，且，则以下结论正确的是（ ）‎ A.c>a>b　　 B.a>c>b　　 C.a>b>c　 D.b>a>c ‎9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A．2cm3 B． cm3 C．3cm3 D．3cm3‎ ‎10．函数是偶函数的充要条件是（ ） ‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎11. 若函数f（x）=x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间（2k﹣1，k+2）内不 ‎ 是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）‎ ‎ A．（﹣，） B．[，3） C．[，） D．（﹣，3）‎ ‎12．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ Ⅱ卷（非选择题　共90分）‎ 二. 填空题 (本大题共4小题，每小题5分．)‎ ‎13. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，‎ ‎①.BD∥平面CB1D1‎ ‎②.AC1⊥BD ‎③.AC1⊥平面CB1D1‎ ‎④.异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ 以上结论错误的有 .‎ ‎14. 已知直线：与坐标轴围成的面积为，‎ 则数列{}的前n项和为 ．‎ ‎15.已知三棱锥中， A、B、C三点均在球心为的球表面上，且AB=BC=1，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___________.‎ ‎16、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．‎ 三．解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题12分） 设．‎ ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，‎ 若， ，求面积的最大值．‎ ‎18.（本小题12分） 设数列的前n项和满足且 成等差数列．‎ ‎ ( 1 )求数列的通项公式；‎ ‎ ( 2 )若数列满足，求数列的前n项和．‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题12分） 如下图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分 别是AB，AD，CD的中点， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 求： (1)·的值；‎ ‎ (2)线段EG的长；‎ ‎ (3)异面直线EG与AC所成角的大小．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，．‎ ‎ ‎ (1) 求证：BE∥平面PAD；‎ (2) 求证：平面PBC⊥平面PBD；‎ ‎(3) 在棱PC上是否存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为。若存在，求的值；若不存在，说明理由。‎ ‎21. （本小题12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设，若对任意，均存在，‎ 使得，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 选做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 第一题计分 ‎22. （本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线L：(t为参数)，‎ 曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设直线L与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值．‎ ‎23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，．‎ ‎ (1)当a=-1时，解不等式； ‎ ‎ (2)若时，，求实数a的取值范围．‎ 宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考数学答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D C A D B A D B A C ‎ B ‎13. ④ 14. 15. 64 16. ‎ ‎17. 解（1）由题意 ‎，‎ 由，可得，‎ 由，可得， ‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ ‎（2），，‎ 由题意是锐角，所以；由余弦定理：，‎ 可得，，且当时成立，‎ ‎，面积最大值为．‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由已知Sn=2an-a1，有 n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1， ‎ 即an=2an-1（n≥2），‎ 从而a2=‎2a1，a3=‎2a2=‎4a1．‎ 又∵a1，a3+1，a4成等差数列，即a1+a4=2（a3+1）‎ ‎∴‎8a1+2=‎8a1+ a1，‎ 解得：a1=2． ‎ 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an=2n．‎ ‎ (2)由（1）知an=2n ‎19 【解析】设＝，＝，＝，则||＝||＝||＝1，‎ ‎〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，＝＝－，‎ ‎＝－，＝－．‎ ‎(1)·＝(－)·(－)＝－·＋2＝－＋＝.‎ ‎(2)＝＋＋＝＋(－)＋(－)‎ ‎＝－＋＋＝－＋＋，‎ ‎∴2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2－2·－2·＋2·)＝，‎ ‎∴||＝，即EG的长为.‎ ‎(3)由(2)知，·＝(－＋＋)·＝－·＋2＋·＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ 故异面直线EG与AC所成的角为45°.‎ ‎20‎ 解:设PD中点为F，连接EF，‎ ‎ 点E,F分别是棱PC,PD的中点， ,. 四边形FABE为平行四边形.     ,平面, 平面             　　　　       （2）在梯形中,过点作于, 在中，,. 又在中，,, ,  .　　　　　　   面面,面面,,面, 面,　,　      ,平面,平面 平面,　平面,　　　　　　　　　　　　　 平面平面 　　　　　　　　　　     ‎ ‎ (3)设在棱PC上是存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为，设 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．    ‎ 则.  令，，。 平面，即平面的法向量．　　　　　　　‎ ‎  设面的法向量为 则,即．令，得．   二面角为， ，解得． Q在PC上，，，所以=．　　　　　　　　 ‎ ‎21. （本小题12分）已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设，若对任意，均存在，‎ 使得，求的取值范围．‎ 解：（1）由已知,，所以斜率，‎ 又切点（1，2），所以切线方程为，即 故曲线在处的切线方程为．−−−−−−−（4分）‎ ‎（2）‎ ‎①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．−−−（6分）‎ ‎②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是−−−−−−（8分）‎ ‎（3）由已知，转化为．，所以 由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．‎ 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−（12分）‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 解　(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，‎ 从而点P到直线l的距离是 d＝＝，‎ 由此当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．‎ ‎ 23．已知函数，．‎ ‎ (1)当时，解不等式；‎ ‎ (2)若时，，求的取值范围．‎ ‎ 解：(1)当时，不等式为；‎ ‎ 当时，不等式转化为，不等式解集为空集；‎ ‎ 当时，不等式转化为，解之得；‎ ‎ 当时，不等式转化为，恒成立；‎ ‎ 综上所求不等式的解集为．‎ ‎ (2)若时，恒成立，即，亦即恒成立，‎ ‎ 又因为 ， 所以，所以的取值范围为．‎