贵州省贵阳市第一中学2020届高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题 图片版 扫描版含答案

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贵阳第一中学 2020 届高考适应性月考卷（八） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8[来源:Zxxk.Com] 9 10 11 12 答案 A B C[来源:Zxxk.Com] D A D D C B A B C 【解析】 2．由设 iz a b  ，代入 | | 2 iz z   ，得 3 i4z   ，故选 B． 3．∵向量 ( 1 1) ( 2)    ， ， ，a b ，且 a b ， ( 1) 2 0    a b ，则 1   或 2，故选C． 4 ． 由 题 得 100  ， 10  ， ( ) 0.68P X     ∵ ≤ ≤ ， (90 110) 0.68P X ∴ ≤ ≤ ， 1(90 100) (90 110) 0.342P X P X ∴ ≤ ≤ ≤ ≤ ， ( 100) 0.5P X ∵ ≥ ，∴该校数学成绩的及格率 可估 计为 0.34 0.5 0.84  ，所以该校及格人数为 0.84 1500 1260  （人），故选 D． 5．若直线 1 0x my   与 1 0nx y   平行，则 1 0mn   ，即 1mn  ，当 1m   ， 1n   时，两直 线方程为 1 0x y   ， 1 0x y    ，此时两直线重合，故“直线 1 0x my   与 1 0nx y   平 行”是“ 1mn  ”的充分不必要条件，故选 A． 6． 7cos cos cos cos sin si 2n 10                                     ，故选 D． 7．3 名学生选择学科共有： 6 6 6 216   种，其中恰有两名学生选择数学课： 2 3C 5 15  ，故所求 概率为 5 72P  ，故选 D． 8．如图 1，设点 ( 6 )C x x， ，连接 AC AB CO BO， ， ， ，由△ABC 是边长为1的等边三角形，故四 边 形 AOBC 为 菱 形 ， 60 120ACB AOB OAC OBC         ， ， 在 OAC△ 中 ， 2 2 2 2 cosOC OA AC OA AC OAC       ，可得 2 2 21 1OC    12 1 1 32         ， 3OC  ，可得 2 23 (6 )x x   ，解得 6 2x  ，故选 C． 图 1 9．由 框 图 得 10(((((((((3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1) 3 1 3v                      11 11 9 8 1 1 (3 1) 3 13 3 3 1 3 1 2          ，故选 B. 10． 2 1 2 1 2 4 7( ) 2 7 0 2 7 4 0 22f x x x x x x x xx             ， ， 2( ) ( ) 7f a f b a a    24ln a b  7 4lnb b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 65( ) 2 7( ) 4ln( ) 4ln 2 4x x x x x x x x        ，故选 A. 11．由图象得函数解析式为 3 1 1( ) 2 1x x xf x x     ， ， ， ≥ ， 令 ( )f x t ，则 ( ) 2tf t  ，当 1t  时， 3 1 2tt   ， 令 1 23 1 2ty t y  ， ， 1t  其 图 象如 图 2 所 示 . 1t ∴ 时 ， 3 1 2tt   无解，当 1t ≥ 时，2 2t t 成立，由 ( ) 1f x ≥ ，得当 1x  时， 有 3 1 1x  ≥ ，解得 2 13 x ≤ ；当 1x≥ 时，有 2 1x ≥ ，解得 1x≥ ， 综 上， x 的取值范围是 2 3     ， ，故选 B． 12． 2 1 2( 0) ( 0) bF c F c P c a       ， ， ， ， ， ，直线 1PF 的方程为 2 2 2 2 b by xac a   ，即 2 22 0b x acy b c   ，满足 题意的点为四边形内切圆圆心，设四边形 2OF PN 的内切圆的圆心为 2 2 c cM      ， ，半径为 2 c ，∴ M 到直线 1PF 的距离 2 2 2 2 4 3 2 24 b c ac cd a c b     ，化简得 4 22 3 0b ab c  ，令 1b  ，可得 2 3ac  ，又 2 2 1c a  ，∴ 3 3a  ， 2 3 c  ，∴ 2ce a   ，故选 C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 a c b  17 2 0 20π 【解析】 13． 0a  ， 3 12b   ， 0 1c  ． 14．如图 3，取 AC 的中点 D ， AB 的中点 E ，并连接OD ，OE ，则 图 2 OD AC ，OE AB ， 21 25 2 2AO AC AC    ∴ ， AO AB    21 9 2 2AB  ， 1 25 9 17( )2 4 2AO AM AO AB AC           . 15． 2 2nS n n ∵ ， 2 3na n ∴ ， ( )f x 为周期函数， 4T  ， 2019( ) (2 2019 3) (4035)f a f f    (3) ( 1) (1) 1f f f       ， 2020( ) (4037) (1) 1f a f f   ， 2019 2020( ) ( ) 0f a f a ∴ .[来源:Zxxk.Com] 16．如图 4，由三视图得几何体为四棱锥 S ABCD ，补为直三棱柱 1SAD S BC ，作 ADS△ 的外接圆圆心为 1O ，半径为 r ，作 1S BC△ 的外接圆圆心为 2O ， 1 2O O 的中点 O 为球心， 120SAD  ∵ ， 2AD  ， 2SA  ． 1 2SO r ∴ ， 1 1OO  ， 22 1 5R SO   ∴ ， 24S R ∴ 20  ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）由试验结果知，用甲配方生产的产品中优质品的频率为18 12 0.3100   ， 所以用甲配 方生产的产品的优质品率的估计值为 30% ， …………………………（2 分） 由试验结果知，用乙配方生产的产品中优质品的频率为 32 10 0.42100   ， 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 42% ． …………………………（4 分） （2）由题意，∵用分层抽样的方法在指标值为[105 115]， 的甲配方的产品中抽取一个容量为 5 的 样本， ∴需在[105 110)， 段内抽取 3 个，并 分别记为 a ，b ， c ； 在[110 115]， 段内抽取 2 个，并分别记为 m ， n ， ………………………………（5 分） 设“从样本中任取 2 个，至少有 1 个在分数段[110 115]， 内”为事件 A ， 则基本事件共有 ( )m n， ，( )m a， ，( )m b， ，( )m c， ，( )n a， ，( )n b， ，( )n c， ，( )a b， ，( )a c， ， ( )b c， ，共 10 种， …………………………………………………………（6 分） 则事件 A 包含的基本 事件有 ( )m n， ，( )m a， ，( )m b， ，( )m c， ，( )n a， ，( )n b， ， ( )n c， ，共 7 种， ………………………………………………………………（7 分） 7( ) 10P A ∴ . ………………………………………………………（8 分） 图 3 图 4 （3）由条件知，用乙配方生产的一件产品的利润大于 0，当且仅当其质量指标值 95t ≥ ，由试验 结果知，质量指标值 95t ≥ 的频率为 0.96， 所以用乙配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96， ……………（10 分） 用乙配方生产的产品平均一件的利润为 1 [4 ( 2) 54 3 42 4] 3.22100         （元）． ……………………………………… ………………………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）由余弦定理得 2 2 2 22 cos60 ( ) 3AC DA DC DA DC DA DC DA DC        ， 由已知， 13 40DA DC DA DC  ， ， ………………………………………（3 分） 又 AD DC ，所以 5CD  ． ……………………………………………（6 分） （2）解法一：由已知， 1 sin120 14 32ABDS AD BD    △ ，得 7BD  ， …………………………………………………………………………………（7 分） 设 AE BC 垂足为 E ，在 ADE△ 中， 4DE  ， 4 3AE  ，………………………（9 分）[来源:Zxxk.Com] 所以，在 Rt ABE△ 中， 4 3 11tan cos11 13B B   . ………………………………（12 分） 解法二：由已知， 1 sin120 14 32ABDS AD BD    △ ，得 7BD  ， ………………（7 分）[来源:学科网 ZXXK] 又在 ABD△ 中， 2 2 2 2 cos120 169AB BD DA DA DB     ， 13AB ∴ ， ………………………（10 分） 又在 ABD△ 中，由余弦定理得 11cos 13B  . ………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分 ） （1）证明：∵是直三棱柱， 1AC BB∴ ， …………………………………………（1 分） 又 BD  平面 1AB C AC BD，∴ ， …………………………………………………（3 分） 1BD BB B AC  ，∴ 平面 1 1BB C C ， ……………………………………………（4 分） 1B C  平面 1 1 1BB C C AC B C，∴ . ……………………… …………………………（6 分） （2）解：由（1）知 AC  平面 1 1BB C C ， 2 2 2AC BC BC AC AB   ∴ ， ，∴ ， 设 AP x ，则 1 222 2PACS x x  △ ， …………………………………………（7 分） 1 1RtBD B C B BC∵ ， △ ∽ Rt 2 3BDC BC BD △ ， ， ， 1 2 3BB ∴ ， ………………………………………………………（8 分） 1 1 2 3 2 12 33 2 3 2 3B PAC APV x x PB     ∴ ，∴ ，∴ ， …………………………（9 分） 如图 5 建立空间直角坐标系， 1 1 3 3(2 0 2 3) 0 (2 0 0)2 2B D B       ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 3(0 0 2 3) 2 32 2C P      ， ， ， ， ， ， 平面 1B AC 的法向量是 3 302 2DB        ， ， ， 平面 1B PC 的法向量是 1 31 .3 3n        ， ， …………………………………（11 分） 二面角 1P B C A  的平面角为 ，则 2 39cos 13| || | DB n DB n        . …………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 解：（1） 21( ) ( 2)2f x x a x   ∵ ，设 3 21 1( ) ( 2)6 2f x x a x b    ， ………………（1 分） 3(1) 2f a  ∴ ， 2( ) ag x x  ∵ ， (1) 2g a ∴ ， …………………………………（2 分） 依题意有 (1) (1) 1f g    ，且 (1) (1)f g ， …………………………………………（3 分） 可得 32 12 1 1 ( 2) 06 2 a a a b              ， ， 解得 1a  ， 1 3b  或 1 2a  ， 7 12b  ， 图 5 所以 3 21 1 1( ) 6 2 3f x x x   或 3 21 3 7( ) 6 4 12f x x x   . ……………………………（6 分） （2） 21( ) ( 2) 2 ln2F x x a x a x   ∵ . 1 2 1 2( ) ( ) ( )F x F x a x x   ， 等价于 2 2 1 1( ) ( )F x ax F x ax   . ……………………………………………（7 分） 设 ( ) ( )G x F x ax  ， 则对任意的 2 10 x x  ，等价于 ( ) ( )G x F x ax  在 (0 ) ， 上是增函数． ………………………………………………………………（8 分） 21( ) 2 ln 22G x x a x x   ， 可得 22 2 2( ) 2a x x aG x x x x       ， ……………………………………………（10 分） 依题意有，对任意 0x  ，有 2 2 2 0x x a  ≥ 恒成立． 由 2 22 2 ( 1) 1a x x x   ≤ ，可得 1 2a ≤ . ………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）由已知，圆 E 的半径为| |EQ ，圆 P 的圆心为 P ，半径为 2 2 ， 依题意得| | 2 2 | |EP EQ  ，即| | | | 2 2 | |EP EQ PQ   ， ………………………（2 分） 所以点 E 的轨迹是以 P ，Q 为焦点的椭圆，其长轴为 2 2 2a  ， ……………………………………………………………………………（4 分） 曲线 C 的方程是 2 2 12 x y  . ……………………………………………（5 分） （2）由 2 2 12 2 x y y kx       ， ， 得 2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx    ， …………………………………（6 分） 由 2 2 264 24(1 2 ) 16 24 0k k k       ， 解得 6 2k   或 6 2k  . ……………………………………………（7 分） 设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ， 则 1 2 2 8 1 2 kx x k     ， 1 2 2 6 1 2x x k   . ……………………………………………（8 分） 设存在点 (0 )D m， 满足题意，则 1 1 AD y mk x  ， 2 2 BD y mk x  ， 所以 1 2 2 1 1 2 1 2 ( ) AD BD y x y x m x xk k x x     1 2 1 2 1 2 2 (2 )( )kx x m x x x x    6 4 (2 ) 3 k k m  . ……………………………………………………………（9 分） 要使 AD BDk k 为定值，只需 6 4 (2 ) 6 8 4 2(2 1)k k m k k mk m k       与参数 k 无关， 故 2 1 0m   ，解得 1 2m  ，当 1 2m  时， 0AD BDk k  ． 综上所述，存在点 10 2D     ， ，使得 AD BDk k 为定值，且定值为 0． …………………………………………………………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分） 【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）曲线 1C 的参数方程为 cos ( 0)sin x a a by b       ， 为参数，， ， …………………………………………………………………（1 分） 曲线 3C 的直角坐标方程为 2 2 2x y r  ，则其极坐标方程为 r  ， …………………………………………………………………（2 分） 当 r b 或 r a 时，曲线 1C 和曲线 3C 有两个公共点； ………………………（3 分） 当 b r a  时，曲线 1C 和曲线 3C 有四个公共点； …………………………………（4 分） 当 0 r b  或 r a 时，曲线 1C 和曲线 3C 没有公共点. …………………………（5 分） （2）设 ( cos sin )M a b ， ， 1 2(0 ) (0 )B b B b， ， ， ， 则直线 1MB 的方程为 sin cos b by x ba     ，∴得 cos 01 sin aP        ， ， …………………（7 分） 同理 2MB 的方程为 sin cos b by x ba     ，∴得 cos 01 sin aQ        ， ， ………………………………………………………………（9 分） 2 2 2 2 cos cos cos| | | | 1 sin 1 sin 1 sin a a aOP OQ a          ∴ 为定值. …………… …………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 解：（1）当 0a  时，不等式为 2( ) | | 3 1 0f x x x x     ， 当 0x≥ 时，不等式为 22 4 0 2x x    或 2x   ，又 0x≥ ， 2x ∴ ； 当 0x  时，不等式为 2 23 1 0 4 0x x        ，此不等式无解， 综合上述，不等式的解集为{ | 2}x x  . …………………………………………（5 分） （2）对于 [2 3]x  ， ， | | 2x x a ≥ 恒成立， 即是 2| |x a x  ≥ 恒成立， 2x a x  ∴ ≥ 或 2x a x  ≤ 在 [2 3]x ， 时恒成立 2a x x  ≤ 或 2a x x ≥ 恒成立， 2x x  在 [2 3]x ， 上单调递增，∴当 2x  时有最小值1 1a ≤ ， 或 2x x  在 [2 3]x ， 上单调递增，∴当 3x  时有最大值 11 3 ， 综合上述， 1a≤ 或 11 3a≥ . ……………………………………………………（10 分）