高二上学期期末考参考答案

高二上学期期末考参考答案

汕头市金山中学2018级高二上学期期末考试数学科参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B D A C B B D B ABD AC ‎13.__ ‎3‎__; 14.____; 15._‎ ‎‎11π‎8‎a‎2‎; ‎505‎‎，‎‎+∞‎___; 16.___‎-‎π‎2‎___.‎ ‎17. 解：解：（1）设等差数列的公差为d．‎ 由a‎2‎‎=5‎，a‎4‎‎=9‎，得‎9=5+2d，解得d=2‎． ………………………………1分 所以an‎=a‎2‎+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1‎． ………………………………2分 由于bn‎+‎an是公比为3的等比数列，且b‎1‎‎+a‎1‎=6‎， ………………………………3分 所以bn‎+an=(b‎1‎+a‎1‎)⋅‎3‎n-1‎=6×‎‎3‎n-1‎． ………………………………4分 从而bn‎=6×‎3‎n-1‎-an=6×‎3‎n-1‎-(2n+1),n∈‎N‎*‎． ………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）bn‎=6×‎3‎n-1‎-(2n+1),n∈‎N‎*‎．‎ 所以Sn=6‎1+3+⋯+‎‎3‎n-1‎-‎‎3+5+⋯+‎‎2n+1‎‎ ‎ ‎=‎6(1-‎3‎n)‎‎1-3‎-n[3+(2n+1)]‎‎2‎=‎3‎n+1‎-3-n‎2‎-2n‎．……10分 ‎18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得a-‎2‎‎2‎c=b⋅‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab …………………………1分 化简得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-‎2‎ac，‎ ‎∴cosB‎=c‎2‎‎+a‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=‎‎2‎‎2‎. …………………………3分 ‎∵B∈‎‎0,π，∴B=‎π‎4‎. ……………………………5分 ‎（Ⅱ）由cosC‎=‎‎7‎‎2‎‎10‎，得sinC‎=‎1-‎‎7‎‎2‎‎10‎‎2‎=‎‎2‎‎10‎， ……………………………6分 在ΔABC中，∵sinA‎=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=‎2‎‎2‎×‎7‎‎2‎‎10‎+‎2‎‎2‎×‎2‎‎10‎=‎‎4‎‎5‎，……8分 由正弦定理bsinB‎=‎asinA，得b=asinA⋅sinB=‎4‎‎4‎‎5‎×‎2‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎‎2‎， ……………………………10分 SΔABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×4×‎5‎‎2‎‎2‎×‎2‎‎10‎=1‎‎. ………………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）证明：‎∵E，F分别为AB，AC边的中点， ‎∴EF//BC， …………………………1分 ‎∵∠ABC=90°‎， ‎∴EF⊥BE，EF⊥PE， …………………………3分 又‎∵BE∩PE=E，BE、PE⊂‎平面PBE， …………………………4分 ‎∴EF⊥‎平面PBE，‎∴BC⊥‎平面PBE； …………………………5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：取BE的中点O，连接PO， ‎ 由‎(1)‎知BC⊥‎平面PBE，BC⊂‎平面BCFE， ‎∴‎平面PBE⊥‎平面BCFE， ‎∵PB=BE=PE， ‎∴PO⊥BE， 又‎∵PO⊂‎平面PBE，平面PBE∩‎平面BCFE=BE， ‎∴PO⊥‎平面BCFE， 过O作OM//BC交CF于M，则OB，OM，OP两两相互垂直. …………………………6分 分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则P(0,0,‎3‎)‎，C(1,4,0)‎，F ‎(-1,2,0)‎． PC‎=(1,4,-‎3‎)‎，PF‎=(-1,2,-‎3‎)‎， 设平面PCF的法向量为m‎=(x,y,z)‎， 由m‎⋅PC=x+4y-‎3‎z=0‎m‎⋅PF=-x+2y-‎3‎z=0‎，取y=1‎，得m‎=(-1,1,‎3‎)‎，………8分 由图可知n‎=(0,1,0)‎为平面PBE的一个法向量， ………………………10分 ‎∴cos〈m,n〉=m‎⋅‎n‎|m||n|‎=‎-1×0+1×1+‎3‎×0‎‎(-1‎)‎‎2‎+‎1‎‎2‎+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎5‎， ………………………11分 ‎∴‎平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值‎5‎‎5‎． ……………………12分 ‎20. 解：(1)设圆心（）∴ 圆的半径为，所以 ，解得： ……2分 圆的标准方程是： ………………………4分 ‎(2)设 . ，‎ 消去得： ……………………………6分 ‎△=，得： ……………………………7分 ‎， ……………………………9分 因为∠MPN=90°，所以 PM‎⋅PN=0‎ ……………………………10分 又PM‎=x‎1‎‎,y‎1‎-1‎，‎PNx‎2‎‎,y‎2‎-1‎ 所以x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎-y‎1‎‎+‎y‎2‎+1=m‎2‎+m-1=0 ‎‎……………………………11分 解得m=‎‎-1-‎‎5‎‎2‎或m=‎‎-1+‎‎5‎‎2‎. ……………………………12分 ‎21. 解：（Ⅰ）当时， ……………………………1分 令，令， ……………………………2分 二次函数ht的图像开口向下，对称轴是t=‎‎1‎‎2‎，‎ 所以二次函数ht在‎-1，‎‎1‎‎2‎上单调递增，在‎1‎‎2‎‎，‎‎1‎上单调递减. …………………………3分 又h‎1‎‎2‎=‎‎9‎‎8‎，h‎-1‎=0‎，h‎1‎=1，‎所以， …………………………4分 所以的值域为 ……………………………5分 ‎（Ⅱ）法一： ………………………6分 令，令， …………………………7分 ‎①当，即时，，且，解得 ……………………8分 ‎②，即时，，无解 ………………………9分 ‎③当，即时，且，解得 …………………10分 综上所述 或 …………………………12分 法二： …………………………6分 令， …………………………7分 当，不合题意，∴ ………………………8分 ‎∴， ………………………9分 ‎∵在，递减 ………………………10分 ‎∴或 ………………………11分 ‎∴或 ………………………12分 ‎22. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为‎2c，‎ ‎∵离心率为‎3‎‎2‎，∴‎3a‎2‎=4‎c‎2‎，‎ 又点是抛物线y‎2‎‎=4‎3‎x的焦点，∴c‎2‎‎=3‎，‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵ON‎=OA+‎OB，∴四边形OANB为平行四边形.‎ 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； ………………………………5分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+3‎，‎ 由y=kx+3‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎得‎1+4‎k‎2‎x‎2‎‎+24kx+32=0‎. ‎ 由‎∆=‎24k‎2‎-128‎1+4‎k‎2‎>0‎ 得k‎2‎‎>2‎. …………………………6分 设Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎，则x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎-24k‎1+4‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎32‎‎1+4‎k‎2‎， …………………………7分 ‎∵S‎∆OAB‎=‎1‎‎2‎ODx‎1‎‎-‎x‎2‎=‎‎3‎‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎， …………………………8分 ‎∴‎S四边形OANB‎=2S‎∆OAB=3x‎1‎‎-‎x‎2‎=3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=3‎-24k‎1+4‎k‎2‎‎2‎‎-4×‎‎32‎‎1+4‎k‎2‎=24‎k‎2‎‎-2‎‎1+4‎k‎2‎‎2‎‎， …………………………9分 令k‎2‎‎-2=t，则k‎2‎‎=t+2‎（t>0‎），‎ ‎∴S四边形OANB‎=24t‎4t+9‎‎2‎=24‎1‎‎72+16t+‎‎81‎t≤24‎1‎‎144‎=2‎， …………………………11分 当且仅当‎16t=‎‎81‎t，即t=‎‎9‎‎4‎即k‎2‎‎=‎‎17‎‎4‎时取等号，‎ ‎∴当k=±‎‎17‎‎2‎时，平行四边形OANB的面积最大值为2.‎ 此时直线的方程为y=±‎17‎‎2‎x+3‎. …………………………12分