数学理卷·2017届湖北省宜昌一中高三11月阶段性检测（2016

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2 4 2 2 正视图 侧视图 俯视图 宜昌市第一中学 2017 届高三 11 月阶段性检测 数学(理科)试题 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 ★祝考试顺利★ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1 设集合 , 若 ,则 的值为(　　) A．2 B．0 C． D． 2. 已知 为虚数单位，复数 ，则 (　　) A. B. C. D. 3. “ ”是“ ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知公差不为 0 的等差数列 满足 成等比数列， 为数列 的前 项和，则 的值为(　　) A. B. C.2 D.3 5.“ ”的否定形式是(　　) A． B． C． D． 6. 刍甍(chú hōnɡ),中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍甍者，下 {2,ln }A x= { , }B x y= {0}A B = y e 1 e i 31( )1 iz i -= + z = i− i 1 i+ 1 i− + 1 1x x       { } ln 0x x  { }na 1 3 4, ,a a a nS { }na n 3 2 5 3 S S S S − − 2− 3− 2, 0x x aR∀ ∈ + ≥ 2, 0x x aR∀ ∈ + < 2, 0x x aR∀ ∉ + ≥ 2, 0x x aR∃ ∈ + < 2, 0x x aR∃ ∈ + ≥ 有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶 部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正 视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草 面积至少为(　　) A． B． C． D． 7. 已 知 函 数 ， 则 关 于 的 不 等 式 的解集为(　　) A． B． C． D． 8.函数 与 的图象关于直线 对称，则 可能是(　　) A. 　　 B. C. 　 D. 9. 如图，在 中， 为线段 上靠近 的四等分点，点 在 上且 ，则实数 的值为(　　) A. 　　 B. C. 　 D. 10. 若关于 的不等式组 表示的平面区域被直线 平分面积，则 的取 值为 (　　) A． B． C． D． 11. 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n (n∈N)，则 S2 017＝(　　) A． 21 010－1 B．21 010－3 C．3·21 008－1 D．21 009－3 12. 已知函数 存在单调递减区间，且 的图象在 处的切线 l 与曲线 相切，符合情况的切线 l(　　) A．有 3 条　　　 B．有 2 条　　 　C．有 1 条　　　 D．有 0 条 ,x y 14 8 5 16 8 6 ( ) ( )2 20162016 log 1 2016x xf x x x −= + + + − x ( ) ( )3 1 0f x f x+ + > 1 ,4  − +∞   1, 4  −∞ −   ( )0,+∞ ( ),0−∞ sin(2 )3y x π= − 2cos(2 )3y x π= + x a= a 24 π 12 π 8 π 11 24 π ABC N AC A P BN 2 2( )9 9AP m AB BC= + +    m 3 1 1 3 1 9 2 0 0 x y x y ì - £ïïíï - ³ïî y kx= k 3 4 3 2 3 4 2 3 2 2 ( ) = − x af x x e ( )=y f x 0=x xy e= A B C N P 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22 题—23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. 向量 在向量 上的投影为 . 14. 函数 的最小值为 . 15.过球 表面上一点 引三条长度相等的弦 、 、 ，且两两夹角都为 ，若 球半径为 ，则弦 的长度为____________.（用 表示） 16. 某 地 区 为 了 绿 化 环 境 进 行 大 面 积 植 树 造 林 ，如 右 图 ，在 区 域 内 植 树 ，第一 颗 树 在 点 ，第 二 颗 树 在 点 ，第三颗树在点 ，第四颗树在点 ，接着按图中箭头 方向每隔一个单位种一颗树，那么 （1）第 颗树所在点的坐标是 ，则 ____________; （2）第 颗树所在点的坐标是____________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）求函数 的单调递增区间； （2）若将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ． (3,4) (1, 2)- 2 2 1( ) 2 2 f x x x= + + + O A AB AC AD °60 R AB R {( , ) | 0, 0}x y x y≥ ≥ 1(0,1)A 1(1,1)B 1(1,0)C 2 (2,0)C n (10,10) n = 2016 ( ) 2 3sin( )cos( ) sin 24 4f x x x x π π= + + + ( )f x ( )f x 6 π ( )g x ( )g x [0, ]2 π C2C1 B1 x y A1 O 18.（本小题满分 12 分） 某小区设计四边形花圃如图所示，由于 间有水池，花圃边缘点 P 设计在△ABC 内，已 知 AB 和 CP 长为 米，BC 边长为 米，∠ P 与∠B 互补，记∠B=α． （I）试用 α 表示 AP 的长 ； （II）求花圃面积的最大值，并写出此时 α 的大小． 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 的首项 . （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的前 项和 ． { }na 1{ 1} na − { } n n a n nS ,A C 2 3 ( )f a 1 1 22 , , 1,2,3,......3 1 n n n aa a na+= = =+ 20.（本小题满分 12 分） 如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，AD=DC=CB=1， ，四边形 ACFE 为矩形， 平面 ACFE 平面 ABCD，CF=1. （Ⅰ）求证：BC 平面 ACFE； （Ⅱ）点 M 为线段 的三等分点（靠近 ），设平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 ，求 . 21.（本小题满分 12 分） 设函数 , . (1)若函数 在 上单调递增,求 的取值范围; (2)若函数 有两个极值点 ,且 .求证 . 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程． 已知 在直角坐标系下的参数方程为 ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，有曲线 : . （Ⅰ）将 的方程化为普通方程，并求出 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 和 两交点之间的距离. θθρ sin4cos2 −= 1C 1C 2C °=∠ 60ABC ⊥ ⊥ EF F q θcos 2( ) ln( 1)f x x a x= + + a Î R ( )f x [1, )+¥ a ( )f x 1 2,x x 1 2x x< 2 1 ( ) 10 ln 2 2 f x x< < - 1C 5 5 ( ) 2 5 15 x t t y t ìïï =ïïïíïïï = -ïïî 为参数 2C 2C A B C D E F M 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲． 已知函数 ． （Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围. ( ) 2f x x a a= − + ( ) 6f x ≤ { }2 3x x− ≤ ≤ n ( ) ( )f n m f n≤ − − m 宜昌市第一中学 2017 届高三 11 月阶段性检测 数学(理科)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C C B A A D D B D 13. 14. 15. 16. （1） ；（2） 17. (1) ………2 分 由 ，解得 ， 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 ………6 分 （2） 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象， …… …8 分 …… …10 分 当 时， ， 取最大值 当 时 ， ， 取 最 小 值 . ………12 分 18.解：（1）△ABC 与△APC 中，AB=CP=2，BC=3，∠ B=α，∠ P=π﹣α， 由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，① AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），② 5- 3 2 2 Ra 3 62= 110 (8,44) ( ) 3sin 2 sin 2 3 cos2 sin 22f x x x x x π = + + = +   2sin 2 3x pæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø πππππ kxk 223222 +≤+≤+− ππππ kxk +≤≤+− 1212 5 Zkkk ∈    ++− ,12,12 5 ππππ  ( )xf 6 π ( )xg ( )      +=    +     +=     +=∴ 3 22sin2362sin26 ππππ xxxfxg 2 2 50, , 2 ,2 3 3 3x x π π π π   ∈ ∴ + ∈       ∴ 3 2 3 22 ππ =+x 2 3 3 22sin =     + π x ( )xg 3 2 3 3 22 ππ =+x 13 22sin −=     + π x ( )xg 2− 由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，解得：AP= 3﹣4cosα， α∈ ；………6 分 （2）∵AP=3﹣4cosα，α∈ ， ∴S 四边形 ABCP=S△ABC﹣S△APC= ×2×3sinα﹣ ×2×APsin （π﹣α） ………8 分 =3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈ ， 则 当 α= 时 ， Smax=2 （ 平 方 米） ………12 分 19. （1）∵ ， ， ，………2 分 又 ， ， ………4 分 数列 是以为 首项， 为公比的等比数 列． ………6 分 （2）由（Ⅰ）知 ，即 ， ． ………7 分 设 … ， ① 则 … ， ② ………8 分 由① ②得 … ，………10 分 1 2 1 n n n aa a+ = + ∴ 1 11 1 1 1 2 2 2 n n n n a a a a+ += = + ⋅ 1 1 1 11 ( 1)2n na a+ − = − 1 2 3a = ∴ 1 1 11 2a − = 1{ 1} na − 1 2 1 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2n n na − + − = ⋅ = 1 1 12n na = + ∴ 2n n n n na = + 2 3 1 2 3 2 2 2nT = + + + 2n n+ 2 3 1 1 2 2 2 2nT = + + 1 1 2 2n n n n + −+ + − 2 1 1 1 2 2 2nT = + + 1 1 1 1 1(1 )1 12 2 112 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n + + + − + − = − = − − − ( )f a = (0, )p (0, )p 1 2 1 2 (0, )p 4 p ∴ ． 又 … ． ………11 分 数列 的前 项和 ………12 分 20. （ Ⅰ ） 证 明 : 在 梯 形 中 , , , , …..1 分 , …… …3 分 平面 平面 ,平面 平面 = , 平面 , 平面 ………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可建立以直线 为 轴的如图所示空 间直角坐标系,则 , , ………7 分 设 为平面 的一个法向量, 由 得 取 ,则 ………9 分 是平面 的一个法向量 ………10 分 ………12 分 1 12 2 2n n n nT −= − − 1 2 3+ + + ( 1) 2 n nn ++ = { } n n a n 22 ( 1) 4 22 2 2 2 2n n n n n n n n nS + + + + += − + = = ABCD AB CD  1AD DC CB= = = 60ABCÐ =  2AB = 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC = + - × × = 2 2 2AB AC BC BC AC = + ^  ACFE ^ ABCD ACFE  ABCD AC BC Ì ABCD BC ^ ACFE , ,CA CB CF , ,x y z 3(0,0,0), ( 3,0,0), (0,1,0), ( ,0,1)3C A B M ( 3,1,0)AB = -  3( , 1,1)3BM = -  1 ( , , )n x y z=  MAB 1 1 0 0 n AB n BM ìï × =ïíï × =ïî     3 0 3 03 x y x y z ìï- + =ïïïíï - + =ïïïî 1x = 1 2 3(1, 3, ),3n =  2 (1,0,0)n =   FCB 1 2 1 2 1 3cos 416 3 n n n nq × = = =     ∴ ∴ 21.(1)根据题意知: 在 上恒成立.即 在区间 恒成立. 在区间 上的最大值为 , ; 经检验:当 时,满足要求,故 . …………4 分 (2) 由 函 数 定 义 域 为 , 函 数 有 两 个 极 值 点 , 所 以 即 在 上有两个不等式的实根 ,则 解得 因 为 且 , 所 以 , , . 所 以 , …………6 分 令 ,则 , 令 ,则 . 因 为 , 所 以 存 在 , 使 得 . 所 以 在 上递减,在 上递增. 又 , , 所 以 , 对 任 意 , 都 有 , 即 , ……9 分 所以 在 上单调递减. 故 ,即 .…………12 分 22 2( ) 01 x x af x x + +¢ = ³+ [1, )+¥ 2 2a x x³- - [1, )+¥ 22 2x x- - [1, )+¥ 4- 4a ³- 4a =- 4a ³- [ 1, )- +¥ 1 2,x x ( ) 0f x¢ = 2( ) 2 2 0g x x x a= + + = ( 1, )- +¥ 1 2,x x 4 8 0 11 02 ( 1) 0 a g a ìD = - >ïïïïï- <- <íïïïï - = <ïî 10 .2a< < 1 2 1 21, ,2 ax x x x+ =- = 1 2x x< 1 2 1x x=- - 1 2 2 22 2 ( 1)a x x x x= =- + 2 1 02 x- < < 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) ln( 1) 2 ( 1)ln( 1) 1 f x x a x x x x x x x x + + - + += = - - 2 1( ,0)2x Î - 2 2 ( 1)ln( 1) 1( ) , ( ,0)1 2 x x x xh x xx - + += Î -- - 2 2( ) 2ln( 1)( 1) xh x xx¢ = + ++ 2 2 1( ) 2ln( 1), ( ,0)( 1) 2 xx x xxj = + + Î -+ 2 3 2( 3 1) 1( ) , ( ,0)( 1) 2 x xx xxj + +¢ = Î -+ 1( ) 4 0, (0) 2 02j j¢ ¢- =- < = > 0 1( ,0)2x Î - 0( ) 0xj¢ = ( )xj 0 1( , )2 x- 0( ,0)x (0) 0j = 1( ) 1 2ln 2 02j - = - < 1( ,0)2x Î - ( ) 0xj < ( ) 0h x¢ < ( )h x 1( ,0)2- 1 10 (0) ( ) ( ) ln 22 2h h x h= < < - = - 2 1 ( ) 10 ln 2 2 f x x< < - 22.解：（1）消参后得 为 . 由 得 的直角坐标方程为 .…………5 分 （2） 圆心 到直线的距离 …………10 分 23.解：(1)由 得 ， 即 ………5分 （2）由(Ⅰ)知 令 则 ∴ 的最小值为4，故实数 的取值范围是 ．………10分m 1C 2 1 0y x- + = 2cos 4sinr q q= - 2 2 cos 4 sin .r r q r q= - 2 2 2 4 .x y x y + = - 2C 2 2( 1) ( 2) 5.x y- + + =  (1, 2)- 2 2 1 3 . 5 5 d - - += = 2 23 8 52 ( 5) ( ) .55 AB = - = | 2 | 6x a a− + ≤ | 2 | 6 , 6 2 6x a a a x a a− ≤ − − ≤ − ≤ − 3 3, 3 2, 1a x a a− ≤ ≤ ∴ − = = ( ) | 2 1| 1,f x x= − + ( ) ( ) ( ).x f n f nϕ = + − 12 4 , 2 1 1( ) | 2 1| | 2 1| 2 4, 2 2 12 4 , 2 n n n n n n n n ϕ  − ≤ − = − + + + = − < ≤   + > ( )nϕ [4, )+∞