【数学】2020届一轮复习人教版(理)第2章第4讲二次函数与幂函数学案

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【数学】2020届一轮复习人教版(理)第2章第4讲二次函数与幂函数学案

第4讲 二次函数与幂函数 ‎[考纲解读] 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质,能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题.(重点、难点)‎ ‎2.掌握幂函数的图象和性质,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象,了解它们的变化情况.(重点)‎ ‎[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点内容.预测2020年高考对二次函数可能会直接考查,也可能会与其他知识相结合进行考查,考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等.在解答题中也可能会涉及二次函数.幂函数的考查常与其他知识结合,比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.‎ ‎1.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).‎ ‎②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).‎ ‎③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)‎ f(x)=ax2+bx+c(a<0)‎ 图象 定义域 R R 续表 ‎2.幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 ‎1.概念辨析 ‎(1)函数y=2x是幂函数.(  )‎ ‎(2)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.(  )‎ ‎(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(  )‎ ‎(4)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎                    ‎ ‎2.小题热身 ‎(1)若a<0,则‎0.5a,‎5a,‎0.2a的大小关系是(  )‎ A.‎0.2a<‎5a<‎0.5a B.‎5a<‎0.5a<‎‎0.2a C.‎0.5a<‎0.2a<‎5a D.‎5a<‎0.2a<‎‎0.5a 答案 B 解析 因为a<0,所以函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,又因为0.2<0.5<5,所以‎0.2a>‎0.5a>‎5a,即‎5a<‎0.5a<‎0.2a.‎ ‎(2)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数的解析式为________.‎ 答案 f(x)=x 解析 设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象过点(2,),所以=2α,即2=2α ‎,所以α=,所以f(x)=x.‎ ‎(3)若二次函数y=-2x2-4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是________.‎ 答案 -2‎ 解析 y=-2x2-4x+t=-2(x2+2x)+t=-2[(x+1)2-1]+t=-2(x+1)2+2+t.‎ 因为此函数的图象的顶点(-1,2+t)在x轴上,所以2+t=0,所以t=-2.‎ ‎(4)函数f(x)=-x2+2x(0≤x≤3)的值域是________.‎ 答案 [-3,1]‎ 解析 因为f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,又因为f(0)=0,f(1)=1,f(3)=-3,所以函数f(x)的值域为[-3,1].‎ 题型  幂函数的图象与性质 ‎1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=(  )‎ A.3 B.1- C.-1 D.1‎ 答案 C 解析 设f(x)=xα,因为函数f(x)的图象经过点(9,3),所以3=9α,解得α=.所以f(x)=x.所以f(2)-f(1)=-1.‎ ‎2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(  )‎ A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c 答案 B 解析 观察图象联想y=x2,y=x,y=x-1在第一象限内的图象,可知c<0,d<0,02d,所以c>d.‎ 综上知a>b>c>d.‎ ‎3.若(‎2m+1) >(m2+m-1) ,则实数m的取值范围是(  )‎ A. B. C.(-1,2) D. 答案 D 解析 因为函数y=x在[0,+∞)是增函数,‎ 且(‎2m+1) >(m2+m-1) ,‎ 所以解得≤m<2.‎ ‎1.求幂函数的解析式 幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.‎ ‎2.幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限内的图象特征:‎ α取值 α>1‎ ‎0<α<1‎ α<0‎ 图象 特殊点 过点(0,0),(1,1)‎ 过点(0,0),(1,1)‎ 过点(1,1)‎ 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2‎ y=x y=x-1,‎ y=x- ‎3.幂函数单调性的应用 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.                    ‎ ‎1.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)·x-‎5m-3为减函数,则实数m的值为(  )‎ A.-2 B.1‎ C.1或-2 D.m≠ 答案 B 解析 由题意得解得m=1.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅲ)已知a=2,b=3,c=25,则(  )‎ A.b0的解集为{x|10的解集为(1,3),‎ 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,‎ 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+‎4a)x+‎3a.‎ 由方程f(x)+‎6a=0得ax2-(2+‎4a)x+‎9a=0.‎ 因为方程有两个相等的实数根,‎ 所以Δ=[-(2+‎4a)]2-‎4a·‎9a=0,‎ 解得a=1或a=-.由于a<0,舍去a=1.‎ 所以f(x)=-x2-x-.‎ 题型  二次函数的图象与性质 角度1 二次函数的图象 ‎1.(2019·重庆五中模拟)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是(  )‎ 答案 C 解析 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,故排除B,选C.‎ 角度2 二次函数的单调性 ‎2.(2019·河南中原名校联考)已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 因为函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,‎ 当a≠0时,a须满足 解得0f(‎2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-)‎ B.(-,0)‎ C.(-∞,0)∪(,+∞)‎ D.(-∞,-)∪(,+∞)‎ ‎(2)当x∈(1,3)时,若不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.‎ 答案 (1)A (2)(-∞,-5]‎ 解析 (1)当x<0时,f(x)=-f(-x)=x3,∴f(x)=x3(x∈R),易知f(x)在R上是增函数,结合f(-4t)>f(‎2m+mt2)对任意实数t恒成立,知-4t>‎2m+mt2对任意实数t恒成立,即mt2+4t+‎2m<0对任意实数t恒成立,故有解得m∈(-∞,-).‎ ‎(2)设f(x)=x2+mx+4.‎ 因为x∈(1,3)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,‎ 所以即 解得m≤-5,‎ 所以m的取值范围是(-∞,-5].‎ ‎1.识别二次函数图象应学会“三看”‎ ‎2.研究二次函数单调性的思路 ‎(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.‎ ‎(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆,即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧).如举例说明2.‎ ‎3.二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.如举例说明3.‎ ‎4.与二次函数有关的不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4(1).‎ ‎(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎(4)f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在(m,n)上恒成立⇔如举例说明4(2).‎ ‎(5)f(x)=ax2+bx+c>0(a<0)在[m,n]上恒成立⇔                    ‎ ‎1.(2019·郑州模拟)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是(  )‎ 答案 A 解析 当01时,y=logax为增函数,y=(a-1)x2-x开口向上,其对称轴为x=>0,排除B.故选A.‎ ‎2.(2018·四川成都七中模拟)函数f(x)= 的单调递增区间是(  )‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,1]‎ C.[1,+∞) D.[4,+∞)‎ 答案 D 解析 由x2-2x-8≥0得x≥4或x≤-2,‎ 令x2-2x-8=t,则y=为增函数,‎ ‎∴t=x2-2x-8在[4,+∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间,‎ ‎∴所求函数的单调递增区间为[4,+∞).‎ ‎3.(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,2]‎ C.[-1,2] D.[2,5]‎ 答案 C 解析 ∵f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,‎ ‎∴当x=2时,f(2)=4,‎ 由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,‎ ‎∴要使函数在[m,5]上的值域是[-5,4],则-1≤m≤2.‎ ‎4.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.‎ 答案  解析 2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.‎ 当x=0时,-3<0,成立;‎ 当x≠0时,a<2-,‎ 因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),‎ 当x=1时,右边取最小值,∴a<.‎ 综上,实数a的取值范围是.‎
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