专题10-3 概率（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题10-3 概率（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎ ‎ ‎【最新考纲解读】‎ ‎【考点深度剖析】‎ 概率均是以填空题的形式进行考查，题目多为中低档题，着重考查学生运算求解能力.概率一般与计数原理结合考查，也可单独设置题目.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【判一判】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)事件发生频率与概率是相同的．(　　)‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事．(　　)‎ ‎(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　)‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.(　　)‎ ‎(7)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(8)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　　)‎ ‎(9)从市场上出售的标准为500±‎5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　　)‎ ‎(10)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　　)‎ ‎(11)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　　)‎ ‎(12)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　　)‎ ‎(13)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　　)‎ ‎(14)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)‎ ‎(15)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)‎ ‎(16)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)‎ ‎(17)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)‎ ‎(18)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　　)‎ ‎1. ×2. ×3. √4. ×5. √6. ×7. ×8. ×9. ×10. √11. √12. √13. √14. √15. √16. √17. ×18. ×‎ ‎【练一练】‎ ‎1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 ‎【答案】D ‎2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于‎160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过‎175 cm的概率为(　　)‎ A．0.2 B．‎0.3 C．0.7 D．0.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.‎ ‎3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石 ‎【答案】B ‎【解析】因为样品中米内夹谷的比为，所以这批米内夹谷为1 534×≈169(石)．‎ ‎4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．‎ ‎①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．‎ ‎5．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.‎ ‎6．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎7．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.故选C.‎ ‎8．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)‎ ‎，所以概率为.故选C.‎ ‎9.同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－＝.‎ ‎10．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．‎ ‎【答案】 ‎11．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为.‎ ‎12．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤≤‎1”‎发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】∵由－1≤≤1，得≤x＋≤2，‎ ‎∴0≤x≤.‎ ‎∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P＝＝.‎ ‎13．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎14．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．‎ ‎【答案】0.18‎ ‎【解析】由题意知，这是个几何概型问题，‎ ＝＝0.18，‎ ‎∵S正＝1，∴S阴＝0.18.‎ ‎15．如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设圆的半径为R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为R，则所求事件的概率为：‎ P＝＝＝.‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点1：随机事件的概率 ‎【1-1】【2015苏州联考】4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为从四张卡片中任取出两张共有6种情况，其中两种卡片上数字和为偶数的共有2种情况.所以两张数字为偶数的概率为.‎ ‎【1-2】【2015无锡模拟】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为 .‎ ‎【答案】至多一件次品 ‎【解析】事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品.‎ ‎【1-3】【2015通州模拟】某射手一次射击中，击中环、环、环的概率分别是，则这位射手在一次射击中不够环的概率是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【基础知识】‎ ‎1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.‎ ‎(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．‎ ‎(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．‎ ‎(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．‎ ‎(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． ‎ ‎(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．‎ ‎2．频率与概率 ‎(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．‎ ‎(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．‎ ‎3．互斥事件与对立事件 互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．‎ 一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.‎ 对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．‎ 互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.‎ ‎4.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件)‎ ‎ (或)‎ 相等关系 若且，那么称事件与事件相等 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)‎ ‎(或)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)‎ ‎(或)‎ 互斥事件 若为不可能事件，那么称事件与事件互斥 对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件 且 ‎5.随机事件的概率 事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.‎ 由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.‎ ‎5．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：.‎ ‎(2)必然事件的概率：.‎ ‎(3)不可能事件的概率：.‎ ‎(4)互斥事件的概率加法公式：‎ ‎①(互斥)，且有．‎ ‎② (彼此互斥)．‎ ‎(5)对立事件的概率：．‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.‎ ‎ 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．‎ ‎2. 判断事件关系时要注意 ‎(1)利用集合观点判断事件关系；‎ ‎(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．‎ ‎3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：‎ 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；‎ 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；‎ 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的 ‎4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.‎ 事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.‎ 当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.‎ 对于个互斥事件，其加法公式为.‎ 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.‎ ‎5.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．‎ ‎6.实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．‎ ‎7.求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：‎ ‎(1)列举法；‎ ‎(2)列表法；‎ ‎(3)利用树状图列举．‎ 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 ‎，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．‎ ‎【温馨提示】在概率的计算中，一般是根据随机事件的含义，把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小的事件再分为几个相互独立事件的乘积，然后根据相应的概率公式进行计算． ‎ 考点2:古典概型 ‎【2-1】【2015常州联考】有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”，‎ 则事件包含了个基本事件，所以 ‎ ‎【2-2】【2015六合模拟】从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】【2015南京模拟】从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个虚根的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】这实质是一个古典概型问题，首先题中选取数的总方法为，而要使方程有虚根，则，即（因为题中均为正数），而满足这个条件的只能取 共3种，故概率为．‎ ‎【2-4】【2015镇江模拟】由数字0,1,2,3组成一个没有重复数字,且不被10整除的四位数,则两个偶函数不相邻的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【2-5】【2015海门联考】从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先从这个整数中任意取个不同的数分别为，取法数为，使，即使为偶数的取法有，所概率为．‎ ‎【基础知识】‎ ‎1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=。‎ 基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．‎ ‎2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．‎ ‎②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．‎ 概率公式：P(A)＝.‎ ‎【思想方法】‎ ‎1. 古典概型中基本事件的探求方法 ‎(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．‎ ‎(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．‎ ‎2.计算古典概型事件的概率可分三步 ‎ (1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．‎ ‎3. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.‎ ‎【温馨提示】‎ 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．‎ 考点3：几何概型 ‎【3-1】【2015如皋模拟】如图所示，一游泳者自游泳池边上的点，沿方向游了10米,,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池边的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【3-2】【2015海安中学调研】已知菱形的边长为4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【3-3】【2015成都模拟】已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【3-4】【2015常州抽测】在1个单位长度的线段上任取一点，则点到、两点的距离都不小于的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图，.当点在线段上时，点到、两点的距离都不小于.所以概率. ‎ ‎【3-5】【2015无锡模拟】从中任取一个数，从中任取一个数，则使的概率为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】当，时，，即，‎ 当，时，，即，‎ ‎【基础知识】‎ ‎1．（1）随机数的概念：‎ 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。‎ ‎（2）随机数的产生方法 ‎①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；‎ ‎②在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。‎ ‎2.几何概型 ‎（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．‎ ‎（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎（3）几何概型的解题步骤：‎ 首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式 ；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。 ‎ ‎（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。‎ ‎3．几种常见的几何概型 ‎（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：‎ P=l的长度/L的长度 ‎（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：‎ P=g的面积/G的面积 ‎（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：‎ P=v的体积/V的体积 ‎【思想方法】‎ ‎1.几何概型的常见类型的判断方法 ‎(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．‎ ‎(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎(3)与体积有关的几何概型．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．‎ ‎2.‎ 几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．‎ 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求．‎ ‎【温馨提醒】‎ 不少考生在解答概率问题的解答题时，只写出所求结果，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件，致使丢了不该丢的分.在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．概率的一般加法公式中，易忽视只有当，即互斥时，，此时.‎ ‎【易错问题大揭秘】‎ 混淆长度型与面积型几何概型致误 典例　(12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．‎ 易错分析　不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．‎ 规范解答 故这三条线段能构成三角形的概率为.[12分]‎ 温馨提醒　解决几何概型问题的易误点：‎ ‎(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．‎ ‎(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．‎ ‎ [失误与防范]‎ ‎1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．‎ ‎3．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的． ‎ ‎4．概率的一般加法公式：‎ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．‎ 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A ‎∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．‎ ‎5．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；‎ ‎6．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．‎ ‎ ‎