【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第1讲数列的概念与简单表示法学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第1讲数列的概念与简单表示法学案

第五章　数列 第 1 讲　数列的概念与简单表示法 [考纲解读]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)， 并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用 Sn 与 an 的关系求通项；利用递推关系求 通项．(重点、难点) [考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测 2020 年高考可 能与递推数列、等差、等比数列及前 n 项和综合考查，涉及题型有：①由 Sn 求 an；②由递推关系求 an；③根据 an＝f(n)求最值．题型一般为客观题，也可能作为 解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型. 1．数列的有关概念 2．数列的分类 3．数列{an}的 an 与 Sn 的关系 (1)数列{an}的前 n 项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an. 特别提醒：若当 n≥2 时求出的 an 也适合 n＝1 时的情形，则用一个式子表 示 an，否则分段表示． 1．概念辨析 (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对∀n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身 (1)已知数列{an}的通项公式为 an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项 的是(　　) A．21 B．33 C．152 D．153 答案　C 解析　代 n 值进行验证，n＝1 时，A 满足；n＝2 时，B 满足；n＝12 时，D 满足．故选 C. (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8 的值为(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 答案　A 解析　a8＝S8－S7＝82－72＝15. (3)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (－1)n an－1 (n≥2)，则 a5 等于(　　) A.3 2 B.5 3 C.8 5 D.2 3 答案　D 解析　a2＝1＋ 1 a1 ＝1＋1＝2，a3＝1＋－1 a2 ＝1－1 2 ＝1 2 ， a4＝1＋ 1 a3 ＝1＋2＝3，a5＝1＋－1 a4 ＝1－1 3 ＝2 3. (4) 数 列 － 1 1 × 2 ， 1 2 × 3 ， － 1 3 × 4 ， 1 4 × 5 ， … 的 一 个 通 项 公 式 an ＝ ________. 答案　 (－1)n n(n＋1)(n∈N*) 解析　观察数列可知，分母为以项数与项数加 1 的乘积形式的数列，分子是 常数 1 的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式 an＝ (－1)n n(n＋1)(n∈N*)． 题型 一 　知数列前几项求通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)1,0，1 3 ，0，1 5 ，0，1 7 ，0，…； (4)3 2 ，1，7 10 ，9 17 ，…. 解　(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规律 为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－ 5)． (2)将数列变形为8 9(1－0.1)，8 9(1－0.01)，8 9(1－0.001)，…， ∴an＝8 9(1－ 1 10n). (3)把数列改写成1 1 ，0 2 ，1 3 ，0 4 ，1 5 ，0 6 ，1 7 ，0 8 ，…，分母依次为 1,2,3，…，而分子 1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为 an＝1＋(－1)n＋1 2n 或 an＝|sin nπ 2 | n . (4)将数列统一为3 2 ，5 5 ，7 10 ，9 17 ，…对于分子 3,5,7,9，…，是序号的 2 倍加 1， 可 得 分 子 的 通 项 公 式 为 bn ＝ 2n ＋ 1 ， 对 于 分 母 2,5,10,17 ， … 联 想 到 数 列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1， 所以可得它的一个通项公式为 an＝2n＋1 n2＋1. 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特 殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③各项的符号特征和绝对值特征； ④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关 系，如举例说明(4)． ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理．如举例说 明(1)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)2 3 ，4 15 ，6 35 ，8 63 ，10 99 ，…； (2)1 2 ，1 4 ，－5 8 ，13 16 ，－29 32 ，61 64 ，…； (3)1 2 ，2，9 2 ，8，25 2 ，…； (4)5,55,555,5555，…. 解　(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为 2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为 an＝ 2n (2n－1)(2n＋1). (2)数列可以改为－－1 2 ，1 4 ，－5 8 ，13 16 ，－29 32 ，61 64 ，…，则分母为 2n，分子为 2n－ 3，所以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n2n－3 2n . (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数 再观察．即1 2 ，4 2 ，9 2 ，16 2 ，25 2 ，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公 式为 an＝n2 2 . (4)将原数列改写为5 9 ×9，5 9 ×99，5 9 ×999，…，易知数列 9,99,999，…的通 项为 10n－1，故所求的数列的一个通项公式为 an＝5 9(10n－1)． 题型 二 　由 an 与 Sn 的关系求通项公式 1．已知 Sn＝3n＋2n＋1，则 an＝________. 答案　Error! 解析　因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2， 由于 a1 不适合此式，所以 an＝Error! 2．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，a n ＋ 1＝SnSn ＋ 1，则 Sn＝ ________. 答案　－1 n 解析　由已知得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1， 两边同时除以 SnSn＋1 得 1 Sn － 1 Sn＋1 ＝1， 即 1 Sn＋1 － 1 Sn ＝－1.又∵ 1 S1 ＝－1， ∴{ 1 Sn }是首项为－1，公差为－1 的等差数列， ∴ 1 Sn ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即 Sn＝－1 n. 条件探究 1　把举例说明 2 中的条件“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”改为“Sn＝2an ＋1”，求 an. 解　依题意得 Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1， 两式相减得 Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即 an＋1＝2an. 又 S1＝2a1＋1＝a1，因此 a1＝－1， 所以数列{an}是以 a1＝－1 为首项，2 为公比的等比数列，an＝－2n－1. 条件探究 2　把举例说明 2 中的条件“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”改为“S2＝ 4，an＋1＝2Sn＋1”．求 an. 解　因为 an＋1＝2Sn＋1，① 所以 a2＝2S1＋1，即 a2＝2a1＋1. 又因为 a1＋a2＝S2＝4，所以 a1＝1，a2＝3. 当 n≥2 时，an＝2Sn－1＋1，② ①－②得 an＋1＝3an(n≥2)，又 a2＝3a1， 故数列{an}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 因此 an＝3n－1(n∈N*)． 1．已知 Sn 求 an 的三个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1. (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可 求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达式，如果符合， 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来 写．如举例说明 1. 2．Sn 与 an 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1 的关系式．如举例说明 2. (2)利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1 的关系式，再求解．如举例 说明 2 的条件探究 1,2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an ＝________. 答案　 2 2n－1(n∈N*) 解析　因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以 an＝ 2 2n－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为 an＝ 2 2n－1(n∈N*)． 2．若数列{an}的前 n 项和为 Sn 首项 a1>0 且 2Sn＝a2n＋an(n∈N*)．求数列{an} 的通项公式． 解　当 n＝1 时，2S1＝a21＋a1，则 a1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝a2n＋an 2 －a 2n－1＋an－1 2 ， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1 或 an＝an－1＋1， ∴an＝(－1)n－1 或 an＝n. 题型 三 　由递推关系求通项公式 角度 1　形如 an＋1＝an＋f(n)，求 an 1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋1 n)，求通项公式 an. 解　∵an＋1＝an＋ln (1＋1 n)， ∴an－an－1＝ln (1＋ 1 n－1)＝ln n n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ln n n－1 ＋ln n－1 n－2 ＋…＋ln 3 2 ＋ln 2＋2 ＝2＋ln ( n n－1· n－1 n－2·…· 3 2·2) ＝2＋ln n(n≥2)． 又 a1＝2 适合上式， 故 an＝2＋ln n(n∈N*)． 角度 2　形如 an＋1＝anf(n)，求 an 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＝n－1 n an－1(n≥2)，求通项公式 an. 解　∵an＝n－1 n an－1(n≥2)， ∴an－1＝n－2 n－1an－2，…，a2＝1 2a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·1 2·2 3·…· n－1 n ＝a1 n ＝1 n. 当 n＝1 时也满足此等式，∴an＝1 n. 角度 3　形如 an＋1＝pan＋q，求 an 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式 an. 解　递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)，即 an＋1＝2an－t ⇒t＝－3.故递推公式为 an＋1＋3＝2(an＋3)，令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且 bn＋1 bn ＝an＋1＋3 an＋3 ＝2.所以{b n}是以 b1＝4 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn＝ 4×2n－1＝2n＋1， 所以 an＝2n＋1－3. 1．叠加法求通项公式的四步骤 2．叠乘法求通项公式的四步骤 3．构造法求通项公式的三步骤 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则通项公式 an＝________. 答案　Error!(n∈N*) 解析　an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故 an＋2－an＝2. 即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列． 当 n 为偶数时，a2＝1， 故 an＝a2＋2(n 2 －1)＝n－1. 当 n 为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1 为偶数)，故 an＝n. 综上所述，an＝Error!(n∈N*)． 2．在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则 an＝________. 答案　 6 3n－1 解 析 　 ∵ (3n ＋ 2)an ＋ 1 ＝ (3n － 1)an ， ∴ an ＋ 1 ＝ 3n－1 3n＋2an ， ∴ an ＝ 3(n－1)－1 3(n－1)＋2 ·3(n－2)－1 3(n－2)＋2 ·…· 3 × 2－1 3 × 2＋2·3－1 3＋2·a1 ＝ 3n－4 3n－1 ×3n－7 3n－4 ×…×5 8 ×2 5 ×3 ＝ 6 3n－1. 3．设{a n}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·a 2n＋1－na2n＋an＋1 ·an＝0(n＝ 1,2,3，…)，则它的通项公式 an＝________. 答案　1 n 解析　因为(n＋1)a 2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0， 所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. 又因为 an>0，所以 an＋1＋an>0， 所以(n＋1)an＋1－nan＝0， 即an＋1 an ＝ n n＋1 ，n∈N*. 所以a2 a1 ＝1 2 ，a3 a2 ＝2 3 ，a4 a3 ＝3 4 ，…， an an－1 ＝n－1 n ， 以上各式相乘得 an a1 ＝1 2·2 3·3 4·…· n－1 n ＝1 n. 又 a1＝1，所以 an＝1 n. 题型 四 　数列的性质及应用 1．已知 an＝n＋0.99 n－0.99 ，那么数列{an}是(　　) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 答案　A 解析　an＝n＋0.99 n－0.99 ＝n－0.99＋1.98 n－0.99 ＝1＋ 1.98 n－0.99 ， 因为函数 y＝1＋ 1.98 x－0.99 在(0.99，＋∞)上是减函数， 所以数列{an}是递减数列． 2．(2018·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式 an＝(n＋2)·(6 7 )n，则数列{an} 的项取最大值时，n＝________. 答案　4 或 5 解析　因为 an＋1－an＝(n＋3)(6 7 )n＋1－(n＋2)(6 7 )n ＝(6 7 )n[6(n＋3) 7 －(n＋2)]＝(6 7 )n·4－n 7 . 当 n<4 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝4 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>4 时，an＋1－an<0，即 an＋10⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列 {an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． (2)作商比较法 ①当 an>0 时，an＋1 an >1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1 an <1⇔数列{an}是单调 递减数列；an＋1 an ＝1⇔数列{an}是常数列． ②当 an<0 时，an＋1 an >1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1 an <1⇔数列{an}是单调 递增数列；an＋1 an ＝1⇔数列{an}是常数列． 2．求数列最大项或最小项的方法 (1)可以利用不等式组Error!(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组Error!(n≥2)找到数列的最小项．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若数列{an}满足 a1＝2，a2＝3，an＝an－1 an－2(n≥3 且 n∈N*)，则 a2019＝(　　) A.3 2 B．2 C.1 2 D.2 3 答案　A 解析　因为 a1＝2，a2＝3，an＝an－1 an－2(n≥3 且 n∈N*)， 所以 a3＝a2 a1 ＝3 2 ，a4＝a3 a2 ＝ 3 2 3 ＝1 2 ，a5＝a4 a3 ＝ 1 2 3 2 ＝1 3 ， a6＝a5 a4 ＝ 1 3 1 2 ＝2 3 ，a7＝a6 a5 ＝ 2 3 1 3 ＝2＝a1，a8＝a7 a6 ＝2 2 3 ＝3＝a2， 所以{an}的周期 T＝6，所以 a2019＝a6×336＋3＝a3＝3 2. 2．已知数列{an}的通项为 an＝ n n2＋58 ，则数列{an}的最大项的值为(　　) A. 1 2 58 B. 7 107 C. 4 61 不存在 答案　C 解析　an＝ n n2＋58 ＝ 1 n＋58 n ， 函数 y＝x＋58 x 在(0， 58)上单调递减，在( 58，＋∞)上单调递增． 且 7< 58<8. 当 n＝7 时，n＋58 n ＝7＋58 7 ＝152 7 ， 当 n＝8 时，n＋58 n ＝8＋58 8 ＝151 4<152 7 ， 所以 n＋58 n 的最小值为 151 4. 所以 n＝8 时，数列{an}的最大项的值为 4 61.