- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版第四板块拓视野，巧迁移学案
第一讲 创新应用问题 一、实际应用问题 (1)应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化. (2)建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决). [典例] (1)一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x的值应为( ) A．6 B．3 C．1 D. [解析] 无盖方盒的底面边长为6－2x，高为x，其容积V(x)＝(6－2x)2x＝4x3－24x2＋36x(0＜x＜3)，则V′(x)＝12x2－48x＋36＝12(x－1)(x－3)， 当x∈(0,1)时，V′(x)＞0，函数V(x)单调递增；当x∈(1,3)时，V′(x)＜0，函数V(x)单调递减． 故当x＝1时，无盖方盒的容积最大． [答案] C (2)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 [解析] 设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元． [答案] B [反思领悟] 解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型． [创新预测] 为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育．为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表： 当天处罚金额x(单位：元) 0 5 10 15 20 当天闯红灯人数y 80 50 40 20 10 (1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程； (2)根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为320人，每人闯红灯的可能性相同，且相互独立，在处罚金额为0元的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：＝，＝－. 解：(1)由题意得＝(0＋5＋10＋15＋20)＝10， ＝(80＋50＋40＋20＋10)＝40， iyi＝0×80＋5×50＋10×40＋15×20＋20×10＝1 150， ＝0＋25＋100＋225＋400＝750， 所以＝＝＝－3.4， ＝－＝40＋3.4×10＝74， 所以当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程为＝－3.4x＋74. (2)上述路口每天经过的行人约为320人，在处罚金额为0元的情况下，闯红灯的人数为80，故每人闯红灯的概率为. 易知X的所有可能取值为0,1,2,3， 其中P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C··2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝C3＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 二、创新性问题 (1)以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. (2)以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力. (3)以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解. [典例] 设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B. C. D. [解析] 由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1,4]上有解，即求函数a＝在区间(1,4]上的值域， 令t＝4x－5，则t∈(－1,11]，a＝，当t∈(－1,0]时，a≤0； 当t∈(0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号． 综上，实数a的取值范围是. [答案] C [反思领悟] 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略． [创新预测] 1．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)为首项，公差为d＝(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则＝________. 解析：易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量an与非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－. 答案：－ 2．(2017·青岛一模)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”． 给出下列函数：①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sin x；④f(x)＝以上函数是“H函数”的所有序号为________． 解析：由不等式x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)， 得x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0， 即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0. 所以函数f(x)为定义域R上的单调增函数． ①y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不合题意； ②因为y＝ex＋1，所以y′＝ex＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意； ③因为y＝2x－sin x，所以y′＝2－cos x＞0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意； ④显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意． 综上，②③为“H函数”． 答案：②③ 3.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)．给出以下结论： ①若θ＝60°，P(2，－1)，则||＝； ②若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)； ③若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2； ④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0. 其中所有正确结论的序号是________． 解析：对于①，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知||＝，故①正确；对于②，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，故②正确；对于③，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)，因为e1·e2≠0，所以·≠x1x2＋y1y2，故③错误；对于④，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为|OP|＝1，所以(xe1＋ye2)2＝1，所以x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．故填①②④. 答案：①②④ 三、数学文化问题 高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如《九章算术》《数书九章》《算数书》等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值. 1．三角函数中的数学文化 [典例] 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________. [思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可． [解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是1,5， 于是有5sin θ－5cos θ＝1， 即有sin θ－cos θ＝. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝， 则sin θ＋cos θ＝， 因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝， 故tan＝＝－7. [答案] －7 [相关链接] 1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等． [创新预测] 欧拉公式eix＝cos x＋isin x是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数e·e＋(1＋i)2的虚部是( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选D 依题意得，e·e＋(1＋i)2＝＋2i＝－1＋2i，其虚部是2. 2．数列中的数学文化 [典例] (2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 [思路分析] 此问题实质是等比数列问题，相当于已知S7，求a1. [解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3. [答案] B [相关链接] 我国古代数学强调“经世济用” ，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解． [创新预测] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 解析：选B 依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96里． 3．立体几何中的数学文化 [典例] (1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是( ) A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d [思路分析] 观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答． [解析] 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A. [答案] A [相关链接] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程． (2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( ) A．4－ B．8－ C．8－π D．8－2π [思路分析] 根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可． [解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π. [答案] C [相关链接] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化． [创新预测] (2017·武汉模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( ) A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 解析：选B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x,3，1的长方体，∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·2×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6. 4．算法中的数学文化 [典例] (1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( ) A．9 B．18 C．20 D．35 [思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可． [解析] 由程序框图知， 初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2， 第一次循环：v＝4，i＝1； 第二次循环：v＝9，i＝0； 第三次循环：v＝18，i＝－1. 结束循环，输出当前v的值18.故选B. [答案] B [相关链接] 《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合． (2)(2017·安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝( ) A．0 B．5 C．45 D．90 [解析] 该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45. [答案] C [创新预测] 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出n的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5) 解析：n＝6，S＝×6×sin 60°＝≈2.598 1＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24. 答案：24 1．(2017·大连二模)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选D 由题意可得f(x)＝x2(2x－x2)＝当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x＞2或x＜0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4. 2．朱载堉(1536—1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”． 十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则＝( ) A. B. C．4 D. 解析：选A 设13个音的频率所成的等比数列{an}的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2，所以＝＝q4＝2＝. 3．(2017·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则( ) A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间 C．甲车间小于乙车间 D．不确定 解析：选A 设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x)6.① 4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×(1＋x)3， 由①知，(1＋x)6＝1＋，即4月份乙车间的月产值为m＝，∵(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2＞0，∴m＋3a＞，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值． 4.如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为( ) A．248 m2 B．288 m2 C．328 m2 D．368 m2 解析：选B 设绿化区域小矩形的宽为x，长为y， 则3xy＝200，∴y＝， 故矩形区域ABCD的面积 S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4) ＝208＋6x＋≥208＋2＝288， 当且仅当6x＝，即x＝时取“＝”， ∴矩形区域ABCD的面积的最小值为288 m2. 5．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________． 解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)＞g(x)恒成立，等价于6x＋2b－＞，即3x＋b＞恒成立，设F(x)＝3x＋b，m(x)＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，∴b＝2或b＝－2(舍去)，即要使h(x)＞g(x)恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．(古制：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步) 解析：如图所示，由题意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步，设AH＝h步，因为BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以＝，所以＝，即HF＝.因为DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以＝，所以＝，即HG＝，由题意(HG－127)－(HF－123)＝1 000，即－－4＝1 000，h＝1 255，即AH＝1 255步． 答案：1 255 7．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数．给出下列结论： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值； ②函数f(x)＝x－|x－2|为R上的“平顶型”函数； ③函数f(x)＝sin x－|sin x|为R上的“平顶型”函数； ④当t≤时，函数f(x)＝是区间[0，＋∞)上的“平顶型”函数． 其中正确的结论是________．(填序号) 解析：由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1∈[a，b]，都有f(x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f(x2)＜c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，①正确；对于函数f(x)＝x－|x－2|，当x≥2时，f(x)＝2，当x＜2时，f(x)＝2x－2＜2，所以②正确；函数f(x)＝sin x－|sin x|是周期为2π的函数，所以③不正确；对于函数f(x)＝，当x≤1时，f(x)＝2，当x＞1时，f(x)＜2，所以④正确． 答案：①②④ 8．(2018届高三·兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间近似满足函数关系y＝且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损． (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？ 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目所获利润为S，则S＝200x－＝－(x－400)2， 所以当x∈[200,300]时，S＜0，因此该项目不能获利． 当x＝300时，S取得最大值－5 000， 所以政府每个月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为 f(x)＝＝ 当x∈[120,144)时，f(x)＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，f(x)取得最小值240； 当x∈[144,500]时，f(x)＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，f(x)取得最小值200，因为200＜240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低． 9．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)： 年固定成本 每件产品的成本 每件产品的销售价 每年可最多生产的件数 甲产品 20 a 10 200 乙产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出． (1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可使年利润最大． 解：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)， y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)． (2)∵10－a＞0，故y1为增函数， ∴当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元． (3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较： 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元， (1 980－200a)－460＝1 520－200a，且6≤a≤8， 当1 520－200a＞0，即6≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润； 当1 520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当1 520－200a＜0，即7.6＜a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润． 10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩(单位：分)评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格” 记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不合格 合格 成绩 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频数 6 a 24 b (1)求a，b，c的值； (2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，现从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)； (3)某评估机构以指标MM＝，其中D(ξ)表示ξ的方差来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 解：(1)由频率分布直方图，可知成绩在[20,40)内的频率为0.005×20＝0.1， 故抽取的学生答卷数为＝60， 由频率分布直方图可知，得分在[80,100]内的频率为0.01×20＝0.2， 所以b＝60×0.2＝12. 又6＋a＋24＋12＝60， 所以a＝18，所以c＝＝0.015. (2)“不合格”与“合格”的人数之比为24∶36＝2∶3， 因此抽取的10人中“不合格”的学生有4人，“合格”的学生有6人， 所以ξ的所有可能取值为20,15,10,5,0. 所以P(ξ＝20)＝＝，P(ξ＝15)＝＝， P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝0)＝＝. 所以ξ的分布列为： ξ 20 15 10 5 0 P E(ξ)＝20×＋15×＋10×＋5×＋0×＝12. (3)由(2)可得 D(ξ)＝(20－12)2×＋(15－12)2×＋(10－12)2×＋(5－12)2×＋(0－12)2×＝16， 所以M＝＝＝0.75＞0.7， 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案． 第二讲 临界知识问题 一、定义新知型临界问题 从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向量、数列联系考查. [典例] (1)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( ) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 [解析] 根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确；因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不一定相等，所以B错误；对任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确．故选B . [答案] B [点评] 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力． (2)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}．例如，若数列{an}是1,2，3，…，n ，则数列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，已知对任意的n∈N*，an＝n2，则(a5)*＝______，((an)*)*＝______. [解析] 因为am＜5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2. 因为(a1)*＝0， (a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1， (a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2， (a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3， 所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16， 猜想((an)*)*＝n2. [答案] 2 n2 [点评] 本题以数列为背景，通过新定义考查学生的自学能力、创新能力、探究能力． [创新预测] 在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得＝＋a，则称a为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题： ①若平面点集Ω存在向量周期a，则ka(k∈Z，k≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，则b＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x，y)|[y]－[x]＝0}([m]表示不大于m的最大整数)，则c＝(1,1)为Ω的一个向量周期． 其中真命题是________(填序号)． 解析：对于①，取Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，a＝(1,0)，则a为Ω的向量周期，但－a＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题； 易知②是真命题； 对于③，任取点P(xP，yP)∈Ω，则存在点Q(xP＋1，yP＋2)∈Ω，所以b是Ω的一个向量周期，故③是真命题； 对于④，任取点P(xP，yP)∈Ω，则[yP]－[xP]＝0，存在点Q(xP＋1，yP＋1)，所以[yP＋1]－[xP＋1]＝[yP]＋1－([xP]＋1)＝0，所以Q∈Ω，所以c是Ω的一个向量周期，故④是真命题． 综上，真命题为②③④. 答案：②③④ 二、高等数学背景型临界问题 以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一.常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等. 1．取整函数[x] 设x∈R，用[x]表示不大于x的最大整数，则[x]称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引入，故得名)． [典例] 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( ) A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] [思路分析] 解读取整函数的定义，取特殊值进行判断即可． [解析] 取特殊值进行判断． 当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错； 当x＝1.9时，[2x]＝3,2[x]＝2，故B错； 当x＝1.1，y＝1.9时，[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，故C错．选D. [答案] D [点评] 本题是以取整函数y＝[x]为背景的新定义题型，解题的关键是理解[x]的定义．考查学生对信息的理解和运用能力． [创新预测] 设集合A＝和B＝{x|log2(x2－[x])＝2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝________. 解析：因为＜8x＜2 017，[x]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3. 当[x]＝－3，则x2＝1，无解； 当[x]＝－2，则x2＝2，解得x＝－； 当[x]＝－1，则x2＝3，无解； 当[x]＝0，则x2＝4，无解． 当[x]＝1，则x2＝5，无解； 当[x]＝2，则x2＝6，解得x＝； 当[x]＝3，则x2＝7，无解． 综上A∩B＝{－，}． 答案：{－，} 2．最值函数 定义1：最大值、最小值 设a，b∈R，记min{a，b}为a，b中较小的数，max{a，b}为a，b中较大的数．若a＝b，则min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b. 定义2：最大函数、最小函数 设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记min{f(x)，g(x )}为f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)，则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)． [典例] 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( ) A．16 B．－16 C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16 [思路分析] 理解最大、最小函数的定义，画出二次函数f(x)，g(x)的图象，从图象上即可得到A，B的取值． [解析] f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－4a－4－(－4a＋12)＝－16. [答案] B [点评] 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想．解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题． [创新预测] 记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为ℓ＝max·min，则“ℓ＝1”是“△ABC为等边三角形”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 注意到0＜a≤b≤c，则有≤1，≤1，≥1，max＝.当倾斜度等于1时，△ABC未必是等边三角形，如取a＝b＝2，c＝3，此时＝1，＝，＝，max·min＝·＝1，即△ABC的倾斜度等于1，但△ABC显然不是等边三角形． 反过来，当△ABC为等边三角形时，＝＝＝1，max＝min＝1，倾斜度等于1.故选A. 3．有界函数 定义在区间D上的函数f(x)，若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是区间D上的有界函数，其中M称为f(x)在区间D上的上界． [典例] 已知函数f(x)＝1＋a·x＋x，若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． [思路分析] 利用有界函数的定义，将问题转化为不等式恒成立问题，再求相应函数的最大值和最小值． [解] 由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f(x)≤3. 所以－4·2x－x≤a≤2·2x－x在[0，＋∞)上恒成立， 即max≤a≤min. 设t＝2x，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，且t∈[1，＋∞)， 易知h(t)＝－4t－在[1，＋∞)上单调递减， p(t)＝2t－在[1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5， p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1. 故实数a的取值范围为[－5,1]． [点评] 本题以有界函数为背景，考查学生解决“不等式恒成立”问题的能力，其中理解有界函数的意义是解题的关键． [创新预测] 设函数y＝f(x)在(0，＋∞)上有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝，恒有fK(x)＝f(x)，则( ) A．K的最大值为 B．K的最小值为 C．K的最大值为2 D．K的最小值为2 解析：选B 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝′＝. 设g(x)＝－ln x－1， 则g′(x)＝－－＝－. 所以g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立， 即g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又g(1)＝1－ln 1－1＝0， 所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0， 即f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． 故函数f(x)的最大值为f(1)＝＝. 由fK(x)＝f(x)恒成立可得K≥. 故K的最小值为. 三、立体几何中的临界问题 在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通. [典例] 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为( ) A．2 B．2 C．4 D．2 [解析] 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有⇒a2＋b2＝8.所以≥2⇒a＋b≤4，故a＋b的最大值为4. [答案] C [点评] 空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考生的空间想象能力． [创新预测] 如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________． 解析：如题图，设正四面体ABCD在平面α上的射影构成的图形面积为S，因为AB∥平面α，从运动的观点看，当CD∥平面α时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面α相交时，则当CD⊥平面α时，射影面积为最小，最小值为(证明略)，所以S∈. 答案： 1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选B 法一：特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B. 法二：设x＝10m＋α(0≤α≤9)，当0≤α≤6时，＝＝m＝，当6＜α≤9时，＝＝m＋1＝＋1，所以选B. 2．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( ) A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R) B．f(x)＝2－|x－1| C．f(x)＝2x－x2 D．f(x)＝x－sin x 解析：选D 因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”； 令2－|x－1|＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞ )上均有零点，即f(x)为“含界点函数”； 作出y＝x2和y＝2x的图象，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”； 因为f(x)＝x－sin x在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sin x不是“含界点函数”． 3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝xsin x；⑤y＝中，属于有界泛函数的序号是________． 解析：当x≠0时，①＝2≤2； ④＝|sin x|≤1；⑤＝≤. 对于②，当x≥4时，2x≥x2，＝≥＝|x|无界；对于③，当x≠0时，＝|x|无界． 故填①④⑤. 答案：①④⑤ 4．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)＝kx＋b(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有x→∞时f(x)－g(x)→0，则称直线l：y＝kx＋b为曲线y＝f(x)和y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为D＝{x|x＞1}的三组函数如下： ①f(x)＝x2，g(x)＝； ②f(x)＝10－x＋2，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)， 其中，曲线y＝f(x)和y＝g(x)存在“分渐近线”的是________．(填序号) 解析：f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f(x)－g(x)→0. 对于①：f(x)＝x2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝(x－1)→＋∞，所以①不存在； 对于②：f(x)＝10－x＋2，g(x)＝，因为当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋→0，所以存在分渐近线； 对于③：f(x)＝，g(x)＝2(x－1－e－x)， 当x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝＋2＋→0， 因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③. 答案：②③ 5．求函数f(x)＝＋1(0＜x＜100)的值域．([x]表示不大于x的最大整数) 解：①当0＜x＜15时，得0＜＜1， 则＝0，f(x)＝1. ②当15≤x＜100时，－1≤＜－， 所以f(x)＝－＋1， 因为1≤＜＝6，所以＝1,2,3,4,5,6， f(x)＝0，－1，－2，－3，－4，－5. 所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}． 6．已知上凸函数f(x)在定义域内满足f＞.若函数y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC中，求sin A＋sin B＋sin C的最大值． 解：因为y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，则 (sin A＋sin B＋sin C)≤sin＝sin＝，即sin A＋sin B＋sin C≤，当且仅当sin A＝sin B＝sin C时，即A＝B＝C＝时，取等号． 故sin A＋sin B＋sin C的最大值为. 7．已知不等式＋＋…＋＞[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1＝b(b＞0)，an≤，n＝2,3,4，…. (1)证明an＜，n＝3,4,5，…； (2)试确定一个正整数N，使得当n＞N时，对任意b＞0，都有an＜. 解：(1)证明：法一：因为当n≥2时，0＜an≤， 所以≥＝＋，即－≥， 于是有－≥，－≥，…，－≥. 所有不等式两边相加可得－≥＋＋…＋. 由已知不等式知，当n≥3时，有－＞[log2n]． 因为a1＝b，所以＞＋[log2n]＝. 所以an＜. 法二：设f(n)＝＋＋…＋，首先利用数学归纳法证不等式an≤，n＝3,4,5，…. ①当n＝3时，由a3≤＝≤＝知不等式成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，不等式成立， 即ak≤，则ak＋1≤＝ ≤＝ ＝＝， 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②知，an≤，n＝3,4,5，…. 又由已知不等式得an＜＝，n＝3,4,5，…. (2)因为＜，令＜， 则有log2n≥[log2n]＞10⇒n＞210＝1 024， 故取N＝1 024，可使当n＞N时，都有an＜. 8.如图，已知异面直线a，b成60°角，其公垂线段(指与a，b直线垂直相交的线段)EF＝2，长为4的线段AB的两端点A，B 分别在直线a，b上运动． (1)指出AB中点P的轨迹所在位置； (2)求AB中点P的轨迹所在的曲线方程． 解：(1)设EF的中点O，而P为AB的中点，故O，P在EF的中垂面α上，从而P点轨迹在EF的中垂面α上． (2)设A，B在面α上的射影为C，D，则由AP＝PB＝2，AC＝BD＝1，得CD＝2. 因为a∥OC，b∥OD，所以∠COD＝60°. 在平面α内，以O为原点，∠COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系如图．设C点的坐标为(t1，t1)，D点坐标为(t2，－t2)，则P点坐标(x，y)满足 因为CD＝2， 所以[(t1－t2)]2＋(t1＋t2)2＝12. 所以＋y2＝1，故P点轨迹在EF的中垂面α上，且轨迹为椭圆． 9．设P为椭圆＋＝1长轴上一个动点，过P点斜率为k的直线交椭圆于A，B两点．若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值． 解：设点P的坐标为(a,0)，直线方程为 代入椭圆方程＋＝1得(16cos2θ＋25sin2θ)t2＋32acos θt＋16a2－400＝0. 所以t1＋t2＝，t1t2＝. 所以|PA|2＋|PB|2＝t＋t＝(t1＋t2)2－2t1t2 ＝2－2× ＝32×. 因为|PA|2＋|PB|2的值与P无关就是与a无关，所以16cos2θ－25sin2θ＝0，所以k＝±. 10．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)直线 l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，为什么？ 解：(1)当m＝0时，直线l的斜率为0； 当m≠0时，直线l的斜率k＝＝. 当m＞0时，m＋≥2，所以0＜k≤；当m＜0时， m＋≤－2，所以－≤k＜0. 所以直线l的斜率的取值范围是. (2)法一：因为圆心C(4，－2)到直线l的距离d＝＝. 若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°. 所以d＝＝1，即2(m2＋1)＝，化简得3m4＋5m2＋3＝0. 而此方程无实数解，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧． 法二：因为直线l的方程可化为：(m－4)x－(m2＋1)y＝0，所以直线l恒过点(4,0)，此点正好是圆C与x轴的切点，由几何知识可得要使直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则直线l的倾斜角为60°或120°，所以直线l的斜率为±，这与k∈矛盾，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧． [考前状态调节专练] “小题提速＋保分大题”专练 120分(12＋4＋3＋2)保分练(一) (满分：126分 限时：90分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥2}，则(∁UA)∩B＝( ) A．{x|x≤2} B．{x|x≥3} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3} 解析：选D 由条件，得∁UA＝{x|x≤3}， ∴(∁UA)∩B＝{x|2≤x≤3}． 2．设i为虚数单位，则满足条件zi＝3＋4i的复数z在复平面内所对应的点位于( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：选A z＝＝＝4－3i，所以z在复平面内对应的点位于第四象限． 3．已知sin＝，则cos x＋cos的值为( ) A．－ B. C．－ D. 解析：选B 因为sin＝sin x＋cos x＝，所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝. 4．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－1，S6＝39，则a3＋a4＝( ) A．13 B．26 C．39 D．52 解析：选A 法一：由题意，得6×(－1)＋×d＝39(d为公差)，解得d＝3，所以a3＋a4＝－1＋2×3－1＋3×3＝13. 法二：因为S6＝＝3(a1＋a6)＝39，所以a3＋a4＝a1＋a6＝13. 5．已知O为坐标原点，M是双曲线C：x2－y2＝4上的任意一点，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为( ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：选B 因为M是双曲线C：x2－y2＝4上的任意一点，所以可设M(x，y)，其中一条渐近线方程为x－y＝0，则|MN|＝，|OM|＝，|ON|＝＝，所以|ON|·|MN|＝＝2. 6．已知a＝2，b＝(2) ，c＝sin xdx，则实数a，b，c的大小关系是( ) A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a 解析：选C 因为a＝2＝＝，b＝(2) ＝3＝＝，所以a＞b.因为c＝sin xdx＝－cos x＝－(cos π－cos 0)＝＝，所以b＞c，所以a＞ b＞c. 7．已知x，y满足如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D．(－∞，0] 解析：选C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z＝的几何意义为可行域内的点(x，y)与A(m，－1)连线的斜率． 由得即B(2，－1)． 由题意知m＝2不符合题意，故点A与点B不重合， 因而当连接AB时，斜率取到最小值0， 故点A在直线y＝－1上． 由y＝－1与2x－y－2＝0得交点C， 在点A由点C向左移动的过程中，可行域内的点与点A连线的斜率小于2， 因而目标函数的取值范围满足z∈[0,2)，则m＜. 8．函数y＝e|x|－x3的大致图象是( ) 解析：选A 易知函数y＝e|x|－x3为非奇非偶函数，排除B；当x＜0时，y＞0，排除C；当x＝2时，y＝e2－8＜0，排除D，故选A. 9.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是( ) A．110 B．116 C．118 D．120 解析：选D 如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120. 10．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出n的值为( ) A．17 B．16 C．15 D．13 解析：选A 当n＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n＝17. 11．已知三棱锥ABCD外接于球O，底面△BCD的边CD经过球心O，若三棱锥ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为( ) A．16π B．64π C. D. 解析：选B 设球的半径为r，因为底面△BCD的边CD经过球心O，所以△BCD为直角三角形，CD＝2r.若使三角形的面积最大，则点B到边CD的距离最大即可．因为B，C，D三点共面，所以最大距离为半径r，△BCD面积的最大值为×2r×r＝r2.点A到平面BCD的最大距离为r，则三棱锥ABCD的体积的最大值为r2·r＝r3＝，解得r＝4，所以该球的表面积为4π×42＝64π. 12．已知数列{an－2}是公比为的等比数列，且a1＝，设Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则Tn的取值范围为( ) A.∪ B.∪ C. D. 解析：选D 因为a1－2＝－，则an－2＝－n，即an＝2－，于是＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝－＜，当n＝1时，Tn取得最小值，故≤Tn＜. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知(1－2x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a4等于________． 解析：由(1－2x)5＝[3－2(1＋x)]5，得a4＝3C(－2)4＝240. 答案：240 14．已知向量与的夹角为120°，|－|＝2，|－|＝3，若向量＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 解析：由条件可知||＝2，||＝3， 于是·＝2×3×＝－3. 由⊥，得·＝0， 即(λ＋)·(－)＝0， 所以||2＋(λ－1)·－λ||2＝0， 即9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝. 答案： 15．已知函数f(x)＝xln x＋mx2－m在定义域内不存在极值点，则实数m的取值范围为________． 解析：依题意，f′(x)＝ln x＋1＋2mx(x＞0)， 故函数f′(x)不存在变号零点． 令f′(x)＝0，故ln x＋1＋2mx＝0， 即－2m＝； 令g(x)＝，故g′(x)＝， 当0＜x＜1时，g′(x)＞0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增； 当x＞1时，g′(x)＜0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故当x＝1时，函数g(x)有极大值也是最大值1，无最小值． 所以要使函数f(x)在定义域内不存在极值点， 则需－2m≥1，m≤－. 答案： 16．已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y＝－的距离记为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为________． 解析：设|MF|＝m，|NF|＝n， ∵y＝－是抛物线y＝4x2的准线，∴d＝(m＋n)． 又|MN|2＝m2＋n2－2mncos 135°＝m2＋n2＋mn ＝(m＋n)2＋(－2)mn≥(m＋n)2＋(－2)× ＝×(m＋n)2， ∴λ＝≥＝＋2. 当且仅当m＝n时等号成立，故λ的最小值为＋2. 答案：＋2 三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，且·＝0，sin∠BAC＝，AB＝3，BD＝. (1)求AD的长； (2)求cos C的值． 解：(1)因为·＝0，所以AD⊥AC， 所以sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD， 因为sin∠BAC＝，所以cos∠BAD＝. 在△ABD中，由余弦定理可得， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD， 把AB＝3，BD＝代入上式，化简可得AD2－8AD＋15＝0， 解得AD＝5或AD＝3. 因为AB＞AD，所以AD＝3. (2)在△ABD中，由正弦定理可得， ＝， 又由cos∠BAD＝可得sin∠BAD＝， 所以sin∠ADB＝＝. 因为∠ADB＝∠DAC＋C＝＋C， 所以cos C＝cos＝sin∠ADB＝. 18．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点． (1)证明：A1O⊥平面ABC； (2)求二面角AA1BC1的余弦值． 解：(1)证明：∵AA1＝A1C，且O为AC中点， ∴A1O⊥AC， 又侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC. (2)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz. 由已知可得O(0,0,0)，A(0，－1，0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)，B(，0,0)， ∴＝(，1,0)，＝(，0，－)，＝(0,2,0)． 设平面AA1B的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝1，得y1＝－，z1＝1， ∴m＝(1，－，1)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即 易得y2＝0，令x2＝1，则z2＝1，∴n＝(1,0,1)， ∴|cos〈m，n〉|＝＝＝， 由图知，二面角AA1BC1的平面角为钝角， ∴所求二面角AA1BC1的余弦值为－. 19．(本小题满分12分)中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响． (1)若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？ (2)求M获胜场数X的分布列和数学期望． 解：(1)记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， 由于事件A，B，C相互独立，所以P(D)＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＋××＝. 由于＞，所以M会入选最终的大名单． (2)M获胜场数X的可能取值为0,1,2,3，则 P(X＝0)＝P()＝××＝， P(X＝1)＝P(A )＋P( C)＋P(B) ＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝， 所以M获胜场数X的分布列为： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 解：(1)由消去t得x＋y－4＝0， 所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 由ρ＝2cosθ－＝2cos θcos＋sin θsin＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ. 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式， 得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2. 所以曲线 C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)法一：设曲线C上的点P(1＋cos α，1＋sin α)，则点P到直线l的距离d＝＝＝. 当sin＝－1时，dmax＝2. 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2. 法二：设与直线l平行的直线l′：x＋y＋b＝0(b≠－4)， 当直线l′与圆C相切时，＝， 解得b＝0或b＝－4(舍去)， 所以直线l′的方程为x＋y＝0. 所以直线l与直线l′的距离d＝＝2. 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|. (1)若f(1)＜3，求实数a的取值范围； (2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2. 解：(1)因为f(1)＜3，所以|a|＋|1－2a|＜3. 当a≤0时，得－a＋(1－2a)＜3， 解得a＞－，所以－＜a≤0； 当0＜a＜时，得a＋(1－2a)＜3， 解得a＞－2，所以0＜a＜； 当a≥时，得a－(1－2a)＜3， 解得a＜，所以≤a＜. 综上所述，实数a的取值范围是. (2)证明：f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|， 因为a≥1，所以f(x)≥3a－1≥2. 120分(12＋4＋3＋2)保分练(二) (满分：126分 限时：90分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝( ) A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4] 解析：选B ∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∪B＝{x|－2≤x≤4}． 2．“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 若a2－1＋2(a＋1)i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，反之也成立．故选A. 3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于( ) A. B．± C．± D. 解析：选B 由题意可得，c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±. 4．如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x)＝sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B 最小范围内的最高点坐标为，原点到最高点的距离为半径，即n2＝＋3，解得n＝2. 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．8＋4 B．4＋8 C．4＋2 D．8＋4 解析：选A 由三视图知，该几何体是由两个相同的直三棱柱AODEFG和BOFCDG组合而成的，如图所示，则该几何体的表面积为 ×2×1＋×(1＋2)×2＋2×＋×(1＋2)×2＋2×＋×2×1＝8＋4. 6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象与直线y＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f(x)的单调递减区间是( ) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解析：选A f(x)＝2sin， 由题意得T＝π，即＝π，所以ω＝2， 则f(x)＝2sin. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 7．运行如图所示的程序框图，则输出的S值为( ) A. B. C. D. 解析：选A 由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为. 8．函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是( ) A．(－3，－1) B．(－1,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析：选C 因为3t2dt＝t3＝8－1＝7， ∴g(x)＝2ex＋x－7，g′(x)＝2ex＋1＞0， g(x)在R上单调递增，g(－3)＝2e－3－10＜0， g(－1)＝2e－1－8＜0，g(1)＝2e－6＜0， g(2)＝2e2－5＞0，g(3)＝2e3－4＞0. 9．在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是( ) A. B. C. D. 解析：选B 如图，由||＝||＝||知，D为△ABC的外心，由·＝·＝·知，D为△ABC的垂心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.由||＝1，知点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，取AC的中点E，则||＝3，因为M是PC的中点，所以|EM|＝|AP|＝，当B，E，M三点共线时，||最大，所以||max＝||＋＝，则||＝. 10．已知实数x，y满足不等式组若直线x＋y＋b＝0与不等式组表示的平面区域无公共点，则b的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－5) C．(－∞，－5)∪(－1，＋∞) D．(－5，－1) 解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＋y＋b＝0过点A(1,0)时，b＝－1，其纵截距为1；当直线x＋y＋b＝0过点B(3,2)时，b＝－5，其纵截距为5，所以当直线x＋y＋b＝0与不等式组表示的可行域无交点时，b＞－1或b ＜－5. 11．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若－7·－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是( ) A. B. C. D. 解析：选C ∵{an}是正项等比数列， 设{an}的公比为q(q＞0)， ∴＝q6，＝q3， ∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2， 又a1ama2n＝2a，∴a·2m＋2n－2＝2(a124)3＝a213， ∴m＋2n＝15， ∴＋＝(m＋2n) ＝≥＝， 当且仅当＝，n＝2m，即m＝3，n＝6时等号成立， ∴＋的最小值是. 12．已知曲线f(x)＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数g(x)＝f(x)－|ln x|的两个零点，则( ) A．1＜x1x2＜ B.＜x1x2＜1 C．2＜x1x2＜2 D.＜x1x2＜2 解析：选B 依题意得f′(x)＝－2ke－2x，f′(0)＝－2k＝－1，解得k＝.在同一坐标系下画出函数y＝f(x)＝e－2x与y＝|ln x|的大致图象如图所示，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－2x1＝|ln x1|＝－ln x1∈，e－2x2 ＝|ln x2|＝ln x2∈，e－2x2－e－2x1＝ln x2＋ln x1＝ln(x1x2)∈，于是有e－＜x1x2＜e0，即＜x1x2＜1. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：①如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；②如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；③不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________． 解析：若要开启1号阀门，由①知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由②知，关闭4号阀门，由③知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门． 答案：2号和3号 14．若函数f(x)＝4sin 5ax－4cos 5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________． 解析：因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±. 答案：± 15．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________． 解析：∵直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|·sin 60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1. 答案：＋1 16．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________． 解析：由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0，得f(x)＝21－|x|， 画出y＝ 与y＝21－|x|的图象如图所示，可知它们有2个交点，所以零点有2个． 答案：2 三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋a，数列{bn}满足bn＝2－log2a. (1)求常数a的值； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22＋a＝4＋a， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋a－(2n＋a)＝2n， ∵{an}为等比数列，∴a＝a1·a3， 即(22)2＝(4＋a)·23，解得a＝－2. (2)由(1)知an＝2n，则bn＝2－log223n＝2－3n， ∵bn＋1－bn＝－3对一切n∈N*都成立， ∴{bn}是以－1为首项，－3为公差的等差数列， ∴Tn＝nb1＋d＝. 18.(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)若直线AC与PD所成角为60°，求二面角APCD的余弦值． 解：(1)证明：∵PH⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PH⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PH＝H，AD⊂平面PAD，PH⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. (2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， ∵PH⊥平面ABCD， ∴z轴∥PH. 则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0，2,0)，设AH＝a，PH＝h(0＜a＜2，h＞0)． 则P(0，a，h)． ∴＝(0，a，h)，＝(0，a－2，h)，＝(1,1,0)． ∵PA⊥PD，∴·＝a(a－2)＋h2＝0. ∵AC与PD所成角为60°， ∴|cos〈，〉|＝＝， ∴(a－2)2＝h2，∴(a－2)(a－1)＝0， ∵0＜a＜2，∴a＝1. ∵h＞0，∴h＝1，∴P(0,1,1)． ∴＝(0,1,1)，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,0)， 设平面APC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝1，得y1＝－1，z1＝1， 故平面APC的一个法向量为n＝(1，－1,1)． 设平面DPC的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 由即 令x2＝1，得y2＝1，z2＝1， 故平面DPC的一个法向量为m＝(1,1,1)． ∴cos〈m，n〉＝＝. ∵二面角APCD的平面角为钝角， ∴二面角APCD的余弦值为－. 19．(本小题满分12分)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率； (2)在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的分布列及数学期望. 解：(1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A， 则P(A)＝＝. 故在一次游戏中摸出3个白球的概率为. (2)X的所有可能取值为0,1,2，由题意知在一次游戏中未中奖的概率是 P＝·＋·＋·＝， 所以P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝×＝. 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系下，直线l：(t为参数)，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值． 解：(1)直线l的普通方程为x－y－1＝0. 由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4， 所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 2＋2＝4，即t2－t－3＝0， 设方程t2－t－3＝0的两根分别为t1，t2， 则t1＋t2＝，t1t2＝－3， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|； (2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求mn的最小值． 解：(1)当a＝1时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|， 即|x－1|≥2， ∴x－1≥2或x－1≤－2，即x≥3或x≤－1， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)f(x)≤1⇔|x－a|≤1⇔－1≤x－a≤1⇔a－1≤x≤a＋1， ∵f(x)≤1的解集为[0,2]， ∴解得a＝1. ∴＋＝1≥2(m＞0，n＞0)， ∴mn≥2，当且仅当m＝2，n＝1时取等号． ∴mn的最小值为2. 120分(12＋4＋3＋2)保分练(三) (满分：126分 限时：90分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知复数z＝，则z的虚部为( ) A．－i B.i C．－ D. 解析：选D z＝＝＝(4＋3i)＝＋i，故选D. 2．已知a，b是平面向量，若|a|＝，|b|＝，(a＋2b)⊥(2a－b)，则a·b的值为( ) A．－2 B．－1 C．2 D．3 解析：选A 由题意可得(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，也即3a·b＝－6，故a·b＝－2. 3．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( ) A. B. C．1 D. 解析：选A ∵tan α＝， ∴cos2α＋2sin 2α＝＝ ＝＝. 4．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－6，则a的值为( ) A．－1 B．1 C．－ D. 解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a≥0时，易知z＝y－x无最小值，故a＜0，平移直线y＝x，当直线经过点A时，z＝y－x有最小值，联立解得A，zmin＝0＋＝－6，解得a＝－. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π 解析：选A 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π. 6．已知四面体PABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体PABC的外接球半径为( ) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选A ∵PA⊥平面PBC，AC＝2，PA＝4， ∴PC＝2，∴△PBC为等边三角形， 设其外接圆半径为r，则r＝2， 又球心O在底面PBC的投影即为△PBC的外心， ∴外接球半径为 ＝2. 7．执行如图所示的程序框图，若输出的n＝9，则输入的整数P的最小值是( ) A．50 B．77 C．78 D．306 解析：选C 模拟程序框图的运行过程，如下： n＝1，S＝0，输入P，S＝0＋2＝2，n＝2，S≤P， S＝2＋22＝6，n＝3，S≤P， S＝－6＋23＝2，n＝4，S≤P， S＝2＋24＝18，n＝5，S≤P， S＝－18＋25＝14，n＝6，S≤P， S＝14＋26＝78，n＝7，S≤P， S＝－78＋27＝50，n＝8，S≤P， S＝50＋28＝306，n＝9，S>P， 终止循环，输出n＝9， 所以P的最小值为78. 8．函数y＝的图象大致是( ) 解析：选D 易知函数y＝是偶函数，可排除B，当x＞0时，y＝xln x，y′＝ln x＋1，令y′＞0，得x＞e－1，所以当x＞0时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D. 9.函数y＝f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，关于函数y＝f(x)(x∈R)，有下列命题： ①y＝f(x)的图象关于直线x＝对称； ②y＝f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到； ③y＝f(x)的图象关于点对称； ④y＝f(x)在上单调递增． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C 依题意可得T＝2×＝π， 故T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)， 由 f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点， 可得2sin2×＋φ＝2，即sin＝1， 又－＜φ＜，故φ＝－， 即f(x)＝2sin. 因为f＝2sin＝0， 所以①错误，③正确； y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin＝2sin的图象，②正确； 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 取k＝0，得－≤x≤， 即y＝f(x)在上单调递增，④正确． 10．今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A．12日 B．16日 C．8日 D．9日 解析：选D 由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an＝103＋13(n－1)＝13n＋90. 驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn＝97－(n－1)＝－n＋， 二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250， 所以＋＝2 250， 即＋＝2 250， 化简得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)． 11．已知A，B是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率e的取值范围是( ) A．(1,2] B．[2，＋∞) C．(1，] D．[，＋∞) 解析：选B 如图，设点P 是双曲线左支上的点，并设双曲线左顶点为E，则2|＋|≤||，可化为4||≤2c(2c为双曲线的焦距)，||≤c，易证||≥a，于是a≤c，所以e≥2. 12．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2,2] 上仅有一个实根，则实数a的取值范围为( ) A．(－4,0]∪[1,28) B．[－4,28] C．[－4,0)∪(1,28] D．(－4,28) 解析：选C 设函数f(x)＝2x3－3x2＋a， f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，x∈[－2,2]． 令f′(x)＞0，得－2≤x＜0或1＜x≤2， 令f′(x)＜0，得0＜x＜1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减， 在[－2,0)，(1,2]上单调递增． 又f(－2)＝－28＋a，f(0)＝a， f(1)＝－1＋a，f(2)＝4＋a， ∴－28＋a≤0＜－1＋a或a＜0≤4＋a， 即a∈[－4,0)∪(1,28]． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在6的展开式中，常数项等于________． 解析：依题意，二项式6的展开式的通项Tr＋1＝C·6－r·r＝C·26－r·x.令－6＝0得r＝4.因此，二项式6的展开式中，常数项等于C·22＝60. 答案：60 14．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种． 解析：3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有CCCC＝540种． 答案：540 15．已知直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点M，N，且OM―→·ON―→＝－4，O是坐标原点，则直线l必过定点________． 解析：设l：x＝ky＋b，代入抛物线y2＝4x， 消去x得y2－4ky－4b＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4b，OM―→·ON―→＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋b)(ky2＋b)＋y1y2 ＝k2y1y2＋bk(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bk2＋4bk2＋b2－4b＝b2－4b＝－4， ∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)． 答案：(2,0) 16．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是________． 解析：设x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]， ∴f(－x)＝－x－1＝2x－1， ∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝2x－1. ∵对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)， ∴当x∈[2,4]时，(x－4)∈[－2,0]， ∴f(x)＝f(x－4)＝x－4－1； 当x∈[4,6]时，(x－4)∈[0,2]， ∴f(x)＝f(x－4)＝2x－4－1. ∵在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点， 作出两个函数的图象如图所示， 易知解得2＜a＜2，即＜a＜2， 因此所求a的取值范围是(，2)． 答案：(，2) 三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，已知c＝a2－b2. (1)求角A； (2)若a＝，求b＋c的取值范围． 解：(1)由c＝a2－b2，cos B＝， 得a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，∴a2＝b2＋c2－bc. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)法一：∵＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C. ∴b＋c＝2sin B＋2sin C ＝2sin B＋2sin(A＋B) ＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B ＝2sin B＋2×cos B＋2×sin B ＝3sin B＋cos B ＝2sin. ∵B∈，∴B＋∈， ∴sin∈， ∴b＋c∈(，2 ]． 法二：∵a＝， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A， 即3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc. ∵bc≤2， ∴3≥(b＋c)2－32， ∴(b＋c)2≤12，即b＋c≤2. 当且仅当b＝c＝时，取等号． ∵b＋c＞a＝，∴b＋c∈(，2 ]． 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． (1)求证：BE∥平面PDF； (2)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小． 解：(1)证明：取PD中点M，连接ME，MF. ∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线， ∴ME∥CD且ME＝CD. ∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD且AB＝CD， ∴ME∥AB且ME＝AB， 又F是AB的中点，∴ME∥FB且ME＝FB， ∴四边形MEBF是平行四边形，从而BE∥FM. ∵BE⊄平面PDF，FM⊂平面PDF， ∴BE∥平面PDF. (2)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，C(，3,0)， D(0,2,0)，B(，1,0)， F， 易知DF⊥平面PAB， ∴＝是平面PAB的一个法向量． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(，1,0)，＝(0,2，－1)， 则即 令y＝，可得x＝－1，z＝2， ∴n＝(－1，，2)． 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为θ， 则|cos θ|＝|cos〈，n〉|＝＝， 故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为60°. 19．(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由； (3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当x＝3时，估计该市居民的月平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替) 解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30. (2)∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85， 而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， ∴2.5＜x＜3. 由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9. 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． (3)设居民月用水量为t吨，相应的水费为y元，则 y＝即y＝ 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10) [10，12) [12，16) [16，20) [20，24] 频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02 根据题意，该市居民的月平均水费估计为 1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)． 四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ2(3＋sin2θ)＝12，曲线C2的参数方程为(t为参数)，α∈. (1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； (2)设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P(1,0)，当|PA|＋|PB|＝时，求cos α的值． 解：(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12得＋＝1，该曲线是椭圆． (2)将代入＋＝1， 得(4－cos2α)t2＋6tcos α－9＝0， 所以t1＋t2＝，t1t2＝， 由直线参数方程的几何意义， 设|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|， 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝＝，所以cos2α＝. 因为α∈，所以cos α＝. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 (1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围； (2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba. 解：(1)由y＝| x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，只需m≥6. 所以实数m的取值范围为[6，＋∞)． (2)证明：因为a，b均为正数，所以要证aabb≥abba， 只需证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1. 当a≥b时，a－b≥0，≥1，可得a－b≥1， 当a＜b时，a－b＜0,0＜＜1，可得a－b＞1， 故a，b均为正数时，a－b≥1， 当且仅当a＝b时等号成立， 故aabb≥abba成立． 120分(12＋4＋3＋2)保分练(四) (满分：126分 限时：90分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－7x＋5≤0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m＝( ) A．1 B．2 C．1或 D．1或2 解析：选D 依题意得Q＝{x|(2x－5)(x－1)≤0，x∈Z}＝＝{1,2}，因为P∩Q≠∅，P＝{0，m}，所以m＝1或m＝2. 2．复数＝( ) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：选A ＝＝＝＝i. 3．设{an}是公差不为零的等差数列，满足a＋a＝a＋a，则该数列的前12项和等于( ) A．－10 B．－5 C．0 D．5 解析：选C 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)，由a＋a＝a＋a，得(a1＋4d)2＋(a1＋5d)2＝(a1＋6d)2＋(a1＋7d)2，整理得2a1＋11d＝0，即a1＋a12＝0，所以S12＝＝0. 法二：由a＋a＝a＋a，得a－a＝a－a，即(a5＋a7)(a5－a7)＝(a8＋a6)(a8－a6)．因为{an}是公差不为零的等差数列，设其公差为d(d≠0)，则2a6×(－2d)＝2a7×2d，即a6＋a7＝0，所以S12＝＝6(a6＋a7)＝0. 4．由函数g(x)＝4sin xcos x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，则f＝( ) A. B. C. D. 解析：选C 函数g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝2sin eq lc( c)(avs4alco1(2x＋f(2π,3)))的图象， 即f(x)＝2sin.故f＝2sin ＝2sin＋＝2 ＝2×＋×＝. 5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1，x)，若a⊥(a－b)，则x＝( ) A．2 B．2.5 C．5 D．5.5 解析：选D 因为a＝(2,4)，b＝(－1，x)，所以a－b＝(3,4－x)，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝2×3＋4(4－x)＝0，解得x＝5.5. 6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是( ) A. B．4π C．6π D．12π 解析：选A 这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为1，高为2的圆柱，上半部分是一个底面半径为2，高为1的圆锥，故其体积为π×12×2＋π×22×1＝. 7.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积分别称朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷3 000颗图钉，则落在黄色图形内的图钉数约为(≈1.732)( ) A．134 B．268 C．402 D．536 解析：选C 设大正方形的边长为2，由图中直角三角形的两直角边长之比为1∶，可得小正方形的边长为－1，所以小正方形与大正方形的面积比值为＝1－，所以落在小正方形内的图钉数为×3 000≈×3 000＝402. 8．直线x－y＋1＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的对称轴及准线相交于同一点，若该直线与抛物线的交点为P(a，b)，则 dx＝( ) A．－1 B．1 C．ln 2 D．ln 3 解析：选C 易知三线交点的坐标为，代入直线方程x－y＋1＝0，得p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x，与直线的方程联立得交点的坐标为P(1,2)， 所以 dx＝ dx＝ln x＝ln 2. 9．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 10．函数f(x)＝＋ln |x|的图象大致为( ) 解析：选B 因为f(1)＝1，排除A项；当x>0时，f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，所以当0查看更多