2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

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江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年第二学期高二期中考试 数学试题（理科）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 计算：的值为 ▲ . ‎ ‎2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部是 ▲ . ‎ ‎3. 已知，则= ▲ .‎ ‎4. 已知复数，其中为虚数单位，则的模是 ▲ . ‎ ‎5. 用反证法证明“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 ▲ . ‎ ‎6. 用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步中的值应取 ▲ .‎ ‎7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ▲ 种.‎ ‎8. 除以9的余数为 ▲ .‎ ‎9. 若，则的值为___▲___.‎ ‎10. 已知不等式，，，照此规律总结出第个不等式为 ▲ .‎ ‎11. 在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比（如图所示），把这个结论类比到空间：在三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于点，则得到的结论是_ ▲ .‎ ‎12. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为___▲___.‎ ‎13. 把正整数排成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，则 ▲ .‎ ‎14. 三角形的周长为31，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 已知复数是纯虚数. ‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）若复数，满足，求的最大值.‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ ‎（1）设，求证：；‎ ‎（2）已知非零实数是公差不为零的等差数列，求证： ．‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？‎ ‎（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒；‎ ‎（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；‎ ‎（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒；‎ ‎（4）甲不在第一棒.‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中的项；‎ ‎（3）求展开式中系数最大的项.‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知等差数列的公差d大于0，且是方程的两根，‎ 数列的前n项和为，且 ‎(1)求数列、的通项公式；‎ ‎(2)设数列的前n项和为,试比较与的大小，并用数学归纳法给予证明．‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 已知.‎ ‎（1）设，求中含项的系数；‎ ‎（2）化简：；‎ ‎（3）证明：‎ ‎2018-2019学年第二学期高二期中考试 数学试题（理科）答案 一、填空：‎ ‎1. 15 2. 3. 4或6 4. 5. a，b都不能被5整除 ‎6. 5 7. 30 8. 9. 1 10. 11. 12. 420 13. 3974 14. 24‎ 二、解答题：‎ ‎15. 解:(1)复数 是纯虚数. ,计算得出. 的值是1..........................................................................................8分 ‎(2)由(1)可以知道:.设. ,,, . 可以知道:,. 的最大值为 ‎3................................................................................14分 注：法二：用复数的几何意义 ‎16. ‎ ‎（1）由……4分 因为所以 所以………………………7分 ‎（2）（反证法）假设， 则．    ① 而．        ② 由①②，得，即， 于是，这与非零实数成公差不为零的等差数列矛盾，‎ 故假设不成立，原命题结论成立，即成立．…………………14分 ‎17. 解：（1）60 ………………………3分 ‎(2)480 ………………………6分 ‎(3)180 ………………………10分 ‎(4)1470 ………………………14分 ‎（16分）‎ ‎（10分）‎ ‎（16分）‎ ‎（10分）‎ ‎18‎ ‎19. 解　(1)由已知得 因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，所以a2＝3，a5＝9.‎ 所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1. ………………………2分 因为Tn＝1－bn，所以b1＝.‎ 当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，‎ 所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－1－bn－1，‎ 化简得bn＝bn－1，‎ 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，‎ 即bn＝·n－1＝.‎ 所以an＝2n－1，bn＝. ………………………6分 ‎(2) 因为Sn＝×n＝n2，‎ 所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.‎ 下面比较与Sn＋1的大小：‎ 当n＝1时，＝，S2＝4，所以S5. ………………………8分 猜想：n≥4时，＞Sn＋1. ………………………9分 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝4时，已证．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时，>Sk＋1，即＞(k＋1)2， …………………10分 那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3‎ ‎＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1> k2＋4k＋4 =[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1 …14分 所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．‎ 由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．‎ 综上所述，当n＝1,2,3时，Sn＋1. ………………………16分 ‎20. 解：（1）由 所以中含项的系数为：‎ ‎………………………3分 ‎（2）通项为 ………………………5分 ‎………………………10分 ‎(如采用组合恒等式证明相应给分)‎