2014安徽（文科数学）高考试题

2014安徽（文科数学）高考试题

‎2014·安徽卷(文科数学)‎ ‎1． [2014·安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－i B．i C．－1 D．1‎ ‎1．D　[解析] i3＋＝－i＋＝1.‎ ‎2． [2014·安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，|x|＋x2<0 ‎ B．∀x∈R，|x|＋x2≤0‎ C．∃x0∈R，|x0|＋x<0 ‎ D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0‎ ‎2．C　[解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．‎ ‎3． [2014·安徽卷] 抛物线y＝x2的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1 B．y＝－2 ‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ ‎3．A　[解析] 因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.‎ ‎4． [2014·安徽卷] 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)‎ 图11‎ A．34 B．55 C．78 D．89‎ ‎4．B　[解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：‎ 第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；‎ 第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；‎ 第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；‎ 第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；‎ 第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；‎ 第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；‎ 第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；‎ 第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环．‎ ‎5． [2014·安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)‎ A．ba＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c0，所以φmin＝.‎ ‎8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是(　　)‎ 图12‎ A. B. C．6 D．7‎ ‎8．A　[解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V＝8－2×××1×1×1＝.‎ ‎9． [2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A．5或8 B．－1或5 ‎ C．－1或－4 D．－4或8‎ ‎9．D　[解析] 当a≥2时，‎ f(x)＝ 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.‎ 当a<2时，f(x) 由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.‎ ‎10． [2014·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ ‎10．B　[解析] 令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S30)可得h′(x)＝1－＝，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．‎ ‎16． [2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．‎ ‎16．解： 由三角形面积公式，得 ×3×1·sin A＝，故sin A＝.‎ 因为sin2A＋cos2A＝1，‎ 所以cos A＝±＝±＝±.‎ ‎①当cos A＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，‎ 所以a＝2 .‎ ‎②当cos A＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2 .‎ ‎17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．‎ 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．‎ ‎(1)应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ 图14‎ ‎(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2＝ ‎17．解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.‎ ‎(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75 ‎ ‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300 ‎ 结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.‎ 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎18． [2014·安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎18．解： (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以 ‎＝1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，‎ 从而可得bn＝n·3n.‎ Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，①‎ ‎3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.②‎ ‎①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，‎ 所以Sn＝.‎ ‎19． [2014·安徽卷] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ 图15‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．‎ ‎19．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.‎ 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.‎ 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.‎ 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.‎ 又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，‎ 所以GK是梯形GEFH的高．‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，‎ 所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.‎ 由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，‎ 所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.‎ ‎20． [2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.‎ ‎(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；‎ ‎(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．‎ ‎20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，‎ f′(x)＝1＋a－2x－3x2.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝，‎ x2＝，且x1x2时，f′(x)<0；‎ 当x10.‎ 故f(x)在和 内单调递减，‎ 在内单调递增．‎ ‎(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，‎ ‎①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．‎ ‎②当0b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ ‎21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.‎ 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得 ‎|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得 ‎|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2·cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)· (2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.‎ 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A.‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形，‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎