甘肃省临夏市临夏中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

甘肃省临夏市临夏中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析

甘肃省临夏中学2019—2020学年第一学期第一次月考试卷 一、单选题（共40分，每小题4分）‎ ‎1.中，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三角形面积公式知，故选B.‎ ‎2.若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察数列，可知分子为1，分母的数值成等差数列，正负相间，进而可求出数列的通项公式.‎ ‎【详解】由数列的前4项分别是，‎ 可知：第项的符号为，其绝对值为．‎ 因此此数列的一个通项公式为 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.‎ ‎3.设分别是△ABC的三边长，且，则△ABC是（　　）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得C为最大角,由余弦定理可得值,可判三角形形状.‎ ‎【详解】解:由三角形大边对大角可得C为最大角,‎ 由余弦定理可得,‎ 为钝角,为钝角三角形.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理,涉及三角形的三边关系,属基础题.‎ ‎4.在中，角、、的对边分别为、、，已知，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理得到，再由正弦定理得到进而得到结果.‎ ‎【详解】在中，角、、的对边分别为、、，已知，根据正弦定理得到 ‎ 进而得到，故 故答案为：B.‎ ‎【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎5.等差数列的前n项和为，己知，，则　　‎ A. 110 B. ‎200 ‎C. 210 D. 260‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得，，成等差数列，根据等差中项公式，列出方程，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】由题意，等差数列的前n项和为，，，‎ 由等差数列的性质得，，成等差数列，‎ 即，，成等差数列，‎ 所以，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中根据等差数列的性质，得到，，成等差数列，利用等差中项公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎6.（2016全国1改编）记为等差数列的前n项和．若，则 A. 72 B. ‎48 ‎C. 64 D. 54‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据等差数列的性质可知，所以，故选A.‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎7.在中，已知，且，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 4或8 D. 无解 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用余弦定理求解．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ 即，解得或．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理．解三角形中公式较多，可根据已知条件灵活选用公式，选用公式使解题过程越简单越好．‎ ‎8.一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距，此时船的速度为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意及图形在中,利用正弦定理求出AB的长,再利用物理知识解出速度即可.‎ ‎【详解】解:因为在中,已知,且边,‎ 利用正弦定理可得: ,‎ 又因为从A到S匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:.‎ 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题.‎ ‎9.在锐角三角形中, 分别是角的对边, ,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由已知求出，然后可把化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数的性质得取值范围.‎ 详解：由得，‎ 即，∴，∴，从而，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又，∴，‎ ‎∴，，∴.‎ 故选B.‎ 点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的基础.‎ ‎10.已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在R上为奇函数,知,令,则,得到.由此能够求出数列 的通项公式.‎ ‎【详解】解:在R上为奇函数 故,代入得: ‎ 当时,.‎ 令,则,上式即为:.‎ 当偶数时:‎ ‎.‎ 当为奇数时:‎ ‎.‎ 综上所述,.‎ 所以C选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,要求学生理解.本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答.‎ 二、填空题（共16分，每小题4分）‎ ‎11.在等差数列{an}中，已知，则=_______________.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎∵数列{an}是等差数列，且，‎ ‎∴‎3a5=15，a5=5.‎ ‎.‎ 答案为20.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系，利用整体代换思想解答.‎ ‎12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则角A= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，根据余弦定理又因为 考点：利用余弦定理解三角形.‎ ‎13.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时， ；当时， ，故数列的通项公式为 ‎ ‎14.在中，内角、、所对的边分别为、、，且满若点是外一点，，则四边形的面积的最大值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子,由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B,结合条件判断出为等边三角形,设求出的范围,利用三角形的面积公式与余弦定理,表示出,利用辅助角公式化简,由的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB面积的最大值.‎ ‎【详解】解:，‎ 化简得 为三角形内角,, ‎ 由得,‎ 又, 为等边三角形 设,则 ‎,‎ 当,即时,取得最大值1,‎ 平面四边形OACB面积的最大值为 ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式、两角和的余弦公式、余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数的性质，题目较为综合，涉及面较广，属于难题.‎ 三、解答题（共44分）‎ ‎15.在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝‎2A．‎ ‎（1）求cos A的值；‎ ‎（2）求c的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，‎ 所以在△ABC中，由正弦定理得＝.‎ 所以＝.故cos A＝.‎ ‎(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.‎ 又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos‎2A－1＝.‎ 所以sin B＝＝.‎ 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋‎ cos Asin B＝.‎ 所以c＝＝5.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.‎ ‎(1)求证：数列为等差数列；‎ ‎(2)a‎1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) a‎1a2是数列{an}中项，是第11项．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得，数列{an}是非0数列，递推关系式取倒数，即可判断是首项为5，公差为4的等差数列.‎ ‎(2)求数列的通项公式，求出，令它等于通项，求出n的值即可得出结论.‎ ‎【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，‎ 即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．‎ ‎(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.‎ 又，解得n＝11.‎ 所以a‎1a2是数列{an}中的项，是第11项．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的判断，数列通项公式的求法，考查计算能力. 熟练掌握等差数列的定义和通项公式是解决此题的关键.‎ ‎17.记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得‎3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.设角所对边分别为，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若的面积，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据同角三角函数关系求由正弦定理求的值；（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理求，最后求的周长.‎ ‎【详解】解（1）‎ 由正弦定理,得.‎ ‎（2） .‎ 由余弦定理得，‎ 周长为 ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎19.为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，‎ 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，‎ ‎∵a12+‎2a1＝‎4a1+3，‎ ‎∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，‎ 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n+1，‎ ‎∴bn（），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎ ‎ ‎