福建省平和一中南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题

福建省平和一中南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题

福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知曲线方程为，P为曲线上任意一点，A，B为曲线的焦点，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. ‎2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，，中位数分别为y1，y2，则（　　）‎ A. , B. , C. , D. ,‎ 4. 双曲线-=1的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是（　　）‎ A. 数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D. 数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 6. ‎“m＞n＞‎0”‎是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 7. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 6‎ 8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（　　）‎ A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有个白球 D. 至少有一个红球与都是红球 9. 过A（2，-1）的直线l与抛物线y2=4x相交于C，D两点，若A为CD中点，则直线l的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段AB=2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=AB，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（　　） （参考数据：2.236）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. B. C. 3 D. 5‎ 2. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. 2‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为______．‎ 4. P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为______．‎ 5. 过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是______ ．‎ 6. 以下四个关于圆锥曲线的命题： （1）直角坐标系内，到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线； （2）设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线； （3）方程2x2-4x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； （4）若直线mx+ny=4和⊙O：x2+y2=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆=1的交点个数为2． 其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 7. 已知命题p：（x-3）（x+2）＜0，命题q：＞0，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数x的取值范围． ‎ 8. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查． （Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； （Ⅱ）若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析； ①列出所有可能抽取的结果； ②求抽取的2所学校没有大学的概率． ‎ 1. 已知椭圆的右焦点为F（1，0），且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求弦长|MN| ‎ 2. 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图． （Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数； （Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是=2x+33．若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费． ‎ 3. 已知抛物线C的准线方程为x=-． （Ⅰ）求抛物线C的标准方程； （Ⅱ） 若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB 为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数． ‎ 1. 如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，离心率e=，长轴与短轴的长度之和为10． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）在椭圆E上任取点P（与A、B两点不重合），直线PA交y轴于点C，直线PB交y轴于点D，证明：为定值．‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：曲线方程为，P为曲线上任意一点，A，B为曲线的焦点， 根据椭圆的定义的应用，|PA|+|PB|=‎2a=8． 故选：B． 直接利用椭圆的方程和椭圆的定义的应用求出结果． 本题考查的知识要点：椭圆的方程的应用和定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上， 故焦点坐标为（0，）， 故选：C． 把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标． 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由茎叶图知甲的最高分为27，最低分为13，则==17.8，中位数y1=14； 由茎叶图知乙的最高分为22，最低分为10，则==15.4，中位数y2=14， 所以＞，y1=y2． 故选：B． 根据茎叶图分别判断甲、乙的最高分和最低分，利用平均数公式及中位数的定义分别求出甲、乙的平均数与中位数，可得答案． 本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与中位数． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，双曲线-=1的焦点在x轴上， 且a==2，b=， 则其渐近线方程y=±x； 故选：C． 根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案． 本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义，属于基础题． ​根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断． ​【解答】 解：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中． 方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高． 平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否． 故选：B． ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：若m＞n＞0，则方程表示焦点在y轴上的椭圆； 反之，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m＞n＞0， ∴“m＞n＞‎0”‎是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件． 故选：C． 由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案． 本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1， ∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ∴|AB|=x1+x2+2， 又x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故选：C． 抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值． 本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题． 利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【解答】 解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球， 在A中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，故A正确； 在B中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故B错误； 在C中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误； 在D中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的综合问题，解决本题的关键在于灵活利用点差法，属于中等题． ​设点C（x1，y1）、D（x2，y2），先利用中点坐标公式得出，然后将C、D两点坐标代入抛物线的标准方程，并将两式作差，可求出直线l的斜率，然后由直线l过点A，利用点斜式可得出直线l的方程． ​【解答】 解：设点C（x1，y1）、D（x2，y2），由于点A（2，-1）为线段CD的中点， 则，所以， 将点C、D的坐标分别代入抛物线的方程得， 将上述两个等式相减得，即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）， 所以，-2（y1-y2）=4（x1-x2），则直线l的斜率为， 因此，直线l的方程为y+1=-2（x-2），即2x+y-3=0‎ ‎． 故选：A． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由勾股定理可得：AC=， 由图可知：BC=CD=1， AD=AE=≈1.236，BE≈2-1.236=0.764， 则：0.764≤AF≤1.236， 由几何概型中的线段型，可得： 使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236， 故选：A． 由勾股定理可得：AC=，由图易得：0.764≤AF≤1.236， 由几何概型中的线段型，可得：使得BE≤AF≤AE的概率约为=0.236，得解． 本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离． 本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键． 【解答】 解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合 ∴4+b2=9 ∴b2=5 ∴双曲线的一条渐近线方程为，即 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选：A． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：如图，∵，，∴OA⊥F1B， 则F1B：y=（x+c）， 联立，解得B（，）， 则+=c2， 整理得：b2=‎3a2，∴c2-a2=‎3a2，即‎4a2=c2， ∴=4，e==2． 故选：D． 由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y=x联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 13.【答案】∀n∈N，n2≤2n ‎ ‎【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀n∈N，n2≤2n”， 故答案为：“∀n∈N，n2≤2n” 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4 ∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点， ∴|PF1|+|PF2|=‎2a=10，|F‎1F2|=‎2c=8 在△PF‎1F2中，cos∠F1PF2= = ===cos60°= ∴72-4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12 又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ∴=×12sin60°=3 故答案为3 先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F‎1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可． 本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化． 15.【答案】（，） ‎ ‎【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3， ∵===， ∴＜e＜， ∴双曲线离心率的取值范围为（，）． 故答案为：（，）． 先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围． 本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题 16.【答案】（4） ‎ ‎【解析】解：对于（1），因为点（-1，2）在直线2x+3y-4=0上，∴到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线，不是抛物线， 故（1）错； 对于（2），中当|PA|-|PB|=2＜|AB|时是双曲线的一支；当|PA|-|PB|=2＞|AB|时，没有轨迹图形；当2=|AB|时，表示一条射线，∴（2）错； 对于（3），∵方程2x2-4x+2=0有两相等实根为1、不可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，故（3‎ ‎）错误； 对于（4），由题意圆心（0，0）到直线mx-ny=4的距离d=＞2=r， 即m2+n2＜4，点（m，n）在以原点为圆心，2为半径的圆内， 与椭圆的交点个数为2．故（4）正确． 故答案为：（4）． （1），定点（-1，2）在定直线2x+3y-4=0上，到定点（-1，2）的距离与到定直线2x+3y-4=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线． （2），利用双曲线的定义，即可得出结论． （3），求出方程的两根即可得到答案． （4），根据直线与圆没有交点得到圆心到直线的距离大于半径列出不等式，化简后得到m2+n2＜4说明P在⊙O的圆内，根据椭圆方程得到短半轴为2，而圆的半径也为2，所以点P在椭圆内部，所以过P的直线与椭圆有两个交点． 本题考查了有关圆锥曲线的命题真假的判定，属于中档题． 17.【答案】（本小题满分12分） 解：当命题p为真命题时：（x-3）（x+2）＜0，即-2＜x＜3；…（2分） 当命题q为真命题时：，即x＞5； …（4分） 又p∨q为真命题，p∧q为假命题， ∴命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真； …（6分） 当p真q假时，则，∴-2＜x＜3，…（8分） 当p假q真时，则，∴x＞5，…（10分） ∴综上所述，实数x的取值范围为（-2，3）∪（5，+∞）． …（12分） ‎ ‎【解析】若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真，进而得到实数x的取值范围． 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的解法，复合命题，难度中档． 18.【答案】解：（Ⅰ）学校总数为21+14+7=42，分层抽样的比例为6÷42=， 利用分层抽样得： 应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为： ，14×，7×=1， ∴应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所． （Ⅱ）①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为a1，a2，a3， 2所中学分别记为b1，b2，1所大学记为c， 则应抽取的2所学校的所有结果有15种，分别为： {a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，c}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}， {a2，c}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，c}，{b1，b2}，{b1，c}，{b2，c}． ②设“抽取的2所学校没有大学”为事件A，则A包含的基本事件有10种， ∴抽取的2所学校没有大学的概率P（A）=． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）学校总数为42，分层抽样的比例为，利用分层抽样能求出应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目． （Ⅱ）①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为a1，a2，a3，2所中学分别记为b1，b2，1所大学记为c，利用列举法能求出应抽取的2所学校的所有结果． ②设“抽取的2所学校没有大学”为事件A，则A包含的基本事件有10种，由此能求出抽取的2所学校没有大学的概率． 本题考查概率的求法，考查分层抽样、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：（Ⅰ ‎）由题意得， 所以， 所以椭圆的标准方程是． （Ⅱ）由题意得，直线MN的方程为， 方程联立得到，5x2-8x=0， ， ． 所以弦长|MN|为：． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出a，b，c的方程组，然后求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）求出过右焦点F倾斜角为60°的直线方程与椭圆C的方程联立，求出M、N两点的坐标，利用弦长公式求弦长|MN|． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，是中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）可估计全市居民用水价格的平均数为 =（1×0.02+3×0.04+5×0.08+7×0.1+9×0.13+11×0.08+13×0.03+15×0.02）×2=7.96； 由于前4组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2=0.48， 前5组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2+0.26=0.74， 所以中位数在第5组中； 设中位数为t吨，则有（t-8）×0.13=0.02， 所以， 即所求的中位数为吨； （Ⅱ） 设李某2017年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6）， 它们的平均值分别为，， 则， 又点在直线上，所以， 因此y1+y2+…+y6=240， 所以7月份的水费为294.6-240=54.6元． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求得平均数，根据中位数的两边频率相等，由此求出中位数的值； （Ⅱ）根据回归直线过样本中心点，利用回归方程求出、，再计算对应的7月份水费． 本题考查了线性回归直线方程的应用问题，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题． 21.【答案】解：（Ⅰ）由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px，（p＞0）． 求得p=，…（2分）                                         故所求的抛物线C的方程为：y2=x； …（4分） （Ⅱ）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（m∈R），…（6分） 设A（x1，y1），B（x2，y2） 由得：y2=my+t， 依题意可知△＞0恒成立，且y1•y2=-t，…（8分） 原点O落在以AB为直径的圆上． 令=0即x1x2+y1y2=（y1•y2）2+y1•y2=（-t）2-t=0．…（10分） 解得：t=1，t=0即t为常数，∴原题得证． …（12分） （说明：直线l方程也可设为：y=k（x-t），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可； （Ⅱ）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到=0‎ ‎，求出t的值即可证明结果． 本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）由题可知e==，‎2a+2b=10，解得a=3，b=2． 故椭圆E的标准方程为E：+=1 证明（Ⅱ）：设P（x0，y0），直线PA交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D（0，y2）． 则+=1，即=4． 易知与同向，故•=y1y2． 因为A（-3，0），B（3，0）， 所以得直线PA的方程为=，令x=0，则y1=； 直线PB的方程为为=，令x=0，则y2= 所以故•=y1y2==4，为定值． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由e==，‎2a+2b=10，解得a=3，b=2．，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设P（x0，y0），直线PA交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D（0，y2），求得直线PA，PB的方程，分别求出y1，y2，再根据向量的数量积即可证明 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线求交点，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题． ‎