2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期第二次月考数学(理)试题

2017-2018学年宁夏银川一中高二上学期第二次月考数学(理)试题

银川一中 2017/2018 学年度(上)高二第二次月考 数学(理科)试卷 命题人： 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．若抛物线 的焦点到其准线的距离是 2，则 a =( ) A． B． C． D. 2．已知 的顶点 B、C 在椭圆 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在 BC 边上，则 的周长是( ) A． 　　　　 B．6　　　　 C． 　　　 D．12 3．在下列条件：①离心率为 ；②渐近线互相垂直；③渐近线方程为 ； ④离心率为 ；⑤渐近线方程为 中，能作为判定双曲线为等轴双曲线充要 条件的是 (　　) A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①③⑤ 4．在棱长为 2 的正方体 ABCD­A1B1C1D1 中， M 是棱 A1B1 的中点，则 与 所成的 角的余弦值为( ) A． 　　　 B． 　　　　 C． 　　 D． 5．若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．曲线 y＝－x3＋3x2 在点(1,2)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 7．设函数 ，则（ ） A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点 C． 为 的极大值点 D． 为 的极小值点 8．若 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．过抛物线 的焦点 ,且斜率为 的直线交 于点 ( 在的 x 轴上方)， ( ) xf x xe= 1x = ( )f x 1x = ( )f x 1x = − ( )f x 1x = − ( )f x 2y ax= 4± 4− 4 8± ABC∆ 2 2 13 x y+ = ABC∆ 2 3 4 3 2e = 2 2y x= ± 2e = y x= ± AM 1BD 15 15 − 5 10 15 15 10 5 1a > 2 2 2 1x ya − = ( 2, )+∞ (1, 2) ( 2,2) (1,2) 21( ) ln( 2)2f x x b x= − + + ∞在(-1, + ) b [ 1, )− +∞ ( 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − ( , 1)−∞ − 2: 4C y x= F 3 C M M 为 的准线，点 在 上且 ,则 到直线 的距离为( ) A． B． C． D． 10．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 11．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦 值为( ) A． B． C． D． 12．如图所示，曲线是函数 的 大致图象，则 等于( ) A． B．2 C． D． 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．函数 的单调减区间为 . 14．若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是 15．正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 ，侧棱的长是底面边长的 倍，E 为侧棱 SC 上 一点， 若 则 ． 16．椭圆 中， 成等比数列，椭圆的离心率为 双曲线 中， 成等比数列，双曲线的离心率为 则 . 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 (其中常数 a,b∈R), 是奇函数. (1)求 的表达式; (2)求 的单调区间，并求 在区间[1,2]上的最大值和最小值. 18．（本小题满分 12 分） 3 2( )f x x bx cx d= + + + 2 2 1 2x x+ 3 2( ) 15 33 6f x x x x= − − + 3 2( )f x ax x bx= + + ( ) ( ) ( )g x f x f x′= + ( )f x ( )g x ( )g x l C N l MN l⊥ M NF 5 2 3 2 2 3 3 xy e= 2(2 )e， 29 4 e 22e 2e 2 2 e 6 3 2 6 5 15 5 10 5 16 9 16 3 8 9 2 2 0,BE SD⋅ =  ,SE ECλ=  λ = 2 2 1 12 2 1 1 1( 0)x y a ba b + = > > 1 1 1, ,a b c 1;e 2 2 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2, ,a b c 2 .e 1 2e e = 如图，正三棱柱的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点。用空间向量进行以下证明和计算： (1)求证：AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的正弦值； (3)求点 C 到面 A1BD 的距离. 19.（本小题满分 12 分） 已知函数 (1)求 的极大值和极小值； (2)若 在 处的切线与 y 轴垂直，直线 y=m 与 的图象有三个不同的 交点，求 m 的取值范围。 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 的焦点在直线 上，直线 l 过点 P（4，0），斜率为 ，直线 l 和抛物线相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M. （1）求抛物线的方程和点 M 的坐标； （2）求线段 AB 的长|AB|并证明 OA⊥OB， 21.（本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝ AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点．用空间向量进行以下证明和计算： (1)证明：BE⊥DC； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； (3)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC， 求二面角 F-AB-P 的正弦值． 22.（本小题满分 12 分） 3( ) 3 1, 0f x x ax a= − − ≠ ( )f x ( )f x 1x = − ( )y f x= 2 2y px= 3 1 0x y− − = 4 3 已知椭圆 经过点 ，且离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设点 在轴上的射影为点 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 ，求直线的方程. 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b Γ + = > > 13, 2M      3 2 Γ M N N Γ A B 3+= myx NANB 3−= 高二第二次月考数学试卷答案（理） 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C B A D C B D D A 二、填空题 13. 亦可填写闭区间或半开半闭区间。14. 15. 16. 1 17. （本小题满分 10 分） 18. （本小题满分 12 分） 解 ： 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 ， 则 (1) 向量 ( 1,11)− 1 3a ≥ 2λ = 1 2e e = (0,0, 3),A (1,0,0),B ( 1,0,0),C − 1 (0,2, 3),A 1 (1,2,0),B 1 ( 1,2,0),C − ( 1,1,0),D − ( )1 1,2, 3 ,AB = − ( )2,1,0 ,BD = − ( )1 1, 2, 3 ,A B = − − 面 （2）面 的法向量是 取 AC 中点 E,则面 的法 向量是 或求得面 的法向量是 设二面角 A-A1D-B 的为 ，则 (3)面 的法向量是 向量 点 C 到面 A1BD 的距离为 19.（本小题满分 12 分） w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1） 当 时，对 ，有 所以当 时， 的单调增区间为 ，没有极值； 当 时，由 解得 或 ；由 解得 ， 所以当 时， 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 。 极小= 极大= （2）因为 在 处的切线与 y 轴垂直，所以 所以 由 解得 。 由（1）中 的单调性可知， 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 。 因 为 直 线 与 函 数 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 ， 又 ， ，结合 的单调性可知， 的取值范围是 。 20（本小题满分 12 分） 解：（1）∵直线 过点（1，0）， ∴抛物线的方程为 直线 l 的方程为 ' 2 2( ) 3 3 3( ),f x x a x a= − = − 0a < x R∈ ' ( ) 0,f x > 0a < ( )f x ( , )−∞ +∞ 0a > ' ( ) 0f x > x a< − x a> ' ( ) 0f x < a x a− < < 0a > ( )f x ( , ),( , )a a−∞ − +∞ ( )f x ( , )a a− ( )f x 1x = − ' 2( 1) 3 ( 1) 3 0, 1.f a a− = × − − = ∴ = 3 ' 2( ) 3 1, ( ) 3 3,f x x x f x x= − − = − ' ( ) 0f x = 1 21, 1x x= − = ( )f x ( )f x 1x = − ( 1) 1f − = 1x = (1) 3f = − y m= ( )y f x= ( 3) 19 3f − = − < − (3) 17 1f = > ( )f x m ( 3,1)− 1 1 10, 0,AB BD AB A B∴ ⋅ = ⋅ = 1 1 1,AB BD AB A B∴ ⊥ ⊥ 1AB∴ ⊥ 1AB D 1BA D ( )1 1,2, 3 ,AB m= = − 2 2,m = 1AA D 3 3,0, ,2 2BE n  = = −    1AA D ( )3,0, 3 , 3 3n n= − = θ ( ) 6 6cos , 42 2 2 3 mnm n m n −= = = − ⋅ 10sin 4 θ∴ = 1A BD ( )1 1,2, 3 ,AB m= = − 2 2,m = ( )2,0,0 ,CB = ∴ 2 2 22 2 m CBd m ⋅= = = ( )f x ( ) 2 1,f a a a= − − ( )f x ( ) 2 1,f a a a− = − 3 1 0x y− − = 1, 2.2 p p= = 2 4 .y x= 4 3 16 0,x y− − = 由 得 设 则 ，算得 （2） ∵ ∴ ∴OA⊥OB. 21.（本小题满分 12 分） 解：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得 B(1，0，0)，C(2，2， 0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1)． (1)证明：向量 BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，故 BE·DC＝0， 所以 BE⊥DC. (2)向量 BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．设 n＝(x，y，z)为平面 PBD 的法向量， 则{n·BD＝0， n·PB＝0，即{－x＋2y＝0， x－2z＝0. 不妨令 y＝1，可得 n＝(2，1，1)为平面 PBD 的一个法向 量．于是有 cos〈n，BE〉＝ n·BE |n|·|BE|＝ 2 6 × 2＝ 3 3 ， 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 . (3) 向量 BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由 点 F 在棱 PC 上，设 CF＝λ，0≤λ≤1. 故 BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由 BF⊥AC，得 BF·AC＝0，因此 2(1 －2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得 λ＝ 3 4，即 BF＝(－ 1 2， 1 2， 3 2).设 n1＝(x，y，z)为平面 FAB 的 2 4 3 16 0 4 x y y x − − =  = 2 3 16 0,y y− − = 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 1 2 1 2 3 16 y y y y + =  = − 1 2 1 2 41 4 16 x x x x  + =  = 1 2 1 2 41 3( , ) ( , )2 2 8 2 x x y yM M + + = 2 2 1 2 1 2 5 731 ( ) 4 4AB k x x x x= + + − = 1 2 1 2( , ), ( , ),OA x x OB y y= =  1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + =  法向量，则{n1·AB＝0， n1·BF＝0，即{x＝0， － 1 2x＋ 1 2y＋ 3 2z＝0.不妨令 z＝1，可得 n1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面 ABP 的法向量 n2＝(0，1，0)，则 cos〈n1，n2〉＝ n1·n2 |n1|·|n2|＝ －3 10 × 1 ＝－ 3 10 10 .sin〈n1，n2〉＝ .所以，二面角 F-AB-P 的正弦值为 . 22.（本小题满分 12 分） 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． （Ⅱ）由已知 N 的坐标为 ，当直线斜率为 0 时，直线为轴，易知 不 成立． 当 直 线 斜 率 不 为 0 时 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 代 入 ， 整 理 得 ， ， 设 ， 则 ， ① ，②由 ，得 ，③由①②③解得 ． 所以直线的方程为 ，即 ． 2 2 14 x y+ = ( )2 3y x= ± − ( )3,0 3 0NB NA+ =  3x my= + 2 2 14 x y+ = ( )2 24 2 3 1 0m y my+ + − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 2 3 4 my y m −+ = + 1 2 2 1 4y y m −= + 3 0NB NA+ =  2 13y y= − 2 2m = ± 2 32x y= ± + ( )2 3y x= ± − 10 10 10 10