数学理卷·2017届山东省青岛第五十八中学高三上学期期中考试（2016

数学理卷·2017届山东省青岛第五十八中学高三上学期期中考试（2016

保密★启用前 ‎2016—2017学年第一学期期中测试 高三数学（理）试卷 ‎ 2016．11‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共50分；第Ⅱ卷为非选择题，共100分，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2．第Ⅰ卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。第Ⅱ卷共3页，将答案用黑色签字笔（‎0.5mm）写在答题纸上。‎ ‎3.试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除。‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)‎ ‎1．已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(∁RB)∩A等于 (　　)‎ A．[0,1] B．(0,1] C．(－∞，0] D．以上都不对 ‎2．直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ）‎ A． B. C.2 D.4‎ ‎3. 的图象的一个对称中心是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.等差数列中，，，则数列前项和等于 （ ）‎ ‎ A.66 B‎.99 C.144 D.297‎ ‎5．函数y＝的图象大致是 (　　)‎ ‎6.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围 ‎ （ ）‎ ‎ A． B．不存在这样的实数k C． D．[KS5UKS5UKS5U]‎ ‎7.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为 （ 　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ( ) ‎ ‎ A.－ B.－ C. D. ‎9．设数列的前项和，若，且，则等于 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：‎ ‎①；②；③；④，其中“函数”的个数有 （ ）‎ ‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第II卷（非选择题 共100分）[KS5UKS5U]‎ 二、填空题：（每小题5分，共25分）‎ ‎11．点P从 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达Q点，则Q点的坐标为 .‎ ‎12.命题“若ab=0，则a=0或b=‎0”‎，其否命题为 ‎ ‎13．已知单位向量的夹角为，则向量的夹角为 ‎ ‎14.已知函数是定义在R上的奇函数，，‎ ‎，则不等式的解集是 .‎ ‎15．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f (x)＝()1－x，则 ‎①2是函数f(x)的周期；‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；‎ ‎③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈(3,4)时，f(x)＝()x－3.[KS5UKS5UKS5U]‎ 其中所有正确命题的序号是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题，共75分)‎ ‎16.（12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求使函数取得最大值的集合．‎ ‎17.（12分）已知函数，当时，函数的图象关于轴对称，数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（Ⅰ）若b=，当△ABC周长取最大值时，求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎19． （12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：‎ ‎（其中为小于6的正常数）‎ ‎（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额(万元）表示为日产量（万件）的函数；[KS5UKS5U]‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ ‎20.（13分）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和的最大值.‎ ‎[KS5UKS5UKS5U]‎ ‎21.（14分）已知函数f（x）=sinx﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）对于恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，令，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：‎ ‎ ‎ ‎2016—2017学年第一学期期中测试 高三数学（理）试卷 参考答案 BDCBD DCACA 11. ‎ 12．若ab0，则a0且b 0 13. 14. ‎ ‎15．①②④‎ ‎.‎ ‎18.【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵1﹣===，化简可得：a2+c2﹣b2=ac，则=1，‎ ‎∴cosB==，又∵B∈（0，π），∴B=…3分 ‎∵由正弦定理可得：，∴△ABC的周长l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA++2sin（﹣A）=3sinA+cosA+=2sin（A+），…5分 ‎∵0，∴＜A+＜，当A+=时，即A=时，△ABC周长l取最大值3，由此可以得到△ABC为等边三角形，‎ ‎∴S△ABC=…7分 ‎（Ⅱ）∵=6sinAcosB+cos‎2A=3sinA+1﹣2sin‎2A=﹣2（sinA﹣）2+，…9分 ‎∵0，∴0＜sinA≤1，当sinA=时，取得最大值，…11分 ‎∴的取值范围为（1，]…12分 ‎19.解：（Ⅰ）当时，，-----------2分 当时，，--------4分 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎--------6分 ‎（Ⅱ）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，‎ 当且仅当时取等号------------------8分 所以当时，，此时 ‎ 当时，由 知函数在上递增，，此时------------------10‎ 分 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润--------------------------12分 ‎21.解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，‎ 即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0； ………………4分 ‎（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）的最大值是h（1）=0； …………8分 证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，‎ 当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；‎ 当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，‎ 所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．……10分 令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，…………12分 ‎∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，‎ 以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，‎ 即．…………14分