安徽省安庆市安庆一中安师大附中铜陵一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

安徽省安庆市安庆一中安师大附中铜陵一中2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

‎2018-2019学年第二学期高二年级期末名校联考 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合和，由交、并、补的概念即可得到结果．‎ ‎【详解】∵集合，，‎ ‎∴，‎ ‎，故A错误；，故B错误；‎ ‎，故C正确；，故D错误． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.设，则的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴的虚部是，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎3.记为等比数列的前项和.若，，则（ ）‎ A. 2 B. -4 C. 2或-4 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵为等比数列的前项和，‎ ‎，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. 19 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断几何体的形状几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．‎ ‎【详解】由题意可知几何体是正方体与一个四棱柱的组合体，如图：‎ 几何体的表面积为：．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.‎ ‎5.已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）‎ A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】已知曲线，，‎ ‎∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，‎ 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎6.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入万 ‎8.3‎ ‎8.6‎ ‎9.9‎ ‎11.1‎ ‎12.1‎ 支出万 ‎5.9‎ ‎7.8‎ ‎81‎ ‎8.4‎ ‎98‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）‎ A. 12.68万元 B. 13.88万元 C. 12.78万元 D. 14.28万元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．‎ ‎【详解】，．‎ 又，∴．‎ ‎∴．‎ 取，得万元，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知，是相异两个平面，，是相异两直线，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，根据线面平行的判定判断正误；在B中，由平面与平面平行的判定定理得；在C中，当时，不妨令，，则，在D中，据线面平行的判定判断正误；‎ ‎【详解】对于A，若，，则或，故A错；‎ 对于B，若，，则由平面与平面平行的判定定理得，故B正确；‎ 对于C，当时，不妨令，，则，故C错误；‎ 对于D，若，，则或，故D错，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，属于中档题.‎ ‎8.过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（ ）‎ A. B. C. 10 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的图象关于点P对称，得出过点的直线与函数的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有，再计算的值．‎ ‎【详解】 ，‎ ‎∴函数的图象关于点对称，‎ ‎∴过点的直线与函数的图象交于A，B两点，‎ 且A，B两点关于点对称，‎ ‎∴，则．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．‎ ‎9.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点关于直线的对称点，且A在椭圆上，得，即得椭圆C的离心率；‎ ‎【详解】∵点关于直线的对称点A为，且A在椭圆上，‎ 即，∴，‎ ‎∴椭圆C的离心率．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．‎ ‎10.已知，且.则展开式中的系数为（ ）‎ A. 12 B. -12 C. 4 D. -4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．‎ ‎【详解】∵，且，‎ 则展开式，‎ 故含的系数为，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎11.在正四面体中，点，分别在棱，上，若且 ‎，，则四面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，设，，，由余弦定理得到关于，，方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案．‎ ‎【详解】如图，‎ 设，，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴由余弦定理得，①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎③-①得，，即，‎ ‎∵，则，代入③，得，‎ 又，得，，‎ ‎∴．‎ ‎∴A到平面PEF的距离．‎ ‎∴，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．‎ ‎12.已知：，方程有1个根，则不可能是（ ）‎ A. -3 B. -2 C. -1 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，可令，求得导数和单调性、最值，运用排除法即可得到所求结论．‎ ‎【详解】，方程有1个根，‎ 可得，‎ 可令，，‎ 可得时，，递增；时，，递减，‎ 可得时，取得最大值，且时，，‎ 若时，，可得舍去，方程有1个根；‎ 若时，，可得，方程有1个根；‎ 若时，，可得，方程有1个根；‎ 若时，，无解方程没有实根．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数方程的转化思想，以及换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的平面区域，结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可．‎ ‎【详解】画出，，满足约束条件，的平面区域，如图所示：‎ 而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离，‎ 显然到直线的距离是最小值，‎ 由，得最小值是，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．‎ ‎14.下图所示的算法流程图中，输出的表达式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据流程图知当，满足条件，执行循环体，，依此类推，当，不满足条件，退出循环体，从而得到结论．‎ ‎【详解】，满足条件，执行循环体，‎ ‎，满足条件，执行循环体， ‎ ‎，满足条件，执行循环体，…‎ 依此类推，满足条件，执行循环体，，‎ ‎，不满足条件，退出循环体，‎ 输出，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构应用问题，此循环是先判断后循环，属于中档题．‎ ‎15.集合中所有3个元素的子集的元素和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 集合A中所有元素被选取了次，可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果.‎ ‎【详解】集合中所有元素被选取了次，‎ ‎∴集合中所有3个元素的子集的元素和为 ‎，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．‎ ‎16.若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设存在对称的两个点P，Q，利用两点关于直线成轴对称，可以设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数，建立关于的函数关系，求出变量的范围．‎ ‎【详解】设抛物线上关于直线对称的两相异点为、，‎ 线段PQ的中点为，‎ 设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，‎ 所以方程组有两组不同的实数解，‎ 即得方程①‎ 判别式②．‎ 可得，，‎ ‎∵，∴⇒…③‎ 由②③可得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中由余弦定理得， 再由正弦定理能求出；（2），四边形ABCD的面积，由此能求出结果．‎ ‎【详解】（1）在平面四边形中，，，，．‎ 中，由余弦定理可得：‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）中，，‎ ‎【点睛】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎18.设数列满足，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，‎ 而，符合上式，‎ 所以数列通项公式为 ‎（2），‎ 设，‎ ‎，‎ 相减可得，‎ 化简可得，‎ 可求和得：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎19.五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：‎ ‎（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；‎ ‎（2）随机变量的概率分布和数学期望；‎ ‎（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设事件表示“取出的3个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件C 表示“某人抽奖一次，中奖”，则，由此能求出结果.‎ ‎【详解】（1） “一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，‎ 则 ‎（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 所以随机变量的概率分布为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 因此的数学期望为 ‎（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则 ‎【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎20.如图，直三棱柱中，且，，分别为，‎ 的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角的大小为，求锐二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件可得是平行四边形，从而，由已知条件能证明平面，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，不妨设，，求出面的一个法向量为，根据线面角可求出，在中求出，在即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接，则，从而，‎ 连接，则为平行四边形，从而.‎ ‎∵直三棱柱中，平面，面，∴,‎ ‎∵，是的中点，∴,‎ ‎∵，∴面 故平面 ‎（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 由条件：不妨设，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，可取为一个法向量 ‎，‎ 过作，连，则为二面角的平面角，‎ 在中，，‎ 在中，，，则 ‎【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点为，‎ 则过点且斜率为1的直线方程为，‎ 联立抛物线方程，‎ 消去得：，‎ 设，则，‎ 由抛物线的定义可得，解得，‎ 所以抛物线的方程为 ‎（2）设，，，‎ 不妨设，‎ 化简得：，‎ 圆心到直线的距离为1，‎ 故， ‎ 即，不难发现，‎ 上式又可化为，‎ 同理有，‎ 所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，‎ ‎，，‎ 由条件：‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎∴面积的最小值为8.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.‎ ‎（1）试比较与的大小，并说明理由；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.‎ ‎【答案】（1），理由见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证： ‎ ‎，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.‎ ‎【详解】（1）函数，，‎ 所以，‎ 又由切线与直线垂直，‎ 可得，即，解得，‎ 此时，‎ 令，即，解得，‎ 令，即，解得，‎ 即有在上单调递增，在单调递减 所以 即 ‎（2）不妨设，‎ 由条件：‎ ‎，‎ 要证：只需要证：，‎ 也即为，由 只需要证：，‎ 设即证：，‎ 设，则 在上是增函数，故，‎ 即得证，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎